陜西省西安高新第三中學(xué)(710075) 呂二動(dòng)

題目(北師大教材必修五第二章第二節(jié)習(xí)題2-2,B 組第一題)如圖1,一條直線上有三點(diǎn)A,B,C,點(diǎn)C在點(diǎn)A與點(diǎn)B之間,點(diǎn)P是此直線外一點(diǎn),設(shè)∠APC=α,∠BPC=β.求證:

圖1

此結(jié)論正是我們常說的張角定理(或三點(diǎn)共線定理),下面我們來具體看張角定理:

一、定理呈現(xiàn)

張角定理設(shè)A,C,B順次分別是平面內(nèi)一點(diǎn)P所引三條射線PA,PC,PB上的點(diǎn),線段AC,CB對(duì)點(diǎn)P的張角分別為α,β,且α+β <180?,則A,C,B三點(diǎn)共線的充要條件是:

證明如圖2,A,C,B三點(diǎn)共線

圖2

注若規(guī)定角的繞向,逆時(shí)針方向?yàn)檎?否則為負(fù),則上述定理、推論中的點(diǎn)C可表示在AB的延長(zhǎng)線上的情形.

二、定理應(yīng)用

1.解決向量相關(guān)問題

圖3

圖4

圖5

2.解決解三角形相關(guān)問題

例4(2018 年江蘇高考) 如 圖6,在?ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,∠ABC=120?,∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D,且BD=1,則4a+c的最小值為_____.

圖6

圖8

3.解決平面幾何問題

3.1 線段長(zhǎng)度之間倍分關(guān)系

例6已知G是?ABC的重心,過G作直線分別交?ABC的兩邊AB,AC于E,F.求證:EG≤2GF.

圖9

例8(CMO-5 試題)如圖10,箏形ABCD中,AB=AD,BC=DC.經(jīng)過AC與BD的交點(diǎn)O任作兩條直線,分別交AD于E,交BC于F,交AB于G,交CD于H,GF,EH分別交BD于I,J.求證:OI=OJ.

圖10

3.2 證明線段長(zhǎng)度成調(diào)和數(shù)列

調(diào)和數(shù)列: 如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)倒數(shù)成等差數(shù)列,則此數(shù)列叫做調(diào)和數(shù)列

例9如圖11,已知AD,AE分別是?ABC的內(nèi)外角平分線,點(diǎn)D在BC邊上,點(diǎn)E在BC邊的延長(zhǎng)線上.求證:

圖11

例10如圖12,圓的割線PAB通過圓心O,自P作圓的任一割線PCD交圓于C,D.又在圓上取一點(diǎn)E,使,連結(jié)CE交AB于F.求證:

圖12

3.3 證明線段長(zhǎng)度成等差數(shù)列

例11(1979 年遼寧省競(jìng)賽題)如圖13,已知AM是?ABC的邊BC上的中線,任作一直線順次交AB,AC,AM于P,Q,N.求證:成等差數(shù)列.

圖13

證明令∠BAM=α,∠MAC=β,∠AMB=θ.以A為視點(diǎn),分別對(duì)P,N,Q及B,M,C應(yīng)用張角定理,有

例12圓內(nèi)接?ABC,點(diǎn)C的切線交BA的延長(zhǎng)線于P,過P任作直線交圓于E、F,交AC、BC分別于N、M,求證:

證明設(shè)∠APM=α,∠MPC=β,并分別取AB、EF中點(diǎn)G、H,如圖14,顯然P,G,H,C和圓心O五點(diǎn)共圓.

圖14

由托勒密定理可知PH ·GC=GH ·PC+PG·HC,對(duì)?GHC三邊用正弦定理代入得PH ·sin(α+β)=PC·sinα+PG·sinβ,兩邊乘2,即

3.4 證明三點(diǎn)共線

例13如圖15,已知AB是圓的直徑,PA,PC是圓的切線,A,C為切點(diǎn).作CD⊥AB于D,Q為CD的中點(diǎn).求證:P,Q,B三點(diǎn)共線.

圖15

證明以C為視點(diǎn),考察線段PQ,QB所張的角的情形.連結(jié)AC,BC,則∠ACB=90?,令∠PCA=α,則∠CBA=∠ACD=α,令PC=a,易知AC=2a·cosα,

3.5 張角定理與斯特瓦爾特定理的等價(jià)性

例14如圖16,設(shè)B,P,C依次分別為從A點(diǎn)引出的三條射線AB,AP,AC上的點(diǎn).線段BP,PC對(duì)點(diǎn)A的張角分別為α,β,且α+β <180?,則B,P,C三點(diǎn)共線的下述兩個(gè)充要條件等價(jià):

圖16

(Ⅱ)AB2·PC+AC2·BP=AP2·BC+BP·PC·BC(斯特瓦爾特定理).

證明

三、定理推廣

推廣1(3 維張角定理) 如圖17,在四面體A ?BCD中,P為棱DC上一點(diǎn),若二面角D ?AB ?P為α,二面角C ?AB ?P為β,則

圖17

首先證明引理: 四面體的體積等于任意兩個(gè)面的面積之積的三分之二乘以這兩個(gè)面所成二面角的正弦值再除以這兩個(gè)面的公共線段之長(zhǎng).

圖18

例15(推廣1 的應(yīng)用: 1994 年高考) 如圖19,已知A1B1C1?ABC是正三棱柱,D是AC中點(diǎn).

圖19

(1)證明:AB1//平面DBC1;

(2)假設(shè)AB1⊥BC1,求以BC1為棱,DBC1與CBC1為面的二面角的度數(shù).

解答(1)因?yàn)锳1B1C1?ABC是正三棱柱,所以四邊形B1BCC1是矩形.連結(jié)B1C交BC1于E,則B1E=EC.連結(jié)DE.在?AB1C中,因?yàn)锳D=DC,所以DE//AB1.又AB1平面DBC1,DE ?平面DBC1,所以AB1//平面DBC1.

圖20

教材是我們學(xué)習(xí)的出發(fā)點(diǎn)和根源,高考、競(jìng)賽試題源于教材,把教材由薄讀到厚,再由厚讀到薄,對(duì)教材的每一道例題、習(xí)題,每一段文字,包括閱讀材料,研究性學(xué)習(xí)都要認(rèn)真思考,研究,只有這樣,才能有收獲