顧廣林 帥建卓

【摘 要】 跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)是對社會實踐活動的模擬．開展數(shù)學(xué)跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)要強化問題意識，從真實情境中聚合或抽象本質(zhì)問題，提煉出驅(qū)動性問題，圍繞問題或?qū)W習(xí)任務(wù)群，運用跨學(xué)科知識和跨學(xué)科綜合性思維進行探究實踐，綜合創(chuàng)新解決問題，實現(xiàn)心智自由轉(zhuǎn)換．同時在情境中對學(xué)科知識再建構(gòu)，學(xué)會思考，注重評價在學(xué)習(xí)中的運用，科學(xué)表達創(chuàng)造成果．

【關(guān)鍵詞】 跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)；問題意識；核心素養(yǎng)

跨學(xué)科是現(xiàn)代科學(xué)發(fā)展的主要趨勢，義務(wù)教育課程強化課程的綜合性與實踐性取向，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》提出綜合與實踐重在解決實際問題，以跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)為主［1］．?dāng)?shù)學(xué)跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)主要是整合數(shù)學(xué)與其他學(xué)科知識來解決現(xiàn)實問題，初中主要采用項目式學(xué)習(xí)的方式．?dāng)?shù)學(xué)跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)需要抽象或聚合概念，需要學(xué)習(xí)實踐和高階思維，需要不同學(xué)科教師合作設(shè)計探索過程，其教與學(xué)符合當(dāng)下課改發(fā)展方向，與核心素養(yǎng)理念高度契合．目前，許多數(shù)學(xué)教師雖然認(rèn)識到了跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)的內(nèi)涵與價值，但囿于原有的教學(xué)觀念、專業(yè)基礎(chǔ)、實踐經(jīng)驗等因素，實踐中的跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)還存在諸如只注重“活動”而缺乏學(xué)科思維或只有學(xué)科拼盤而缺乏核心概念等問題或現(xiàn)象．解決這些問題或克服實踐中可能的淺表化現(xiàn)象，需要基于跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)的實踐進行反思與總結(jié)．本文擬結(jié)合教學(xué)的實踐，總結(jié)數(shù)學(xué)跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)的要點并對相關(guān)教學(xué)案例進行反思．

1 數(shù)學(xué)跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)的幾個要點

數(shù)學(xué)跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)的前提是開發(fā)合適的主題項目.這些項目不僅要能抽象出具有跨學(xué)科的共通概念，提煉出需要統(tǒng)整不同學(xué)科才能真正理解或解決的本質(zhì)問題，而且要能通過現(xiàn)實環(huán)境引發(fā)學(xué)生自覺的學(xué)習(xí)實踐和表達成果（產(chǎn)品、作品或報告）．問題是數(shù)學(xué)的心臟，數(shù)學(xué)跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)要突出問題導(dǎo)向，即要將問題解決貫穿于學(xué)習(xí)的過程，并據(jù)此探索相應(yīng)的教學(xué)結(jié)構(gòu)．

1.1 問題意識

數(shù)學(xué)跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)旨在培養(yǎng)學(xué)生借助跨學(xué)科性的內(nèi)容和開放性的項目發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問題.教學(xué)的展開要關(guān)注學(xué)習(xí)過程與結(jié)果的不確定性，把握學(xué)生問題意識培養(yǎng)的契機，引導(dǎo)學(xué)生基于有待掌握的核心知識提出核心概念，圍繞核心概念提出問題，形成有利于核心概念理解的跨學(xué)科本質(zhì)問題．本質(zhì)問題往往是抽象的，需要將本質(zhì)問題轉(zhuǎn)化為驅(qū)動性問題，提高學(xué)生探究實踐的內(nèi)驅(qū)力，激活思維．問題的發(fā)現(xiàn)應(yīng)該由學(xué)生充分討論和探索，發(fā)掘其中蘊含的可能，提高學(xué)生的問題意識和發(fā)現(xiàn)問題的能力，這種素養(yǎng)是創(chuàng)新的基礎(chǔ)．驅(qū)動性問題是學(xué)習(xí)的邏輯起點和重點，其連接著學(xué)習(xí)目標(biāo)和活動過程.驅(qū)動性問題具有挑戰(zhàn)性，能夠激發(fā)高階思維，并不斷產(chǎn)生新的問題且持續(xù)探究，這是數(shù)學(xué)跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)的關(guān)鍵環(huán)節(jié)．

