云南師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院;云南師范大學(xué)教育學(xué)部(650500) 華子艷

昆明市官渡區(qū)鐘英中學(xué)(650200) 黃賽春

云南師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院(650500) 劉冰楠

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017 年版2020 年修訂)》(以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》)提出: 立體幾何研究現(xiàn)實(shí)世界中物體的形狀、大小與位置關(guān)系[1]的要求.2022 年高考文科數(shù)學(xué)全國(guó)甲卷第19 題(以下簡(jiǎn)稱“2022 年文科甲卷第19 題”)以封閉包裝盒設(shè)計(jì)呈現(xiàn)試題,相較于歷年立體幾何題,增加了現(xiàn)實(shí)情境的創(chuàng)設(shè),體現(xiàn)理論聯(lián)系實(shí)際,落實(shí)新課程改革中綜合實(shí)踐活動(dòng)在試題中的應(yīng)用.此題解法多變,偏重基礎(chǔ)知識(shí)的靈活運(yùn)用,注重通性通法和空間思維能力的考查,彰顯素質(zhì)教育“四翼”的要求以及高考命題穩(wěn)中求新的特點(diǎn),利于學(xué)生思維品質(zhì)和關(guān)鍵能力的培養(yǎng).

1 試題再現(xiàn)

題目(2022 年文科甲卷第19題) 小明同學(xué)參加綜合實(shí)踐活動(dòng),設(shè)計(jì)了一個(gè)封閉的包裝盒,包裝盒如圖1 所示: 底面ABCD是邊長(zhǎng)為8(單位: cm)的正方形,?EAB,?FBC,?GCD,?HDA均為正三角形,且它們所在的平面都與平面ABCD垂直.

圖1

(1)證明:EF//平面ABCD;

(2)求該包裝盒的容積(不計(jì)包裝盒材料的厚度),

2 解法探析

高考是國(guó)家選拔人才的重要途徑,是實(shí)現(xiàn)立德樹(shù)人的重要載體和素質(zhì)教育的關(guān)鍵環(huán)節(jié)[2].相較于歷年立體幾何試題,2022 年文科甲卷第19 題在情境創(chuàng)設(shè)與圖形直觀呈現(xiàn)上有所創(chuàng)新,本質(zhì)上考查的仍是線面位置關(guān)系、圖形體積等數(shù)學(xué)核心主干知識(shí),在解題過(guò)程中需對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)進(jìn)行綜合運(yùn)用、融會(huì)貫通,利于數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)的培養(yǎng),體現(xiàn)高考命題對(duì)素質(zhì)教育目標(biāo)的考查.

第(1)問(wèn)證明線面平行,屬常規(guī)問(wèn)題.基本思路是將線面平行轉(zhuǎn)化為面面平行或線線平行.方法有平行四邊形法、投影法、補(bǔ)形法、向量法等,利于提升學(xué)生空間思維感及解法綜合應(yīng)用能力.第(2)問(wèn)求多面體的體積,需對(duì)分割與補(bǔ)形法靈活應(yīng)用,對(duì)抽象能力有較高要求,能幫助學(xué)生建立整體與局部的聯(lián)系,樹(shù)立空間模型觀念.

2.1 第(1)問(wèn)解法探析

證法1(平行四邊形法)因?yàn)?EAB,?FBC均為正三角形,且底面ABCD為正方形,易得兩個(gè)三角形全等.如圖2 所示,分別取AB,BC中點(diǎn)記為E1,F1,連接EE1,E1F1,FF1,得EE1⊥AB,FF1⊥BC,EE1=FF1.因?yàn)槿切嗡诘钠矫娑寂c底面ABCD垂直,且平面EAB,平面FBC與底面ABCD的交線分別為AB,BC,故EE1//=FF1,所以四邊形EE1F1F為平行四邊形,即得EF//=E1F1.又因?yàn)槠矫鍭BCD,E1F1?平面ABCD,所以EF//平面ABCD.

