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        高中數(shù)學中的常見不等式及其應(yīng)用

        2023-01-02 06:51:36廣東省中山紀念中學528454鄧啟龍
        中學數(shù)學研究(廣東) 2022年23期
        關(guān)鍵詞:利用

        廣東省中山紀念中學(528454) 鄧啟龍

        均值不等式,柯西不等式等一系列不等式,是證明不等式的重要依據(jù)和方法,是研究最值問題的強有力的工具,這些高中數(shù)學中的常見不等式在解題中具有廣泛的應(yīng)用.

        首先給出高中數(shù)學中的常見不等式.

        以上這些常見不等式和推論在證明不等式和求最值中具有廣泛的應(yīng)用.

        一、運用常見不等式證明不等式

        二、構(gòu)造函數(shù)證明不等式

        三、換元后證明不等式和求最值

        注證法一通過整體換元后利用伯努利不等式來證明結(jié)論,思路非常巧妙.證法二根據(jù)題目的結(jié)構(gòu)特點進行配湊,然后利用楊氏不等式證明結(jié)論,直接有效.

        3.已知a,b,c≥ 0,證明:a(a ?c)2+b(b ?c)2≥(a ?c)(b ?c)(a+b ?c).

        證明令x=a ?c,y=b ?c,則c≥0,c≥?x,c≥?y,且a=c+x,b=c+y.于是

        注若題目中出現(xiàn)兩個變量的差,可考慮將差值換元,簡化表達式.

        四、配湊和拆分

        注根據(jù)題目的結(jié)構(gòu)特點引入?yún)?shù),將1 拆成λ+1?λ,然后利用柯西不等式,并由系數(shù)的比例關(guān)系求出參數(shù),進而解決問題.

        5.已知?ABC的三邊分別為a,b,c,2a+7b+11c=120,求?ABC的面積的最大值?

        解由海倫公式得?ABC的面積

        五、反證法

        六、配對

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