1.2 探究過程

有了驅(qū)動性問題，需要從不同的學(xué)科視角和具體的現(xiàn)實經(jīng)驗來進行知識的再建構(gòu)，以便解決問題．如何再建構(gòu)？如何統(tǒng)整知識解決問題？需要在真實的學(xué)科環(huán)境中激發(fā)學(xué)生的探究行動，用真實的思維和實踐合作解決問題．真探究要求學(xué)生像學(xué)科專家一樣進行專業(yè)思考和探索，要充分經(jīng)歷合作式學(xué)習(xí)、討論、表達和思維的碰撞，產(chǎn)生新穎觀念.這種融合不同學(xué)科的探究凸顯高階認(rèn)知和動手實踐的有機統(tǒng)一，是具身認(rèn)知理論的實踐體現(xiàn).學(xué)生通過在真實學(xué)習(xí)環(huán)境中的經(jīng)歷和體驗，會感受到學(xué)習(xí)的意義，感受到生活與知識的關(guān)聯(lián)，從而激活心理感覺，有效促進知識遷移應(yīng)用．探究過程要有方向性和目的性，可以對核心知識和表現(xiàn)維度進行表現(xiàn)性評價，促進學(xué)生探究過程高階認(rèn)知和關(guān)鍵實踐的有效實施．

1.3 公開成果

初中跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)往往采取項目式學(xué)習(xí)方式，需要形成公開成果．從結(jié)果性評價來分析，在學(xué)習(xí)結(jié)束時，可以指導(dǎo)學(xué)生形成對本質(zhì)問題認(rèn)識的報告或作品，并體現(xiàn)思維和實踐的真實性．讓學(xué)生明白成果的要素和科學(xué)表達的方法，除了對核心概念的深刻理解，還要包括成果的意義、產(chǎn)生的過程（包括認(rèn)知策略和學(xué)習(xí)實踐）、佐證材料等，可以制定成果要素的評價量規(guī)，讓學(xué)生對成果與目標(biāo)的匹配度與達成度等進行多元評價，保證成果質(zhì)量．學(xué)習(xí)成果要公開展示，既可以通過展覽的形式進行直觀化的現(xiàn)場交流，也可以通過報告會報告項目的研究過程和結(jié)論．成果展可以根據(jù)成果的普適性，恰當(dāng)選擇受眾范圍，有些成果展可以適當(dāng)增加儀式感，感受真實的發(fā)布場景，實際上也是一個真實的學(xué)習(xí)實踐．

1.4 教學(xué)結(jié)構(gòu)

數(shù)學(xué)跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)應(yīng)該是開放性的學(xué)習(xí)活動，以項目式學(xué)習(xí)方式為例，教學(xué)思路可以面對項目情境引導(dǎo)學(xué)生提出問題，從中提煉本質(zhì)問題，制定項目實施方案，實施方案需將本質(zhì)問題轉(zhuǎn)化為不同學(xué)科中的問題加以解決，當(dāng)然重點在數(shù)學(xué)建模解決問題，最后指導(dǎo)學(xué)生形成研究成果并交流．可以概括為圖1的教學(xué)結(jié)構(gòu)，其具有發(fā)展核心素養(yǎng)的要素．