圖2

證法2(投影法)由題意得?EAB,?FBC均為正三角形,且?EAB,?FBC均垂直于底面正方形ABCD.如圖3所示,分別取AB,BC中點(diǎn)為E1,F1,連接EE1,E1F1,FF1,得EE1⊥正方形ABCD,FF1⊥正方形ABCD,即得E1F1為EF的投影.且E1,F1分別為AB,BC的中點(diǎn).連接AC(如圖3),因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形,所以E1F1//AC,即得EF//AC.又因?yàn)槠矫鍭BCD,AC ?平面ABCD,所以EF//平面ABCD.

圖3

證法3(面面平行法) 分別取AB,BC,CD,DA的中點(diǎn)為E1,F1,G1,H1,連接EG,HF,E1G1,H1F1(如圖4),再連接HH1,EE1,GG1,FF1(如圖5).根據(jù)解法1 可得EG//E1G1,HF//H1F1,因?yàn)镋G,HF是平面EFGH內(nèi)兩條相交直線,E1G1,H1F1是平面ABCD內(nèi)兩條相交直線,故平面EFGH//平面ABCD,又因?yàn)镋F ?平面EFGH,所以EF//平面ABCD.

圖4

圖5

證法4-1(補(bǔ)形法的綜合運(yùn)用)如圖6 所示,過(guò)A,B,C,D分別作平面ABCD的垂線為A1A,B1B,C1C,D1D,再分別過(guò)E,F,G,H作AB,BC,CD,DA的平行線,交點(diǎn)為A1,B1,C1,D1,連接交點(diǎn)形成幾何體ABCD ?A1B1C1D1,依題意可知幾何體ABCD ?A1B1C1D1為長(zhǎng)方體,且E,F,G,H分別為A1B1,B1C1,C1D1,A1D1的中點(diǎn).連接A1C1,AC(如圖7),由長(zhǎng)方體的性質(zhì)可得EF//A1C1,A1C1//AC.由平行的傳遞性得EF//AC.又因?yàn)槠矫鍭BCD,AC ?平面ABCD,所以EF//平面ABCD.

圖6

圖7

證法4-2(補(bǔ)形法的綜合運(yùn)用)通過(guò)補(bǔ)形,可得在長(zhǎng)方體ABCD ?A1B1C1D1中,EF所在的平面EFGH與平面ABCD平行,即得平面EFGH//平面ABCD,因?yàn)镋F ?平面EFGH,所以EF//平面ABCD.

在當(dāng)今世界政壇群星之中，拉加德絕對(duì)是極其獨(dú)特的存在：她是國(guó)際貨幣基金組織歷史上的第一位女總裁，上任前卻飽受爭(zhēng)議，但憑借多種因素成功連任；她曾被譏諷為“失言部長(zhǎng)”，后來(lái)卻成為法國(guó)近代以來(lái)任職時(shí)間最長(zhǎng)的財(cái)政部長(zhǎng)；她是地道的法國(guó)人，學(xué)業(yè)卻在美國(guó)完成，更曾在美國(guó)工作了幾十年，思維方式嚴(yán)重“美國(guó)化”。

證法5(向量法)如圖8 所示,分別取AB,CD中點(diǎn)為O,G1.以O(shè)為原點(diǎn),OB為x軸,OG1為y軸,OE為z軸建系.

圖8

依題意可得OB⊥OG1⊥OE,OE==(4,4,0),因?yàn)槠矫鍭BCD在坐標(biāo)平面xoy內(nèi),故設(shè)平面ABCD的法向量n=(0,0,1),所以·n=0,所以EF//平面ABCD.

其他建系方法大同小異,不再贅敘.

