摘 要：在新教材新課標不斷推進的環(huán)境下，傳統(tǒng)的教案、學(xué)案教學(xué)已經(jīng)較難適應(yīng)新時代學(xué)生的學(xué)習需求，學(xué)歷案應(yīng)運而生。基于HPM（數(shù)學(xué)與教學(xué)史教育）視角下的學(xué)歷案從學(xué)生的角度出發(fā)，更加尊重學(xué)生的認知習慣，能夠幫助學(xué)生構(gòu)建所學(xué)知識的框架體系，針對性和可操作性強，能極大地提高學(xué)生學(xué)習的自主性，真正地提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：學(xué)歷案；HPM教學(xué)法；高中數(shù)學(xué)

中圖分類號：G633.6?? 文獻標識碼：A?? 文章編號：1673-8918（2022）43-0099-04

教無定法，但教應(yīng)有常法，構(gòu)建以學(xué)生的學(xué)為中心的課堂教學(xué)模式，從學(xué)生學(xué)的角度，為學(xué)生的學(xué)習設(shè)計一種方案是必須的，筆者認為在課堂教學(xué)中采用學(xué)歷案是一種很值得關(guān)注和研究的課堂教學(xué)模式。這種教學(xué)模式符合人本主義學(xué)習理論，教師課堂教有教案，學(xué)生學(xué)有學(xué)歷案，體現(xiàn)了高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中師為主導(dǎo)、學(xué)為主體的教學(xué)原則，在課堂建立起學(xué)與教的橋梁，還學(xué)生數(shù)學(xué)課堂的主體地位。

學(xué)歷案是指教師在班級教學(xué)背景下，圍繞一個具體的學(xué)習單位（主題、課文或單元）從期望“學(xué)會什么”出發(fā)，設(shè)計并展示“學(xué)生何以學(xué)會的過程”，以便于學(xué)生自主建構(gòu)或社會建構(gòu)經(jīng)驗或知識的專業(yè)方案。這個角度是以學(xué)生為本，教師自己設(shè)計學(xué)生從哪些方面來學(xué)會東西，并有相應(yīng)的評價任務(wù)。

高質(zhì)量的學(xué)歷案設(shè)計能夠引導(dǎo)學(xué)生確立正確地學(xué)習目標，增強學(xué)生學(xué)習的主動性和積極性，培養(yǎng)學(xué)生的主動探索精神和自主學(xué)習能力，真正讓數(shù)學(xué)課堂動起來并能最終提高學(xué)習效率和教學(xué)效果，達到落實數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)目的。如何培養(yǎng)學(xué)生的主動探索精神，幫助學(xué)生自主建構(gòu)知識或經(jīng)驗？數(shù)學(xué)與教學(xué)史教育（HPM）案例就是學(xué)歷案學(xué)習的好素材。因為任何數(shù)學(xué)知識都是人類對數(shù)學(xué)不斷進行實踐、思考、總結(jié)，從簡單到復(fù)雜，從直觀到抽象，從經(jīng)驗概括到形式構(gòu)造，經(jīng)歷了漫長的歷史過程，是若干代數(shù)學(xué)家對數(shù)學(xué)進行獨特而深邃的思考形成的成果。而這，正好與學(xué)歷案的教育理念不謀而合，讓學(xué)生在學(xué)習中經(jīng)歷知識發(fā)生的過程，將知識逐漸內(nèi)化為自身的學(xué)習經(jīng)驗，形成知識的脈絡(luò)和認知地圖，真正地提高學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象等高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。下面以“冪函數(shù)的概念”為例談學(xué)歷案的實踐與思考。

一、 “冪函數(shù)的概念”的學(xué)歷案的課堂教學(xué)實踐

（一）學(xué)習主題與課時

學(xué)習主題為“冪函數(shù)的概念”，選自《普通高中數(shù)學(xué)教科書·數(shù)學(xué)》（上海教育出版社）必修1第四章第一節(jié)。設(shè)計1課時完成教學(xué)任務(wù)。

（二）課標要求和學(xué)習目標

《普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年版2020年修訂）》對本節(jié)提出了以下要求：“以簡單冪函數(shù)為例，研究它們的性質(zhì)，體驗研究函數(shù)性質(zhì)的過程與方法，能根據(jù)不同問題靈活的用列表法、圖像法來表示變量之間的關(guān)系和研究函數(shù)性質(zhì)，領(lǐng)悟數(shù)形結(jié)合的思想。”基于以上內(nèi)容，制定學(xué)習目標，形成原有教學(xué)目標與新制定學(xué)習目標對照表，如表1所示。