2 案例分析

學(xué)習(xí)二次函數(shù)后，設(shè)計項目——籃球三分球．首先項目分析，明確核心概念是飛行軌跡，解決問題的觀念是圖形直觀，轉(zhuǎn)化為通過體育學(xué)科手繪“完美三分曲線”（拋物線），再用數(shù)學(xué)方法描述拋物線，結(jié)合投籃影響因素，指導(dǎo)投三分球．為此，確定學(xué)習(xí)目標(biāo)為通過整合體育、數(shù)學(xué)和物理等跨學(xué)科學(xué)習(xí)，將生活中投籃經(jīng)驗提高到跨學(xué)科高度的理解，從而再建構(gòu)拋物線，達到深層理解，發(fā)展模型觀念；在解決驅(qū)動性問題過程中，發(fā)展學(xué)習(xí)實踐能力，感悟科學(xué)的投籃運動，養(yǎng)成科學(xué)的態(tài)度，提高跨學(xué)科綜合性思維能力．

任務(wù)1 確定情境的本質(zhì)問題.

播放籃球三分球視頻：男主人公是一個籃球館的清潔工，他從一開始不會投籃，然后通過一系列測量、計算、嘗試，最終連續(xù)投進三分球．

鼓勵學(xué)生提出問題，根據(jù)目標(biāo)和核心概念從眾多問題中確定本質(zhì)問題，即如何從形到數(shù)確定三分球曲線（拋物線）？進一步設(shè)定驅(qū)動性問題：怎樣通過投籃練習(xí)和數(shù)學(xué)分析探索三分球曲線？如何結(jié)合探索的三分球曲線和投籃影響因素較為準(zhǔn)確投進三分球？

教學(xué)分析 視頻展示了真實的情境，具有視覺沖擊力，學(xué)生興致勃勃，看到知識與現(xiàn)實生活的聯(lián)系．通過觀察視頻中的數(shù)據(jù)測量，思考為何要獲得這些數(shù)據(jù)，如何用所學(xué)知識解決問題，意識到需要運用跨學(xué)科學(xué)習(xí)并致力于自己的行動，才能解決問題．為此，要重視對情境生長性經(jīng)驗的抽象和轉(zhuǎn)化，提高學(xué)生情境下的學(xué)習(xí)能力和遷移能力，這也是素養(yǎng)的核心要素．

任務(wù)2 體驗和探索投籃曲線.

觀看視頻后，要將驅(qū)動性問題轉(zhuǎn)化為確定進球拋物線．在體育教師協(xié)同指導(dǎo)下，學(xué)生帶著問題走進籃球場分小組實際投籃和測量數(shù)據(jù)，并手繪一道在給定的位置自認(rèn)為比較容易進球的三分球投籃曲線.這個問題的解決需要操作實驗、數(shù)據(jù)收集和分析、推理、比較和決策等．根據(jù)學(xué)生觀察，結(jié)合大數(shù)據(jù)分析，發(fā)現(xiàn)當(dāng)籃球入框時與水平線大概成45°角時最容易進球，并命名為“完美三分曲線”．根據(jù)“完美三分曲線”中籃球入框時與水平線夾角在45°左右，在縮略圖中手繪“完美三分曲線”．

教學(xué)分析 觀看視頻并結(jié)合個體經(jīng)驗，引發(fā)學(xué)生思考怎樣容易投中？這個挑戰(zhàn)性問題營造了高階認(rèn)知策略的學(xué)習(xí)情境．思維是基于問題的，問題意識是培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力和素養(yǎng)的重要舉措，用真實情境引入的價值也就體現(xiàn)在這里．由于有學(xué)習(xí)內(nèi)動力，學(xué)生會在投籃練習(xí)中仔細(xì)觀察籃球的飛行軌跡，主動合作測量相關(guān)數(shù)據(jù)和總結(jié)成功經(jīng)驗，思維聚焦于拋物線，嘗試描出“完美三分曲線”，其探究過程需要社會性、技術(shù)性和探究性實踐．為此，需要有讓學(xué)生身臨其境的探索情境，才能與情境互動，持續(xù)進行高階認(rèn)知引領(lǐng)下的科學(xué)探究，彌補封閉課堂教學(xué)短板．

任務(wù)3 探索“完美三分曲線”函數(shù)式.