評(píng)析以上解題思路呈現(xiàn)如圖9 所示.線線平行、線面平行、面面平行是立體幾何的三種基本位置關(guān)系,可相互推導(dǎo).第(1)問(wèn)需證線面平行,基本思路是將線面平行轉(zhuǎn)化為面面平行或線線平行.多數(shù)學(xué)生最先能想到的是平行四邊形法(解法1),該法為高中立體幾何最常用的“通法”之一.其內(nèi)在邏輯是尋找線線平行,證明線面平行,難點(diǎn)在于選擇恰當(dāng)位置進(jìn)行平行四邊形構(gòu)造.投影法(解法2)也可輔助尋找線線平行,將直線投影至所證平面,轉(zhuǎn)化空間問(wèn)題為平面問(wèn)題,有效降低解題難度,滲透降維思想.當(dāng)線線平行證明出現(xiàn)困難時(shí),可轉(zhuǎn)換思路至尋找面面平行,利用面面平行(解法3)的性質(zhì)構(gòu)造相交輔助線簡(jiǎn)潔進(jìn)行證明.以上三種解法注重空間想象能力與邏輯思維能力的考查,利于學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等核心素養(yǎng)的培養(yǎng).

圖9

鑒于本題幾何體形狀較為特殊,學(xué)生在選擇解法1、2、3時(shí),會(huì)受制于自身的空間感與想象力.《標(biāo)準(zhǔn)》提出: 借助長(zhǎng)方體,直觀認(rèn)識(shí)空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系[1]的指導(dǎo).因此可將復(fù)雜圖形補(bǔ)形為規(guī)則的長(zhǎng)方體(解法4),利用長(zhǎng)方體自身性質(zhì)輔助證明,將復(fù)雜空間位置關(guān)系簡(jiǎn)單化,有助于提高學(xué)生圖形思維意識(shí),感悟轉(zhuǎn)化與化歸思想.

以上方法均屬幾何解法,事實(shí)上,將幾何問(wèn)題化為代數(shù)求解也是學(xué)生在解題中常用的方法,如向量法(解法5)通過(guò)建立直角坐標(biāo)系,以代數(shù)形式表示線與面的關(guān)系,既降低空間想象難度,又有效考查邏輯思維與運(yùn)算求解能力,利于滲透數(shù)形結(jié)合思想.

2.2 第(2)問(wèn)解法探析

解法1 (補(bǔ)形: 長(zhǎng)方體)同第一問(wèn)解法4,如圖6 所示,作輔助線得長(zhǎng)方體ABCD ?A1B1C1D1.由第(1)問(wèn)解法5 得該長(zhǎng)方體的高為AA1=,故

圖10

圖11

解法4(分割: 三棱錐+四棱錐)如圖12 所示,連接AC,BD交于點(diǎn)O,再連接OE,OF,OG,OH.則該幾何體的體積由四棱錐O ?EFGH的體積和4 倍三棱錐A ?OEH的體積以及4 倍三棱錐E ?OAB的體積組成.依題意易得OE=OF=OG=OH=8,取EH的中點(diǎn)P,AB的中點(diǎn)E1,連接AP,OP,EE1,則EH垂直平面APO.由圖可知,三角形APO,四棱錐O ?EFGH與三棱錐E ?OAB的高均為EE1的長(zhǎng).故

圖12

評(píng)析以上解法為我們提供立體幾何的研究與求解思路: 可從空間幾何體的整體觀察入手,抽象出組成空間圖形的基本元素——點(diǎn)、線、面,并結(jié)合長(zhǎng)方體直觀認(rèn)識(shí)這些組成元素的位置關(guān)系[3].綜觀分割法與補(bǔ)形法,提煉出內(nèi)在邏輯.即把不熟悉的幾何體轉(zhuǎn)化為熟悉的基本幾何體,如長(zhǎng)方體、三棱錐、三棱柱、四棱錐等,學(xué)生需要洞察隱藏在圖形中與解決問(wèn)題相關(guān)的子圖形,按求解需求添加輔助線[4].因此分割與補(bǔ)形法的使用能加強(qiáng)學(xué)生有機(jī)聯(lián)系整體和局部的意識(shí),聚焦數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理等核心素養(yǎng)的培養(yǎng),滲透數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想.

