■ 郎宏坤

數(shù)學(xué)語言是一種科學(xué)語言，用數(shù)學(xué)語言對各種數(shù)學(xué)概念、公式、規(guī)律、性質(zhì)、公理等進(jìn)行表述會非常精確和簡潔。究其本質(zhì)，數(shù)學(xué)教學(xué)其實就是數(shù)學(xué)語言的教學(xué)。學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程就是不斷閱讀、理解、掌握和運用數(shù)學(xué)語言的過程。如果數(shù)學(xué)語言水平不高，學(xué)生就難以進(jìn)行數(shù)學(xué)閱讀和交流，就很難準(zhǔn)確表達(dá)自己的想法，很難理解別人用數(shù)學(xué)語言表達(dá)的觀點。反過來說，如果能準(zhǔn)確、迅速地用數(shù)學(xué)語言表達(dá)觀點，就能有效提高學(xué)習(xí)效率?？梢哉f，數(shù)學(xué)語言水平的高低是影響學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率高低的重要因素。概念教學(xué)是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的一個重要內(nèi)容。如果學(xué)生借助已有的生活經(jīng)驗或相關(guān)知識對概念的內(nèi)涵和外延有了比較全面的認(rèn)識，教師就要及時引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)語言對概念進(jìn)行多元表征和準(zhǔn)確表述。如果學(xué)生能把數(shù)學(xué)語言與它所代表的數(shù)學(xué)內(nèi)容聯(lián)系起來，就能比較容易地理解數(shù)學(xué)概念。

一、概念形成階段，引導(dǎo)學(xué)生把自然語言轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)語言

概念形成是概念教學(xué)的重要階段。所謂概念形成，就是學(xué)生在分析和對比一類事物中發(fā)現(xiàn)了這類事物中相同的關(guān)鍵特征，從而把這種關(guān)鍵特征概括為數(shù)學(xué)概念。概念形成一般包括提供例證并仔細(xì)觀察、分析例證并提出假設(shè)、驗證假設(shè)并獲得概念、修正假設(shè)并揭示概念四個階段。在概念形成過程中，學(xué)生是數(shù)學(xué)概念的主動發(fā)現(xiàn)者和建構(gòu)者，也是把自然語言變成數(shù)學(xué)語言的主動轉(zhuǎn)換者。在這個過程中，教師要鼓勵學(xué)生對自然語言進(jìn)行加工和提煉，引導(dǎo)學(xué)生將自然語言“數(shù)學(xué)化”為數(shù)學(xué)語言，從而培養(yǎng)學(xué)生把自然語言轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)語言的能力。

教學(xué)“奇妙的圖形密鋪”時，教師先引導(dǎo)學(xué)生觀察一些密鋪的圖形，讓學(xué)生說說“密鋪”的概念。有的學(xué)生說：“看到‘密鋪’一詞，我就想到密密麻麻地鋪在一起的圖形?！庇械膶W(xué)生說：“既然是‘密’，那就應(yīng)該有很多。無論什么形狀的圖形，如果能既無空隙又不重疊地鋪在平面上，這種鋪法應(yīng)該就是密鋪?！庇械膶W(xué)生說：“我用很多相同的平行四邊形紙片嘗試，發(fā)現(xiàn)平行四邊形可以密鋪后，就猜想梯形和三角形也可以密鋪。因為兩個完全一樣的梯形或三角形都能拼成一個平行四邊形，平行四邊形可以密鋪，梯形和三角形應(yīng)該也可以密鋪。”根據(jù)學(xué)生的發(fā)言，教師引導(dǎo)學(xué)生圍繞“正五邊形能否密鋪”進(jìn)行討論，有的學(xué)生認(rèn)為可以，并拿出自己完成的作業(yè)——將正五邊形鋪成一排。有的學(xué)生提出反對意見，認(rèn)為把圖形鋪成一排還算不上密鋪，只有把這些正五邊形不留空隙、不重疊地鋪成一片才行。在此基礎(chǔ)上，教師適時引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行總結(jié)，水到渠成地用數(shù)學(xué)語言表述“密鋪”的概念：“用形狀、大小完全相同的幾種或幾十種平面圖形進(jìn)行拼接，彼此之間不留空隙、不重疊地鋪成一片，這就是平面圖形的密鋪，也叫做平面圖形的鑲嵌。”

