黃劍峰

【摘 要】分?jǐn)?shù)除法是學(xué)生體悟運算一致性的關(guān)鍵內(nèi)容與主要難點。本文圍繞運算教學(xué)實踐中師生遇到的困惑，闡述一些思考和建議。

【關(guān)鍵詞】分?jǐn)?shù)除法 運算一致性 算理 算法

分?jǐn)?shù)除法是小學(xué)階段初等運算的壓軸部分，也是學(xué)生感悟運算一致性的關(guān)鍵內(nèi)容和主要難點。它的算法并不困難，困難的是如何統(tǒng)整“除數(shù)是整數(shù)”和“除數(shù)是分?jǐn)?shù)”兩種分?jǐn)?shù)除法的算理，以及厘清“顛倒相乘”與“計數(shù)單位與計數(shù)單位相除，計數(shù)單位的個數(shù)與計數(shù)單位的個數(shù)相除”這“一乘一除”兩種算法之間的關(guān)系，使學(xué)生體悟到除法運算的一致性。

一、“除數(shù)是整數(shù)”和“除數(shù)是分?jǐn)?shù)”兩種除法算理表述不一致的困惑

整數(shù)除法的核心在于計數(shù)單位的細(xì)分，即在繼續(xù)除的過程中，將大的計數(shù)單位細(xì)分成小的計數(shù)單位，使計數(shù)單位的數(shù)量增加，從而能夠繼續(xù)除下去。在這個過程中，被除數(shù)被分解成不同計數(shù)單位下的若干部分，它們分別參與運算，而除數(shù)整體參與運算，沒有被分解。［1］比如144÷12的算理：144÷12=［12（十）+24（個）］÷12=［12（十）÷12］+［24（個）÷12］=1（十）+2（個）=12。我們不會也無法寫成144÷12=（12×10+24×1）÷（1×10+2×1）的形式計算。“分?jǐn)?shù)除以整數(shù)”的算理與整數(shù)除法的算理是一致的，教學(xué)中并不解釋成“計數(shù)單位的個數(shù)與計數(shù)單位的個數(shù)相除，計數(shù)單位與計數(shù)單位相除”。［2］事實上直到“除數(shù)是分?jǐn)?shù)”的除法出現(xiàn)，其算理才第一次真正需要表述為如上形式。這是因為在具體問題情境下，“一個數(shù)除以分?jǐn)?shù)”的運算意義一般表示為“求被除數(shù)里包含有幾個除數(shù)（包含除）”。如教材例4：量杯里有[910]升果汁，玻璃杯的容量是[310]升，量杯里的果汁能倒?jié)M幾杯？算理表達：[910]÷[310]=[9×110]÷[3×110]=9×[110]÷3÷[110] =（9÷3）×[110÷110]=3。學(xué)生在結(jié)合直觀圖理解算理時，需要先統(tǒng)一被除數(shù)和除數(shù)的分?jǐn)?shù)單位，才能對計數(shù)單位個數(shù)的運算進行合理解釋。至此，學(xué)生遭遇了“除數(shù)是整數(shù)”和“除數(shù)是分?jǐn)?shù)”的除法算理表述不一致的困惑。而如何幫助學(xué)生厘清這兩種表述之間的關(guān)系并統(tǒng)整為分?jǐn)?shù)除法的通理，是體悟除法運算一致性的關(guān)鍵。

二、理解算理到底是基于運算意義還是基于數(shù)學(xué)推理的困惑

現(xiàn)行教材教學(xué)“除數(shù)是分?jǐn)?shù)”的除法的基本思路是：先結(jié)合問題情境通過直觀表征的手段理解基于計數(shù)單位個數(shù)運算的算理，再結(jié)合學(xué)習(xí)“分?jǐn)?shù)除以整數(shù)”的經(jīng)驗，提出“顛倒相乘”的猜想，然后通過計算驗證的方法證明其合理性。在這“化除為乘”的過程中，學(xué)生就產(chǎn)生了困惑：直觀圖上明明講的是基于計數(shù)單位個數(shù)運算的除法的“理”，但是歸納出的卻是看起來“風(fēng)馬牛不相及”的“顛倒相乘”的乘法的“法”。教學(xué)過程重法輕理、法理不通、邏輯不清，讓人一頭霧水。于是有學(xué)者提出，可以運用運算的法則、性質(zhì)等進行復(fù)雜的演繹推理，證明“一個數(shù)除以分?jǐn)?shù)等于乘這個分?jǐn)?shù)的倒數(shù)”。對此，筆者的困惑是：（1）基于運算定律、性質(zhì)的推“理”與基于運算意義和計數(shù)單位的算“理”是同一個理嗎？（2）演繹推理本身是一種抽象的運算過程，用它解釋算理并不需要依賴具體的問題情境，我們?yōu)楹芜€要在具體問題情境下學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)除法？

三、思考與建議

1.“除數(shù)是整數(shù)”和“除數(shù)是分?jǐn)?shù)”的除法實際上都是基于計數(shù)單位個數(shù)的運算。只不過在不同問題情境和運算意義下，“除數(shù)是整數(shù)”的除法算理常表述為“把被除數(shù)分解為若干個計數(shù)單位后等分成除數(shù)份”。而“除數(shù)是分?jǐn)?shù)”的除法算理表述為“先統(tǒng)一被除數(shù)和除數(shù)的計數(shù)單位，再作計數(shù)單位的個數(shù)運算”。事實上“除數(shù)是分?jǐn)?shù)”的除法算理表述才是除法運算通理的標(biāo)準(zhǔn)表述形式，“除數(shù)是整數(shù)”的除法算理表述只是其中的特殊情況，是可以通過推理統(tǒng)整為“統(tǒng)一計數(shù)單位后，計數(shù)單位個數(shù)的運算”的通理。

