山東省寧陽縣復(fù)圣中學(xué)(271400) 張志剛

二元方程約束條件下的最值問題解法靈動(dòng)多變,飽含數(shù)學(xué)思想,備受命題專家的青睞,成為歷年高考考查的熱點(diǎn),近三年就有2020 年新高考全國I 卷第11 題、新高考全國II 卷第12 題、天津卷第14 題、江蘇卷第12 題,2022 年新高考全國II 卷第12 題等進(jìn)行了獨(dú)立考查.近年,此類問題也逐漸進(jìn)入競賽、高校強(qiáng)基計(jì)劃測試等選拔性考試,增添了一道靚麗的風(fēng)景線.與高考試題相比,題目涉及知識點(diǎn)更多,思維跨度更大,呈現(xiàn)出更強(qiáng)的綜合性與選拔性.

1 試題呈現(xiàn)

題目(2022 年清華大學(xué)新領(lǐng)軍TACA 數(shù)學(xué)二試題第2題)已知正實(shí)數(shù)a,b滿足a+2b=1,I為的最小值,則[I]=____.

注: 若實(shí)數(shù)a滿足n≤a

本題設(shè)計(jì)簡潔凝練,構(gòu)思別具匠心,考查方程條件下的二元函數(shù)最值問題,突出考查數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).

2 命制背景

本題命制的背景是應(yīng)用拉格朗日乘數(shù)法求極值問題.其原理是: 給定二元函數(shù)z=f(x,y) 和附加條件φ(x,y)=0,為了探求z=f(x,y) 在附加條件下的極值點(diǎn),先構(gòu)造拉格朗日函數(shù)L(x,y)=f(x,y)+λφ(x,y)(λ為參數(shù)),計(jì)算L(x,y)對x,y的一階偏導(dǎo)數(shù),令它們分別為零,并與附加條件聯(lián)立,即

圖1

應(yīng)用拉格朗日乘數(shù)法本題解答如下: 由于a >0,b >0,且a+2b=1,令

3 試題解答

拉格朗日乘數(shù)法在理論上是經(jīng)濟(jì)便捷的,但在實(shí)際解題過程中,中學(xué)生卻面臨不小的挑戰(zhàn): 首先,學(xué)生理解拉格朗日乘數(shù)法的原理需要較長的過程;其次,求偏導(dǎo)運(yùn)算對于高中學(xué)生而言也是陌生的;此外,求解方程組需要較強(qiáng)的運(yùn)算求解能力,等等.那么,如何用初等數(shù)學(xué)方法解決呢? 在高中階段,解決此類問題可從方程有解、不等式放縮、函數(shù)最值等視角嘗試解答.減元思想是貫穿解題過程的一條主線,即把雙變量問題轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)或方程問題,再輔以換元法、構(gòu)造法、放縮法、配方法及函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學(xué)思想方法,實(shí)現(xiàn)消元、降冪、化簡之目的.

思路一 轉(zhuǎn)化為二次方程有解問題

判別式的符號與二次方程解的個(gè)數(shù)息息相關(guān),利用判別式成為處理二次方程問題的常規(guī)操作.本題中令=z,借助條件a+2b=1 消元得(1+2z)b2?(z+2)b+3=0.當(dāng)1+20 時(shí),利用二次方程有解判別式?≥0 建立關(guān)于z的不等式.

解法1 判別式法

評注“二次方程有解則判別式大于等于0”是學(xué)生最早接觸、最為熟悉、最易掌握的方法.美中不足的是,上述解答在得到方程(1+2z)b2?(z+2)b+3=0 后,需對二次項(xiàng)系數(shù)分類討論,如何規(guī)避分類討論簡化問題呢? 由于“三個(gè)二次”緊密相聯(lián),可轉(zhuǎn)而討論相應(yīng)不等式成立的情況.

思路二 轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題

解法2 (解法1 優(yōu)化)判別式法

思路三 運(yùn)用不等式放縮求解最值

解法3 基本不等式法

因?yàn)閍>0,b>0,由基本不等式得

評注以上通過典型的“1”的代換,將目標(biāo)函數(shù)的分子化為關(guān)于a,b的二次齊次式,進(jìn)而借助基本不等式求得最值.此外,利用基本不等式要注意驗(yàn)證等號能否成立.

思路四 通過消元轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)最值

通過哪些渠道將本題的二元函數(shù)轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟悉的一元函數(shù)呢? 由題設(shè)得a=1?2b,代入目標(biāo)函數(shù)有,即轉(zhuǎn)化為關(guān)于b的一元函數(shù),此時(shí)可考慮導(dǎo)數(shù)方法(解法4)、齊次化消元(解法5)等討論最值;由a+2b=1 聯(lián)想到等差中項(xiàng),通過構(gòu)造等差數(shù)列也可實(shí)現(xiàn)減元(解法6).

解法4 導(dǎo)數(shù)法

導(dǎo)數(shù)是關(guān)于瞬時(shí)變化率的數(shù)學(xué)表達(dá),定量刻畫了函數(shù)的局部變化規(guī)律,利用導(dǎo)數(shù)可以精確地研究函數(shù)的單調(diào)性、最值、增長(衰減)率、增長(減少)快慢等性質(zhì).

評注通過以上過程,我們可進(jìn)一步體會導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)(含高次多項(xiàng)式函數(shù)、分式函數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列等)單調(diào)性的普適性,體會知識之間的有機(jī)銜接與融合.

解法5 齊次化消元

解法6 構(gòu)造等差數(shù)列減元

思路五 利用實(shí)數(shù)域內(nèi)平方式的非負(fù)性

配方是一種以“出現(xiàn)平方式”為思維指向的恒等變形,因而,配方法既具有一般恒等變形的功能,又具有“平方式”,從而在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)產(chǎn)生非負(fù)數(shù)的特殊功能.至于配方法的更多作用,如配方消去一次項(xiàng)、配方分離分母等,都可以分解成這兩個(gè)基本功能的組合與派生[1].

解法7 配方法

體現(xiàn)出配方變形的靶向性、不唯一性、靈活性.

4 結(jié)束語

追根溯源可以直擊命題意圖,橫跨縱聯(lián)也利于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維等創(chuàng)新性思維.以拉格朗日乘數(shù)法為背景的二元方程條件下的最值問題意蘊(yùn)豐富,包含函數(shù)、方程、不等式、三角代換等高中數(shù)學(xué)主干知識.對于此類問題,教師要充分挖掘其意境高深悠遠(yuǎn)、再生能力強(qiáng)、探究空間大的優(yōu)勢,引導(dǎo)學(xué)生捕捉信息,挖掘本質(zhì),抓住關(guān)鍵,尋求聯(lián)系,構(gòu)建方案.學(xué)生在感知確認(rèn)、抽象概括、合情推理、操作運(yùn)算等思維活動(dòng)中,全方位、多角度、多層次地思考問題,綜合運(yùn)用各種方法,提出新視角、新觀點(diǎn)、新設(shè)想,逐步學(xué)會有邏輯地思考數(shù)學(xué)問題.

最后再給出幾題,供讀者練習(xí).

(1)(2022 年新高考全國Ⅱ卷第12 題)對任意x,y,滿足x2+y2?xy=1,則()

(2)(2020 年新高考全國I 卷第11 題)已知實(shí)數(shù)a >0,b>0,且a+b=1,則()

(3) (2017 年清華大學(xué)領(lǐng)軍計(jì)劃測試第6 題) 已知x2+xy+y2=1,則()