教師提供一些有關(guān)“密鋪”的例子讓學(xué)生觀察和討論，嘗試概括這些例子蘊含的本質(zhì)屬性。學(xué)生在概括的過程中談的都是自己的認(rèn)識，用的都是自己的語言（自然語言），其中梯形和三角形能夠密鋪就是學(xué)生提出的假設(shè)或猜想，教師再引導(dǎo)學(xué)生觀察并討論正五邊形是否能夠密鋪，學(xué)生在驗證假設(shè)中習(xí)得數(shù)學(xué)概念，教師最后引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)的“密鋪”概念所用語言比較精練，是學(xué)生對自然語言表述的提煉和加工，是“數(shù)學(xué)化”了的自然語言（文字語言），變得比較嚴(yán)謹(jǐn)和科學(xué)。學(xué)生在提出假設(shè)和驗證假設(shè)的過程中使用的還是自然語言，最終概括的“密鋪”概念是數(shù)學(xué)語言中的文字語言。如果教師在概念教學(xué)中經(jīng)常這樣有意識地引導(dǎo)學(xué)生把自然語言轉(zhuǎn)換為文字語言或其他數(shù)學(xué)語言，就能慢慢培養(yǎng)學(xué)生相應(yīng)的語言轉(zhuǎn)換能力。

二、概念理解階段，引導(dǎo)學(xué)生把數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換為自然語言

概念形成后，教師要引導(dǎo)學(xué)生及時回歸現(xiàn)實，尋找生活原型，幫助學(xué)生進(jìn)一步深化對概念的認(rèn)識，實現(xiàn)概念的真正理解。所謂概念理解，就是對數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵和外延的把握能力。學(xué)生在辨認(rèn)和識別概念的基礎(chǔ)上，了解概念的本質(zhì)與內(nèi)在聯(lián)系，對概念實現(xiàn)系統(tǒng)化和具體化的認(rèn)識，甚至融會貫通。數(shù)學(xué)概念的每個符號所表示的意義與學(xué)生已經(jīng)知道的日常觀念未必一致，這是因為數(shù)學(xué)概念雖然來源于現(xiàn)實世界，但卻是多次抽象的結(jié)果。為了幫助學(xué)生真正理解數(shù)學(xué)概念，教師要引導(dǎo)學(xué)生用自己熟悉的語言（自然語言）解釋概念。學(xué)生對自然語言比較親近，也容易在理解中內(nèi)化數(shù)學(xué)概念。這個把數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換為自然語言的過程，就是我們常說的數(shù)學(xué)概念“通俗化”過程。

例如，“平行線”概念形成后，由于概念比較抽象，學(xué)生不能深刻理解“互相平行”是兩條直線相互依存的位置關(guān)系，總習(xí)慣地說成“直線a是平行線”，這種說法無疑是錯誤的。教師可以借助日常生活中的“朋友關(guān)系”和“同學(xué)關(guān)系”等語言幫助學(xué)生理解平行線間的相互依存關(guān)系。如小華和小剛兩人是同桌的位置關(guān)系可以這樣描述：小華和小剛互為同桌，小華是小剛的同桌，小剛是小華的同桌。仔細(xì)觀察圖中的兩條直線，你們會描述直線a與直線b的位置關(guān)系嗎？學(xué)生很快就準(zhǔn)確、完整地用數(shù)學(xué)語言表述出來：直線a與直線b互相平行，直線a是直線b的平行線，直線b是直線a的平行線。