（三）評價任務(wù)

評價任務(wù)是指為檢測學(xué)生的學(xué)習目標達成情況而設(shè)計的檢測項目。有效的評價任務(wù)必須符合三條標準：與目標匹配、看得明白、實施可行。對已有的5個學(xué)習目標，均采取“一對一”的設(shè)計方法，從評價形式、任務(wù)內(nèi)容兩方面進行考量，設(shè)置5個針對性任務(wù)。

1. 完成探究1，回答思考2、3，完成考察。（檢測目標1）

2. 回答思考3，完成例1、探究2。（檢測目標2）

3. 完成知識應(yīng)用。（檢測目標3）

4. 完成探究3，回答思考4、5。（檢測目標4）

5. 完成例2。（檢測目標5）

（四）學(xué)習過程

1. 課前準備

回顧之前在初中學(xué)習過哪些初等函數(shù)，并上網(wǎng)查閱有關(guān)冪函數(shù)的數(shù)學(xué)發(fā)展史。預(yù)習《普通高中數(shù)學(xué)教科書·數(shù)學(xué)》必修第一冊第82～87頁。

完成探究一：

嘉定人杰地靈，物阜民豐。嘉定馬陸的葡萄更是聞名遐邇，請同學(xué)們閱讀以下材料并思考問題：

問題1：如果李阿姨購買了價格為1元的葡萄包裝盒x個，那么她支付的錢數(shù)y=________________________（元）。

問題2：如果一個正方形的葡萄園邊長為x米，那么葡萄園的面積y=________________________（平方米）。

問題3：如果正方體的葡萄包裝盒棱長為x厘米，那么包裝盒的體積y=________________________（立方厘米）。

問題4：如果正方形葡萄園的面積為x平方米，那么葡萄園的邊長y=________________________（米）。

問題5：如果李阿姨去買葡萄，經(jīng)過x秒騎車行進了1千米，那么她騎車的平均速度y=?? （千米/秒）。

2. 課堂學(xué)習

（1）課題引入

共同探討探究1相關(guān)問題的答案。

問題1：以上函數(shù)有何共同的特征？

生：底數(shù)是自變量，指數(shù)是常數(shù)，冪的系數(shù)為1。

師：我們把具有這種形式的函數(shù)叫作冪函數(shù)。

最早把“函數(shù)”（function）一詞用作數(shù)學(xué)術(shù)語的是萊布尼茲，當時，萊布尼茲用“函數(shù)”（function）一詞表示冪。同學(xué)們不妨一試，把它作為一個研究性課題進行研究，了解我們今天學(xué)習冪函數(shù)的意義。

（2）冪函數(shù)的概念

問題2：冪函數(shù)的定義是什么？

生：一般地，當指數(shù)a固定，等式y(tǒng)=xa確定了變量y隨變量x變化的規(guī)律，稱為指數(shù)為a的冪函數(shù)（power function）。

考查：1. 判斷下列函數(shù)哪些是冪函數(shù)。

（1）y=x4；（2）y=4x；（3）y=x0（x≠0）；（4）y=1x2；（5）y=（x-1）2；（6）y=3x2+1。

生：（1）、（3）、（4）是冪函數(shù)。

2. 如果函數(shù)f（x）=（m2-m-1）xm是冪函數(shù)，求實數(shù)m的值。

生：由冪函數(shù)定義得m2-m-1=1，解得：m=2或-1。

思考1：已對冪函數(shù)的概念有了些比較深刻的認識，根據(jù)前面所學(xué)經(jīng)歷，我們該如何繼續(xù)研究？

生：圖像和性質(zhì)。

師：為了更好地研究冪函數(shù)的性質(zhì)，我們還需要了解一下冪函數(shù)的定義域這個概念。

思考2：冪函數(shù)的定義域是什么？

生：使得y=xa有意義的x的取值范圍，稱為此冪函數(shù)的定義域。冪函數(shù)的定義域是不同的，它和指數(shù)a有關(guān)。

問題3：指數(shù)冪的相關(guān)運算性質(zhì)有哪些？

生：amn=（am）1n=nam，a-mn=1amn=1nam（a>0，m，n∈N*，n>1）。

【例1】 求下列函數(shù)的定義域。

（1）y=x3；（2）y=x12；（3）y=x13；（4）y=x-12；（5）y=x-23

生：（1）定義域為R。（2）定義域為［0，+∞）。（3）定義域為R。（4）定義域為（0，+∞）。（5）定義域為（-∞，0）∪（0，+∞）。

（3）幾個常見冪函數(shù)的圖像和性質(zhì)