3 錯(cuò)因分析與變式訓(xùn)練

3.1 錯(cuò)因分析針對(duì)學(xué)生錯(cuò)因進(jìn)行分析,有助于深化對(duì)問(wèn)題本質(zhì)的理解,發(fā)現(xiàn)解決問(wèn)題的新視角與新思路.基于廣泛調(diào)研,可將學(xué)生的錯(cuò)因歸結(jié)為以下兩點(diǎn): 能力性失誤與心態(tài)性失誤.其中,第一類(lèi)失誤主要緣于學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能掌握的不扎實(shí),導(dǎo)致知識(shí)遷移能力較弱,無(wú)法靈活運(yùn)用題干中的關(guān)鍵性條件.如無(wú)法由題干推知長(zhǎng)方體補(bǔ)形條件、空間位置關(guān)系的轉(zhuǎn)化不合理等.第二類(lèi)失誤偶然性較大,考場(chǎng)中受到環(huán)境以及心理等因素制約,學(xué)生易出現(xiàn)遺漏條件、計(jì)算失誤、邏輯混亂等問(wèn)題致使失分,如試題第(2)問(wèn)體積計(jì)算中,存在考生輔助線繪制模糊,導(dǎo)致數(shù)據(jù)運(yùn)算出錯(cuò)等.

3.2 變式訓(xùn)練在對(duì)題目進(jìn)行錯(cuò)因分析后,設(shè)計(jì)試題變式,利于教師對(duì)學(xué)生易錯(cuò)點(diǎn)進(jìn)行正確歸因,進(jìn)而明晰教學(xué)要點(diǎn),提高教學(xué)質(zhì)量.同時(shí),通過(guò)多組變式訓(xùn)練,學(xué)生也能體會(huì)條件與問(wèn)題間的聯(lián)系,深刻把握知識(shí)的內(nèi)在邏輯,加深對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)理解.有助于學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題能力的提升,增強(qiáng)思維的靈活性、拓展性和發(fā)散性.因此,可在試題情境不變的情況下,對(duì)題目進(jìn)行如下變式:

小明同學(xué)參加綜合實(shí)踐活動(dòng),設(shè)計(jì)了一個(gè)封閉的包裝盒,包裝盒如圖1 所示:

變式1(針對(duì)思維靈活性)底面ABCD是邊長(zhǎng)為8(單位: cm)的正方形,?EAB,?FBC,?GCD,?HDA所在的平面都與平面ABCD垂直,且EF=GF=GH=HE.求直線EF與平面ABCD所成角的余弦值.

變式2(針對(duì)思維拓展性)底面ABCD是邊長(zhǎng)為8(單位: cm)的正方形,?EAB,?FBC,?GCD,?HDA均為正三角形,且它們所在的平面都與平面ABCD垂直.求平面ABE、平面EFGH與平面EFB夾角的余弦值.

變式3(針對(duì)思維發(fā)散性)底面ABCD是邊長(zhǎng)為8(單位: cm)的正方形,?EAB,?FBC,?GCD,?HDA均為正三角形,且它們所在的平面都與平面ABCD垂直.請(qǐng)利用至少四種以上的方法證明:EF//平面ABCD.

變式探析變式過(guò)程須把握不同內(nèi)容間的核心關(guān)聯(lián),做到“萬(wàn)變不離其宗”,“宗”即指順應(yīng)并適合每個(gè)學(xué)生達(dá)到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的目標(biāo)[5].變式1 同時(shí)改變了題目條件與提問(wèn)方式,但結(jié)果仍與原試題相同,能訓(xùn)練學(xué)生把握試題中“變”與“不變”的本質(zhì),考查學(xué)生思維的靈活性;變式2 將問(wèn)題改編為求二面角余弦值,此類(lèi)求解多出現(xiàn)于理科試題中,有助于增加立體幾何知識(shí)考查的深度和廣度,提升思維的拓展性;變式3將“一題多解”直接融入提問(wèn),在解題過(guò)程中精準(zhǔn)而直接地發(fā)散學(xué)生思維,實(shí)現(xiàn)知識(shí)的融會(huì)貫通.三種變式分別針對(duì)學(xué)生思維的不同角度進(jìn)行設(shè)計(jì),層層遞進(jìn),可有效對(duì)不同學(xué)生進(jìn)行不同方向的提升,體現(xiàn)變式題中的差異化,也為教師課堂多樣性提供途徑.