數(shù)學(xué)概念往往是用比較精練的數(shù)學(xué)語言進(jìn)行表述的，因而具有一定的概括性和抽象性，但小學(xué)生受思維發(fā)展和語言發(fā)展水平的影響，真正理解和掌握較為復(fù)雜的數(shù)學(xué)概念常常有一定的困難，需要教師引導(dǎo)學(xué)生運用自然語言來類比、描述和闡釋。學(xué)生比較容易理解生活中的“同桌關(guān)系”，用通俗易懂的自然語言進(jìn)行解釋，有助于學(xué)生正確理解平面上兩條直線的“平行關(guān)系”，學(xué)生對兩者之間相互依存關(guān)系的理解就變得非常容易。把用數(shù)學(xué)語言表述的抽象復(fù)雜、難以理解的數(shù)學(xué)概念，讓學(xué)生“用自己的語言說一說”，就是把數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換為自然語言，這樣轉(zhuǎn)換有利于學(xué)生在類比中深刻理解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)。因此，把抽象的數(shù)學(xué)語言借助恰當(dāng)?shù)淖匀徽Z言進(jìn)行“通俗化”有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換能力。

三、概念應(yīng)用階段，引導(dǎo)學(xué)生實現(xiàn)數(shù)學(xué)語言之間相互轉(zhuǎn)換

概念學(xué)習(xí)的目的在于應(yīng)用。概念應(yīng)用包括基本應(yīng)用、變式應(yīng)用和拓展應(yīng)用，無論在哪種應(yīng)用中，學(xué)生即使能用數(shù)學(xué)語言表述概念，也不意味著就能真正理解和掌握數(shù)學(xué)概念。因此，教師要有的放矢地引導(dǎo)學(xué)生在概念應(yīng)用中進(jìn)行概念具體化，以便在促進(jìn)學(xué)生鞏固概念的同時，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換能力。數(shù)學(xué)語言中的文字語言、符號語言和圖表語言各有優(yōu)勢與不足。如果把數(shù)學(xué)語言表述的概念進(jìn)行適當(dāng)轉(zhuǎn)換，實現(xiàn)文字語言、圖表語言和符號語言的優(yōu)勢互補和有機融合，就能幫助學(xué)生進(jìn)一步掌握數(shù)學(xué)概念。在概念教學(xué)中，利用數(shù)學(xué)對象表征形式的多樣性，對同一個數(shù)學(xué)概念逐步或同時運用不同的數(shù)學(xué)語言進(jìn)行表述，引導(dǎo)學(xué)生從不同角度加以理解，溝通其聯(lián)系，以此促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)語言的發(fā)展。

例如，“成正比例的量”概念對小學(xué)生而言是比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)概念。尤其是用符號語言——字母表達(dá)式y(tǒng)∶x=k（一定）表示成正比例的量，學(xué)生更難理解。因為這個字母表達(dá)式雖然比較簡潔，但對學(xué)生而言未免太抽象了。教師可以分幾個層次幫助學(xué)生鞏固這個概念。

基本應(yīng)用就是把用數(shù)學(xué)語言表述的概念直接進(jìn)行解釋。教師可以直接提問學(xué)生這個表達(dá)式所表示的含義。學(xué)生可以根據(jù)自己的認(rèn)識，直接回答為“兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量y變化，另一種量x也隨之變化。如果這兩種量中相對應(yīng)的兩個數(shù)的比值k一定，那么y和x這兩種量就是成正比例的量，它們的關(guān)系就是正比例關(guān)系?！睂W(xué)生這樣直接把符號語言轉(zhuǎn)換為文字語言，成正比例的量和正比例關(guān)系的概念雖然還很抽象，但已經(jīng)比直接用符號表述的概念要容易理解了。