畫出“完美三分曲線”后，不少學(xué)生提出需要精細(xì)刻畫此曲線，但要究其原因，引發(fā)討論，形成共識：主要為投出“完美三分曲線”提供數(shù)據(jù)支撐，確定了曲線的表達式才能更好掌握籃球的大致飛行軌跡．

在畫好拋物線的紙片（圖2）上，學(xué)生建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，探索需要的條件．測量籃球框高度為3.05米，以一名同學(xué)投籃位置距離籃圈中心水平距離7米，出手高度2米左右為例，則可知圖2中A，B兩點坐標(biāo)．發(fā)現(xiàn)還需要條件，有學(xué)生提出：可以按比例估測出對稱軸大概為直線x=3，就能確定關(guān)系式．也有同學(xué)通過度量、按比例估測出拋物線與x軸交點坐標(biāo)確定關(guān)系式．

教學(xué)分析 跨學(xué)科要堅持學(xué)科立場，數(shù)學(xué)本位的跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)應(yīng)該主要運用數(shù)學(xué)學(xué)科且借助于其他學(xué)科解決問題．二次函數(shù)教學(xué)是從關(guān)系式展開的學(xué)習(xí)過程，事實上也可以從圖象到關(guān)系式，進行逆向思維訓(xùn)練．學(xué)生通過觀察、回憶、畫圖、度量、計算、估測、交流等確定拋物線關(guān)系式，其過程蘊含辨析、優(yōu)化、決策等高階認(rèn)知策略，體現(xiàn)知行合一，這樣學(xué)生對拋物線有本質(zhì)性理解．這種情境學(xué)習(xí)是在現(xiàn)實需求中學(xué)習(xí)，克服了只關(guān)注結(jié)果的機械式學(xué)習(xí)，能有效發(fā)展素養(yǎng)．

鼓勵學(xué)生繼續(xù)提出問題并討論，比如：投籃時眼睛一般不會看著地面，實際投籃時如何才能控制投籃曲線？

經(jīng)過討論，學(xué)生認(rèn)識到投籃時一般眼睛是看著籃筐，以投籃者眼睛到籃筐的這條視線作為參考，籃球飛行的最高點到這條視線的豎直距離、此時籃球離籃筐的水平距離等就是重要的參考值，有助于控制籃球盡可能劃過“完美三分曲線”，而不至于飛得太高或太低而降低命中率．其他同學(xué)以自己投三分球位置和出手高度開展以上研究．

教學(xué)分析：面對如何更好控制投籃曲線這個現(xiàn)實問題，需要學(xué)生合作學(xué)習(xí)，需要創(chuàng)見、反思和分析，以創(chuàng)造性思維真正參與解決問題的過程．

追問：對“完美三分曲線”還能提出什么問題？

學(xué)生積極提出問題，比如，“完美三分曲線”在視線上方的部分距離視線的最大垂直距離是多少？若在視線上方的“完美三分曲線”上有一個動點P，則△PAB面積最大值是多少？……當(dāng)然，學(xué)習(xí)中應(yīng)該歸納和整理拋物線與學(xué)科內(nèi)知識的聯(lián)系并結(jié)構(gòu)化理解與其他學(xué)科的聯(lián)系，再建構(gòu)對拋物線的深度理解．

教學(xué)分析：跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)不僅是運用知識解決問題，也應(yīng)該重視統(tǒng)整知識或?qū)χR的再建構(gòu)，體現(xiàn)跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)的要義.事實上學(xué)生提出的問題，涵蓋了函數(shù)、圖形、方程、不等式，提高了對二次函數(shù)的認(rèn)知．