德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨在1673年的一篇手稿里指出：像曲線上的點變動而變動的幾何量，如點的橫、縱坐標，切線的長度，法線的長度等都稱為函數(shù)，并強調(diào)這條曲線是一方程式給出的。這種用函數(shù)表示幾何量，被后人稱為“函數(shù)概念的幾何起源”，是函數(shù)圖像表示法定義之始。

問題4：作函數(shù)圖像的步驟？

生：列表，描點，連線。

探究二：在同一坐標系內(nèi)畫出函數(shù)y=x13和y=x-12的圖像并探究冪函數(shù)的圖像和性質(zhì)。

師：請以四位同學(xué)為一小組，畫出函數(shù)y=x3、y=x13、y=x12、y=x-12的大致圖像。（幾何畫板展示）

思考3：能否根據(jù)它們的圖像的形狀，更細分一下，從而找出它們的共同特點呢？

生：（1）當a<0時，

①過點（1，1）；

②在第一象限內(nèi)，圖像向上與y軸無限接近，向右與x軸無限接近。

當a=0時，函數(shù)為y=x0（x≠0），圖像為兩條以（0，1）點為端點的分別平行于x軸正半軸和負半軸方向的射線。

當a>0時，

①只有a>0時，圖像才與坐標軸相交，且交點一定為原點。

②當0<a<1時，函數(shù)在第一象限的圖像上升幅度較小；

③當a>1時，函數(shù)在第一象限的圖像上升幅度較大；

④當a=1時，圖像是一、三象限的角平分線。

（2）圖像一定會出現(xiàn)在第一象限，一定不會出現(xiàn)在第四象限。

（3）冪函數(shù)的圖像在y軸和直線x=1之間時，指數(shù)越大，圖像越低，指數(shù)越小，圖像越高；而在直線x=1右側(cè)，情況正好相反。

探究三：通過對上述函數(shù)圖像的分析發(fā)現(xiàn)冪函數(shù)的圖像存在對稱性，冪函數(shù)圖像的對稱性是什么？

思考4：點（x0，y0）關(guān)于原點對稱得到的點為________________________，點（x0，y0）關(guān)于y軸對稱得到的點為________________________。

生：點（x0，y0）關(guān)于原點對稱得到的點為（-x0，-y0），關(guān)于y軸對稱得到的點為（-x0，y0）。

思考5：若點（2，8）在冪函數(shù)y=x3的圖像上，則點________________________在冪函數(shù)y=x3的圖像上。

問題5：冪函數(shù)y=x3的圖像對稱性是什么？

生：冪函數(shù)y=x3的圖像關(guān)于原點成中心對稱。

思考6：若點（2，4）在冪函數(shù)y=x2的圖像上，則點________________________在冪函數(shù)y=x2的圖像上。

問題6：冪函數(shù)y=x2的圖像對稱性是什么？

生：冪函數(shù)y=x2的圖像關(guān)于y軸成軸對稱。

師：1727年，年輕的瑞士數(shù)學(xué)家歐拉在提交給圣彼得堡科學(xué)院的一篇論文中，就通過我們剛剛使用的方法來研究冪函數(shù)，并且提出了一個新的數(shù)學(xué)概念——“奇、偶函數(shù)”，也因為此慢慢地發(fā)展出函數(shù)的一個非常重要的性質(zhì)——奇偶性。

歐拉在文中提到若用-x代替x，函數(shù)不變，則稱這樣的函數(shù)為偶函數(shù)；偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱。若用-x代替x，函數(shù)變號，則稱這樣的函數(shù)為奇函數(shù)；奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱。

師：下面我們就試著循著偉人的足跡，利用函數(shù)的對稱性，來試著解決一下有關(guān)于冪函數(shù)的圖像問題。

【例2】 作出冪函數(shù)y=x-23的大致圖像。

請學(xué)生上黑板畫出函數(shù)y=x-23的圖像。（幾何畫板展示）

問題7：能否判斷一下冪函數(shù)y=x-23的圖像上的點關(guān)于什么對稱呢？

生：冪函數(shù)y=x-23的圖像關(guān)于y軸成軸對稱。

師：我們通過觀察一些簡單的冪函數(shù)，得到了冪函數(shù)的性質(zhì)。而在學(xué)習數(shù)學(xué)中，猜測是需要經(jīng)過嚴密的證明的，這個有待于通過后面的學(xué)習來完成。