因此，筆者認(rèn)為，現(xiàn)行教材先教學(xué)“分?jǐn)?shù)除以整數(shù)”雖能和整數(shù)除法的算理實現(xiàn)關(guān)聯(lián)融通，但與學(xué)生理解“除數(shù)是分?jǐn)?shù)”的除法算理并無太多因果關(guān)系，而這才是分?jǐn)?shù)除法運算的重點和難點，也是體現(xiàn)除法運算一致性的關(guān)鍵。本單元不如先教學(xué)“除數(shù)是分?jǐn)?shù)”的除法，使學(xué)生理解“分?jǐn)?shù)除法”與“分?jǐn)?shù)加減法”一樣，都是先統(tǒng)一計數(shù)單位后再運算的道理，再通過推理的方式把“除數(shù)是整數(shù)”的特例統(tǒng)整進來。也就是說在運算一致性理念的認(rèn)知邏輯下，分?jǐn)?shù)除法的教學(xué)不應(yīng)用“除數(shù)是整數(shù)”的老瓶來裝“除數(shù)是分?jǐn)?shù)”的新酒，而應(yīng)用“除數(shù)是分?jǐn)?shù)”的新瓶裝“除數(shù)是整數(shù)”的老酒。

2.基于對我國古代分?jǐn)?shù)除法發(fā)展的了解，筆者認(rèn)為，重新設(shè)計分?jǐn)?shù)除法教學(xué)內(nèi)容時可先只教學(xué)“經(jīng)分術(shù)”，使學(xué)生清楚理解分?jǐn)?shù)除法本來的算理和算法，感悟除法運算的一致性。然后另設(shè)一課時，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)推理的方法將“經(jīng)分術(shù)”轉(zhuǎn)化為“顛倒相乘法”，將“顛倒相乘法”作為分?jǐn)?shù)除法基于運算法則推理得到的一種簡便算法。這樣就既可以在“計數(shù)單位”這個核心概念統(tǒng)領(lǐng)下解釋清楚分?jǐn)?shù)除法的算理算法，使學(xué)生充分體悟到運算的一致性。也使“顛倒相乘法”可以脫離具體情境的束縛，運用數(shù)學(xué)推理的方法在抽象層面進行合理解釋，發(fā)展了學(xué)生的推理意識和運算能力。具體設(shè)想如下。

第一課時，先教學(xué)例4“同分母分?jǐn)?shù)除法”，結(jié)合問題情境的直觀圖，學(xué)生易于理解：同分母分?jǐn)?shù)相除，因為分?jǐn)?shù)單位相同，所以只要把分?jǐn)?shù)單位的個數(shù)（分子）相除就行了。然后通過算式的恒等變形使學(xué)生理解，同分母分?jǐn)?shù)相除，分?jǐn)?shù)單位和分?jǐn)?shù)單位相除，分?jǐn)?shù)單位的個數(shù)與分?jǐn)?shù)單位的個數(shù)相除。接著通過“試一試”教學(xué)“異分母分?jǐn)?shù)除法”。引導(dǎo)學(xué)生明白，只要像“異分母分?jǐn)?shù)加減法”那樣，把“異分母分?jǐn)?shù)除法”轉(zhuǎn)化為“同分母分?jǐn)?shù)除法”即可。

第二課時教學(xué)例2、例3的“整數(shù)除以分?jǐn)?shù)”。比如例3的“4÷[23]”，學(xué)生借助幾何直觀容易想到，整數(shù)4就是12個[13]，即[123]，4÷[23]=[123]÷[23]=（12÷2）×[13÷13]=12÷2=6，因而又轉(zhuǎn)化為“同分母分?jǐn)?shù)除法”計算。然后在“練一練”中讓學(xué)生說一說例1“分?jǐn)?shù)除以整數(shù)”的算理與算法。注意，此處不建議要求學(xué)生轉(zhuǎn)化為“同分母分?jǐn)?shù)除法”計算，而應(yīng)用“除數(shù)是整數(shù)”的除法算理解釋。但在厘清算理的基礎(chǔ)上可以讓學(xué)生通過以下推理過程感悟運算的一致性。[45]÷2=[45]÷[105]=[4×15]÷[10×15]=4×[15]÷10÷[15]=4÷10×[15]÷[15]=（4÷10）×[15÷15]=[25]。

第三課時教學(xué)“顛倒相乘”算法的推理過程。此時可以脫離具體的問題情境，分類呈現(xiàn)分?jǐn)?shù)除法、整數(shù)除法、小數(shù)除法及相應(yīng)的顛倒相乘的乘法算式，使學(xué)生通過計算發(fā)現(xiàn)結(jié)果總是相等的規(guī)律并提出猜想，然后讓學(xué)生舉例驗證初步得出結(jié)論，再引導(dǎo)學(xué)生運用運算律、運算性質(zhì)等進行靈活多樣的恒等變形和數(shù)學(xué)推理，最后用字母式的形式進行代數(shù)推理從而得到“甲數(shù)除以乙數(shù)（0除外），等于甲數(shù)乘乙數(shù)的倒數(shù)”的一般化表達。

（作者單位：江蘇省常州市新北區(qū)安家中心小學(xué)

本專輯責(zé)任編輯：王彬）

參考文獻

［1］鞏子坤，劉萍.論數(shù)的概念與運算的一致性之三：整數(shù)運算算理、算法的一致性［J］.小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2022（10）：77-81.

［2］鞏子坤，張丹.論數(shù)的概念與運算的一致性之四：分?jǐn)?shù)運算算理、算法的一致性［J］.小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2022（12）：85-88.