任務(wù)4 想要投籃更準(zhǔn)，除了研究投籃拋物線，還有什么影響因素？再觀看視頻：你會如何選擇？

籃球愛好者積極分享經(jīng)驗，認(rèn)為投籃還與力度、速度、身體的協(xié)調(diào)性和心理素質(zhì)等因素關(guān)聯(lián)．再播放視頻，讓學(xué)生較為系統(tǒng)地了解主要影響因素，其中介紹投籃時要用手指撥球，讓籃球在飛行時產(chǎn)生后旋，產(chǎn)生壓力差，從而就會產(chǎn)生一定的升力，這樣球會飛行得更加穩(wěn)定．帶著新經(jīng)驗，鼓勵學(xué)生繼續(xù)練習(xí)三分球，感受投籃還需要全身的動作協(xié)調(diào)，為成果現(xiàn)場展示奠定基礎(chǔ)．

教學(xué)分析 跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)是基于學(xué)科的主動跨界．以上主要依托體育學(xué)科實踐研究三分球中的數(shù)學(xué)問題．事實上，影響投籃的因素較多，通過學(xué)生討論和再次觀看視頻，了解投籃還需要考慮力學(xué)、運動生理學(xué)、心理學(xué)等其他學(xué)科知識，激發(fā)學(xué)生繼續(xù)對三分球問題深入研究，感悟投籃的科學(xué)支撐，理解只有跨學(xué)科才能較好解決投籃問題．

任務(wù)5 學(xué)生展示和交流三分球投球的經(jīng)驗和收獲．

學(xué)生整理如何投三分球的研究成果，以報告會的形式交流學(xué)習(xí)成果，還可以組織現(xiàn)場投籃展示，在討論和反思中完善研究成果．

教學(xué)分析 將學(xué)習(xí)成果邏輯表達出來，可以進一步推動學(xué)習(xí)走向深層．成果表達也會提升交流合作能力、信息技術(shù)能力和社會性實踐能力，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S和科學(xué)的態(tài)度也在修正成果過程中逐步形成．現(xiàn)場展示是學(xué)生運用獲得的知識指導(dǎo)投籃實踐，體驗知識從實踐中來，再到實踐中去，凸顯研究成果的目的性價值．

3 案例反思

3.1 營造真實學(xué)習(xí)情境

真實學(xué)習(xí)才能發(fā)展核心素養(yǎng)，真實學(xué)習(xí)要有真實的學(xué)習(xí)情境．?dāng)?shù)學(xué)跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)應(yīng)重視設(shè)計真實情境或運用信息技術(shù)模擬環(huán)境，為學(xué)生與環(huán)境互動提供載體．學(xué)生對真實情境的問題解決往往有濃厚的興趣，驅(qū)動主動學(xué)習(xí)，在真實的體驗中積累經(jīng)驗，深化理解問題，產(chǎn)生有價值的經(jīng)驗．情境蘊含知識，學(xué)生置身真實問題情境產(chǎn)生有意義的學(xué)習(xí)，主動開展觀察、操作、猜想、探究、討論等，解決這些問題的過程中能夠激活思維、誘發(fā)質(zhì)疑、自我調(diào)控、不斷優(yōu)化和內(nèi)化等心智活動．事實上，探索三分球情境蘊含本質(zhì)問題，吸引并支持學(xué)生對情境產(chǎn)生的學(xué)習(xí)任務(wù)動手動腦，全身心參與，特別是觀看視頻后，學(xué)生能夠在真實情境中積極主動實踐探索投籃曲線，應(yīng)用數(shù)學(xué)建?？坍嬊€，經(jīng)歷豐富的問題解決過程，既能對二次函數(shù)再建構(gòu)，又能在科學(xué)實踐探索中優(yōu)化思維方式和思維結(jié)構(gòu)．