（4）知識應(yīng)用：把下列函數(shù)圖像與函數(shù)表達式配對

①y=x23 ②y=x-12 ③y=x32 ④y=x-3 ⑤y=x ⑥y=x13 ⑦y=x53 ⑧y=x12 ⑨y=x43 ⑩y=x-2

（5）學(xué)后反思

請梳理本堂課知識內(nèi)容并嘗試自己畫出本節(jié)課的思維導(dǎo)圖。你覺得還有哪些內(nèi)容比較難以掌握？需要老師提供哪些幫助？你還有什么好的心得體會可以分享給大家？

二、 高中數(shù)學(xué)課堂HPM視角下學(xué)歷案實踐的思考

（一）學(xué)歷案的特點與創(chuàng)新點

首先，學(xué)歷案體現(xiàn)了“以生為本”的教育理念。學(xué)歷案從學(xué)生的角度出發(fā)，通過對學(xué)習者個體的關(guān)注，充分尊重學(xué)生的學(xué)習特征、學(xué)習需求，以學(xué)生發(fā)展為最高目標，從整體上建構(gòu)師生學(xué)習共同使用的文本。學(xué)歷案的設(shè)計是把“促進學(xué)生發(fā)展”作為教學(xué)的出發(fā)點和落腳點，遵循主體性、探究性、層次性和針對性四大原則，以學(xué)生立場為所有教學(xué)行為的原點，讓學(xué)生在探究性學(xué)習中感受到學(xué)習的快樂，以學(xué)生發(fā)展為最高目標。其次，學(xué)歷案建立了科學(xué)又實用的教學(xué)體系，即“教—學(xué)—評”。學(xué)歷案在設(shè)計過程中強調(diào)基于學(xué)習目標設(shè)計學(xué)習過程，學(xué)習活動逐條對標學(xué)習目標。針對學(xué)習目標設(shè)計問題，引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習過程中完成相應(yīng)的評價任務(wù)，預(yù)設(shè)主導(dǎo)性問題，作為學(xué)習的引擎，引領(lǐng)學(xué)生圍繞核心概念深入思考、實踐，想自始至終貫穿于整個學(xué)歷案，為實現(xiàn)課堂的有效教學(xué)奠定基礎(chǔ)。

（二）HPM教學(xué)可以與學(xué)歷案教學(xué)有機融合

HPM教學(xué)法將數(shù)學(xué)史融進課堂教學(xué)，通過借鑒歷史、重構(gòu)歷史，以學(xué)生為主體設(shè)計學(xué)習路徑和問題，讓學(xué)生親身經(jīng)歷思維發(fā)展的過程，教師及時指導(dǎo)學(xué)生越過學(xué)習障礙。從歷史的角度談知識產(chǎn)生的過程，可以讓學(xué)生領(lǐng)悟知識形成的必要性，提高學(xué)生學(xué)習的主觀能動性；從歷史的角度談知識發(fā)展的過程，可以讓學(xué)生產(chǎn)生身臨其境的感覺去不斷深入學(xué)習，從而促進知識遷移，提升學(xué)生的思維品質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)；從歷史的角度談知識發(fā)展過程中不斷碰到的難題，可以讓學(xué)生明白現(xiàn)在學(xué)習上的困難在歷史上也有過，有助于培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習的自信心，提升學(xué)生的意志品質(zhì)。而學(xué)歷案的精髓就是要讓學(xué)生經(jīng)歷知識發(fā)生的過程，并能夠從中自主建構(gòu)知識脈絡(luò)，掌握相關(guān)知識。在“課前準備”環(huán)節(jié)中，讓學(xué)生明白“為什么學(xué)”；在“課題引入”環(huán)節(jié)中，讓學(xué)生明白“學(xué)會什么”；在“概念學(xué)習”環(huán)節(jié)中，讓學(xué)生明白“何以學(xué)會”；在“知識應(yīng)用”和“課后反思”環(huán)節(jié)中，讓學(xué)生明白“反思源于實踐”。

由此可見，HPM教學(xué)法可以完美地融入學(xué)歷案教學(xué)中，將兩者有機結(jié)合在一起，既可以提高教學(xué)的趣味性，又可以提高學(xué)生學(xué)習的積極性，教學(xué)的有效性和針對性、學(xué)生學(xué)習的自主性和針對性也大大增加，是學(xué)歷案學(xué)習與HPM視角下的課堂教學(xué)相結(jié)合的一次有益嘗試。

參考文獻：

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［4］孟南昆.理論助力成長，教案變身學(xué)歷案：“萬有引力定律”教學(xué)設(shè)計反思［J］.物理教學(xué)探討，2021（12）：72-76.

作者簡介：耿幸（1982～），男，漢族，上海人，上海市嘉定區(qū)第二中學(xué)，研究方向：教育教學(xué)。