湖南省長沙市周南梅溪湖中學(xué)(410205) 朱賢良

在高中數(shù)學(xué)課程中,二項(xiàng)式定理被安排在計(jì)數(shù)原理與排列組合知識(shí)之后、隨機(jī)變量及其分布列之前,它既是計(jì)數(shù)原理和組合知識(shí)的應(yīng)用,又是探究相關(guān)概率公式的基礎(chǔ),是培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的重要載體,也是高考命題的熱點(diǎn)內(nèi)容.其中,二項(xiàng)展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和是高考與模擬考試命題中的常見考查內(nèi)容,與此相關(guān)的變式問題——系數(shù)的絕對(duì)值之和,也頻頻見于各類考試的試卷之中.但是,一類不易察覺的錯(cuò)誤在試題命制與求解時(shí),因其自身的隱蔽性,往往真假難辨,是非難分,常常被當(dāng)成“真經(jīng)”,以訛傳訛.

1 通性通法

我們從以下常見且并不復(fù)雜的試題為例,以呈現(xiàn)二項(xiàng)展開式中各項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值之和的求解策略.

例1(2016 年聯(lián)賽黑龍江預(yù)賽第7 題)設(shè)(2x ?1)6=a6x6+a5x5+···+a1x+a0,則|a0|+|a1|+|a2|+···+|a6|的值為()

A.26B.36C.56D.76

分析若是求二項(xiàng)展開式的系數(shù)和,直接由賦值法,令x=1,即可得到系數(shù)之和a0+a1+···+a6=(2?1)6=1.對(duì)于系數(shù)的絕對(duì)值之和,難點(diǎn)在于處理絕對(duì)值,其通性通法有兩種.

方法一(弄清楚各項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)情況,去掉絕對(duì)值符號(hào)) 根據(jù)二項(xiàng)式定理,將(2x ?1)6展開后的通項(xiàng)公式 為Tk+1=(2x)6?k(?1)k,其 中k=0,1,2,···,6.顯然,奇次項(xiàng)的系數(shù)為負(fù)數(shù),偶次項(xiàng)的系數(shù)為正數(shù),故|a0|+|a1|+|a2|+···+|a6|=a0?a1+a2?a3+a4?a5+a6.賦值,令x=?1,即得其和|a0|+|a1|+|a2|+···+|a6|=a0?a1+a2?a3+a4?a5+a6=(?2?1)6=36.

方法二(將展開式中各項(xiàng)系數(shù)都轉(zhuǎn)化為正數(shù),擺脫絕對(duì)值的束縛) 倘若二項(xiàng)展開式中各項(xiàng)系數(shù)均為正數(shù),則系數(shù)的絕對(duì)值之和與系數(shù)之和就無差異了.比如本題的二項(xiàng)式中,a=2x,b=?1,先將各項(xiàng)的符號(hào)變?yōu)椤罢?即將(2x ?1)6改為(2x+1)6,而(2x+1)6的展開式中各項(xiàng)的系數(shù)均這正數(shù),賦值令x=1,可得各項(xiàng)的系數(shù)和為(2+1)6=36,此即(2x ?1)6的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值之和|a0|+|a1|+|a2|+···+|a6|.

評(píng)注方法二先將二項(xiàng)式中系數(shù)符號(hào)變“正”后,再賦值x=1 求得其展開式的系數(shù)之和,此即原二項(xiàng)展開式的各項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值之和.

（1）在進(jìn)行面板堆石壩填料施工過程中，首先應(yīng)對(duì)料場(chǎng)的填料進(jìn)行取樣試驗(yàn)，測(cè)定填料的含水量，篩分、擊實(shí)等指標(biāo)，并經(jīng)監(jiān)理工程師確認(rèn)，然后采用自卸汽車倒車卸料攤鋪，推土機(jī)整平。此外，為了保證虛鋪厚度的均勻、準(zhǔn)確，在碾壓試驗(yàn)條帶兩側(cè)邊線處插鋼筋棍拉線。整平過程中，對(duì)局部不平及集料處用人工進(jìn)行整平，確保填料均勻、平整。

評(píng)注此法無須區(qū)分展開式中各項(xiàng)系數(shù)的正負(fù),解題過程雖然“簡(jiǎn)單粗暴”,但運(yùn)算量小,效率更高.