3.2 問題解決中培養(yǎng)學(xué)生跨學(xué)科綜合性思維

數(shù)學(xué)跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)中的問題解決需要對本質(zhì)問題進行不同學(xué)科視角下的表征，對表征的問題利用不同學(xué)科進行靈活遷移應(yīng)用，探尋最優(yōu)化的解決方案，再建立不同的模型對問題進行解釋，從而全局性、綜合性地解決問題．這種學(xué)生身心融入真實環(huán)境且不同學(xué)科協(xié)同解決問題的方式，能夠?qū)栴}本質(zhì)達到深層理解，建構(gòu)知識能夠在新情境中靈活運用．二次函數(shù)學(xué)習(xí)一般是從數(shù)到形，而這個項目是從形到數(shù)逆向的尋根溯源式探究，學(xué)生運用體育等學(xué)科探索真實存在的拋物線，如何讓三分曲線更加可控，就要刻畫變量之間的表達形式，使日常數(shù)學(xué)課的認(rèn)知在跨學(xué)科整合中得到新的意義構(gòu)建，這樣獲得的知識和解決問題的思路才能有遷移性．實際上，投籃還與空氣動力學(xué)、心理學(xué)等相關(guān)，能激活知識之間的聯(lián)系，為此，數(shù)學(xué)跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)能夠豐富認(rèn)知，改變學(xué)生單學(xué)科的思維方式，培養(yǎng)學(xué)生跨學(xué)科綜合性思維．

3.3 讓學(xué)生在數(shù)學(xué)跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)中學(xué)會思考

數(shù)學(xué)跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)是在一個大情境統(tǒng)領(lǐng)下的學(xué)習(xí)，情境（問題）、任務(wù)、學(xué)習(xí)、實踐融為一體．情境有任務(wù)驅(qū)動，需要進行基于證據(jù)的學(xué)科表達、探究、討論、反思，這些活動鑲嵌在一個情境中，是一個完整的、結(jié)構(gòu)化的學(xué)習(xí)單位，有計劃和方案，有邏輯結(jié)構(gòu)（圖3），有助于學(xué)生在學(xué)習(xí)中學(xué)會思考．在研究三分球問題中，學(xué)生圍繞飛行軌跡這個核心概念，在實踐基礎(chǔ)上手繪“完美三分曲線”，對此進行刻畫，結(jié)合相關(guān)數(shù)據(jù)、影響因素再進行投籃練習(xí)，形成研究成果，從而能深刻理解三分球飛行軌跡，再建構(gòu)了二次函數(shù)．更為重要的是通過學(xué)生對情境、問題或任務(wù)的親身經(jīng)歷和體驗，形成有理有據(jù)的科學(xué)思維、科學(xué)表達和科學(xué)態(tài)度，逐步學(xué)會數(shù)學(xué)思考，形成跨學(xué)科思維習(xí)慣和面對復(fù)雜新情境如何行動的心智習(xí)慣，這應(yīng)是數(shù)學(xué)跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)致力追求的境界和目標(biāo)．

4 線束語數(shù)學(xué)跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)既關(guān)注真實世界，也關(guān)注數(shù)學(xué)等學(xué)科，既打破學(xué)科界限，也統(tǒng)整不同學(xué)科的知識，于現(xiàn)實生活與個體意義的連接中培養(yǎng)跨學(xué)科人才．為了有效落實數(shù)學(xué)跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)，應(yīng)當(dāng)注意設(shè)計互動的環(huán)境，力求展示學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程和意義，引導(dǎo)學(xué)生運用具身學(xué)習(xí)等方式進行決策和問題解決，以高階綜合性思維統(tǒng)領(lǐng)學(xué)習(xí)實踐過程，以體驗激活思維，關(guān)注內(nèi)化和反思，在跨學(xué)科整合和思維中加深理解和結(jié)構(gòu)化知識，形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)和遷移應(yīng)用能力，達成核心素養(yǎng)．

參考文獻

［1］中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

作者簡介 顧廣林（1964—），男，江蘇泰州人，中學(xué)正高級教師，江蘇省特級教師;主要從事初中“數(shù)學(xué)活動”研究．

帥建卓（1984—），男，江蘇泰州人，中學(xué)一級教師;泰州市十佳青年教師，泰州市教學(xué)能手;主要研究初中“數(shù)學(xué)活動”育人教學(xué)實踐．