變式應(yīng)用就是結(jié)合具體實例進(jìn)行解釋，培養(yǎng)學(xué)生在遷移應(yīng)用中的數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換能力。教師可以結(jié)合“練一練”的教學(xué)把這個符號語言表達(dá)的概念轉(zhuǎn)換成其他數(shù)學(xué)語言：先引導(dǎo)學(xué)生寫出幾組相對應(yīng)的生產(chǎn)零件數(shù)量和時間的比，并比較比值的大小，再判斷張師傅生產(chǎn)零件的數(shù)量和時間是否成正比例，最后說明理由。學(xué)生說明理由的過程其實就是把符號語言表達(dá)的概念表達(dá)式轉(zhuǎn)換為文字語言的過程——生產(chǎn)零件數(shù)量∶時間=每小時生產(chǎn)的零件數(shù)量（一定）。因此，生產(chǎn)零件的數(shù)量和生產(chǎn)零件的時間成正比例。在此基礎(chǔ)上，教師最后用圖表語言——正比例圖像呈現(xiàn)成正比例的量，幫助學(xué)生深化對概念的理解。

拓展應(yīng)用就是教師針對學(xué)生在概念學(xué)習(xí)過程中可能存在的認(rèn)識誤區(qū)設(shè)計練習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生在拓展中對概念形成正確的認(rèn)識。學(xué)生對“成正比例的量”有了較多的認(rèn)識后，教師可以直接出示這樣的習(xí)題讓學(xué)生判斷：正方體的體積和它的底面積是否成正比例？為什么？學(xué)生判斷并說明理由的過程就是學(xué)生符號語言轉(zhuǎn)換的過程：正方體的體積÷它的底面積=正方體的高。如果正方體的棱長（高）是一定的，那么，它的體積和底面積都是一定的，就不是變化的量。因此，正方體的體積和它的底面積不成正比例；如果正方體的體積和底面積都是變化的量，那么，正方體的高（棱長）也是變化的量，比值就不一定，正方體的體積和它的底面積仍然不成正比例。在此基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生思考有沒有類似的例子。學(xué)生經(jīng)過討論和交流，發(fā)現(xiàn)了類似的例子——正方形的面積和它的邊長，圓的面積和它的半徑……

三種數(shù)學(xué)語言表述數(shù)學(xué)概念各有優(yōu)缺點：用文字語言表述概念可能精練但比較抽象，用圖表語言表述概念可能直觀但比較繁雜，用符號語言表述可能比較簡潔但難以理解。在“成正比例的量”概念教學(xué)中，教師巧妙地抓住三種數(shù)學(xué)語言的特點，引導(dǎo)學(xué)生在概念應(yīng)用中進(jìn)行靈活轉(zhuǎn)換：符號語言準(zhǔn)確簡潔地表示概念的本質(zhì)內(nèi)涵；圖表語言直觀易懂地呈現(xiàn)了兩種量以及兩種量的變化，降低學(xué)生理解表達(dá)的難度，有利于學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上用文字語言表達(dá)數(shù)學(xué)概念。三種數(shù)學(xué)語言恰當(dāng)呈現(xiàn)并適切轉(zhuǎn)換，多元表征的運用，不僅有助于學(xué)生深刻理解概念，而且能有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換能力。三種數(shù)學(xué)語言形式既各自獨立又相互轉(zhuǎn)化。教師引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷多次數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換，學(xué)生才能真正理解概念的本質(zhì)內(nèi)涵。

總之，數(shù)學(xué)概念是人類對現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系的簡明、概括的反映，并且由反映概念本質(zhì)特征的數(shù)學(xué)語言表示，從而使數(shù)學(xué)有比其他學(xué)科更加簡明、準(zhǔn)確的表述形式。教師不僅要引導(dǎo)學(xué)生從實例中發(fā)現(xiàn)共性并形成概念，而且要正確把握概念的內(nèi)涵與外延，為此可以提供一些相關(guān)正例，讓學(xué)生進(jìn)一步觀察與分析，更要呈現(xiàn)一些與正例明顯不同的反例，幫助學(xué)生強化對概念的理解。掌握數(shù)學(xué)概念與轉(zhuǎn)換數(shù)學(xué)語言是一個相輔相成、內(nèi)在統(tǒng)一的過程。