2 深層邏輯

相比較而言,上述方法二無須事先判斷展開式中各項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)情況,只需要先將二項(xiàng)式中兩項(xiàng)系數(shù)符號(hào)改為“正”,再賦值求改“正”后的二項(xiàng)展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和.這樣,就將原二項(xiàng)展開式中各項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值之和轉(zhuǎn)化為新二項(xiàng)展開式中的各項(xiàng)系數(shù)之和.但是,如此轉(zhuǎn)化的依據(jù)是什么? 本節(jié)我們解釋符號(hào)改“正”后賦值求得展開式各項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值之和的合理之處——深層邏輯.

應(yīng)用此法,在面對(duì)更為復(fù)雜的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值之和時(shí),同樣有效.

例3(2x ?3y+z)10展開式中各項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值之和為____.

分析先將(2x ?3y+z)10改“正”為(2x+3y+z)10,再求其展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和.賦值,令x=1,y=1,z=1,則可得(2x+3y+z)10展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為(2+3+1)10=610,故(2x ?3y+z)10展開式中各項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值之和為610.

評(píng)注根據(jù)二項(xiàng)式定理知識(shí),(2x ?3y+z)10的展開式共有66 項(xiàng),此法不必判斷展開式中各項(xiàng)系數(shù)的正負(fù),從而避開了麻煩.

例4 (多選題)(江蘇省揚(yáng)中市第二高級(jí)中學(xué)2020 年檢測(cè)第12 題)已知的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為2,則下列結(jié)論正確的有()

A.a=1

C.展開式系數(shù)的絕對(duì)值的和1458

D.若r為偶數(shù),則展開式中xr和xr?1的系數(shù)相等

3 變式有“變”審慎解題

上述求展開式中各項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值之和的步驟可以概括為兩步: 一改“正”,二賦“1”.一直以來,許多課外輔導(dǎo)資料上都是這般地介紹,師生之間也如此口口相傳.在解答相關(guān)變式(非簡(jiǎn)單的二項(xiàng)式)的時(shí)候,這種常規(guī)方法真的有效嗎? 直到有一天,給學(xué)生講解資料上的一道試題(本文例5)時(shí),筆者隱隱覺得有點(diǎn)問題,但一時(shí)又說不清楚問題的癥結(jié)所在.課后思索再三,才發(fā)現(xiàn)其中的端倪.

例5(多選題)關(guān)于多項(xiàng)式(1+?x)6的展開式,下列結(jié)論正確的是()

A.各項(xiàng)系數(shù)之和為1 B.各項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值之和為212

C.存在常數(shù)項(xiàng) D.x3的系數(shù)之和為40

當(dāng)然,即便出現(xiàn)了同類項(xiàng),但同類項(xiàng)的系數(shù)符號(hào)同正或同負(fù),則也不會(huì)產(chǎn)生上述相互“抵消”的現(xiàn)象,利用前述先改“正”后賦“1”的方法求得展開式中各項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值之和也不會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤.本題中沒有出現(xiàn)這樣的項(xiàng).

事實(shí)上,上述參考答案中所犯的錯(cuò)誤也見于學(xué)生常用的搜題軟件,如某度作業(yè)幫、某猿搜題等.

至此,真相已明! 但筆者尚存一問: 本題中的絕對(duì)值之和如何求解為妥? 筆者經(jīng)筆算求得答案為1418,敬請(qǐng)讀者朋友指教.

查閱資料,筆者又在一本頗為知名品牌的教輔用書中看到了下例,將參考答案摘錄附后,供讀者研討:

例6(多選題)已知(1+ax2)(?x)6的展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為3,則下列結(jié)論正確的是()

A.a=1

B.展開式中的常數(shù)項(xiàng)為320

C.展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)的絕對(duì)值的和為2187

D.展開式按x的升冪排列時(shí)第2 項(xiàng)的系數(shù)為?192

參考答案(請(qǐng)讀者自行斷定其正誤!) 先根據(jù)條件求得a=2,以下僅摘抄C 選項(xiàng)的判斷過程: (1+2x2)(?x)6的展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)的絕對(duì)值之和與的展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)之和相等.在中,令x=1 得(1+2)(2+1)6=37=2187,所以選項(xiàng)C 正確.

人類認(rèn)識(shí)事物的過程,是從局部到整體、從片面到全面、從錯(cuò)誤到正確、從零碎到完整、從孤立到聯(lián)系的波浪式發(fā)展的過程.在掌握新的定義定理公式、領(lǐng)悟知識(shí)內(nèi)涵的過程中,“錯(cuò)誤”是必經(jīng)的關(guān)卡.發(fā)現(xiàn)“錯(cuò)誤”,用好“錯(cuò)誤”,有益于我們更好地理解知識(shí),更清晰地把握概念與方法的本質(zhì).