4 教學(xué)建議

通過(guò)對(duì)2022 年文科甲卷第19 題的思路探索,探究其思想方法和轉(zhuǎn)化策略,管窺高考命題的考查方向與核心功能,以期發(fā)揮高考的選拔與引導(dǎo)功能,為教師教學(xué)提供參考與借鑒.

4.1 探析內(nèi)在邏輯,錘煉數(shù)學(xué)思維.立體幾何題雖千變?nèi)f化,總蘊(yùn)含其內(nèi)在邏輯.通過(guò)解法探析,能明確基礎(chǔ)知識(shí)間存在的邏輯聯(lián)系,如本題第(1)問(wèn)中線線、線面、面面平行的轉(zhuǎn)化與推導(dǎo),由幾何到代數(shù)、整體到局部的思路追溯,完成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)與解題框架的構(gòu)建.因此在解題訓(xùn)練時(shí),可引導(dǎo)學(xué)生多角度思考,拓寬解題思路,有效內(nèi)化知識(shí)并將其靈活運(yùn)用.教師在教學(xué)中巧用一題多解與變式訓(xùn)練,也能有效破除學(xué)生思維定勢(shì),錘煉其思維的靈活性與開(kāi)放性,培養(yǎng)學(xué)生綜合分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.

4.2 把握數(shù)學(xué)本質(zhì),增強(qiáng)教學(xué)成效.理解數(shù)學(xué)把握本質(zhì)就是要深刻剖析概念內(nèi)涵,準(zhǔn)確理解數(shù)學(xué)思想[6].立體幾何題型靈活多變,教師采用套路式教學(xué)會(huì)導(dǎo)致學(xué)生在考場(chǎng)上“動(dòng)一發(fā)而潰全軍”.因此解題訓(xùn)練需注重?cái)?shù)學(xué)本質(zhì)與通性通法,提升學(xué)生核心素養(yǎng)與關(guān)鍵能力.近年來(lái)高考命題趨于基礎(chǔ)性、綜合性與創(chuàng)新性,在教學(xué)實(shí)踐過(guò)程中,教師可精選試題內(nèi)容,而后進(jìn)行深度剖析,再加以變式訓(xùn)練,學(xué)生由此能舉一反三、觸類(lèi)旁通,充分發(fā)揮試題訓(xùn)練“減負(fù)增效”的功能之助.

4.3 理論聯(lián)系實(shí)際,發(fā)揮育人價(jià)值.當(dāng)前教育面臨的最大困境恰是學(xué)校教育和現(xiàn)實(shí)世界的隔離,學(xué)生既不能充分運(yùn)用生活中既有的經(jīng)驗(yàn),也不能將學(xué)校所學(xué)遷移到未來(lái)的問(wèn)題解決中去[7].2022 年文科數(shù)學(xué)甲卷在立體幾何21 題中創(chuàng)設(shè)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題情境,將數(shù)學(xué)真正用到實(shí)處,也使學(xué)生真正學(xué)到實(shí)處,落實(shí)立德樹(shù)人根本任務(wù),凸顯命題的應(yīng)用性.試題幾何圖形新穎,解題路徑多樣,利于滲透數(shù)學(xué)思想方法,提升核心素養(yǎng)考查的有效性.因此,教師在立體幾何教學(xué)中可將現(xiàn)實(shí)情境引入,不但能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣,也能有效考查學(xué)生分析和解決問(wèn)題的能力,增強(qiáng)其空間思維能力,培養(yǎng)學(xué)生在數(shù)學(xué)中觀察、思考、表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界的學(xué)習(xí)習(xí)慣.