戈峰

【摘 要】為適應(yīng)國家培養(yǎng)創(chuàng)新型人才的需求，高考考試內(nèi)容改革從“考知識”到“考能力”轉(zhuǎn)向“考素養(yǎng)”，從“解答題目”轉(zhuǎn)向“解決問題”。數(shù)學課堂倡導探究性活動，不僅有利于學生積累數(shù)學探究活動經(jīng)驗，而且有利于學生提升分析問題、解決問題的能力，更重要的是還可以培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識，發(fā)展學生數(shù)學核心素養(yǎng)，促進學生科學精神的形成。

【關(guān)鍵詞】試題探究；開放課堂；開發(fā)教材；核心素養(yǎng)

一、引言

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》指出，為適應(yīng)國家培養(yǎng)創(chuàng)新型人才的需求，高考考試內(nèi)容改革從“考知識”到“考能力”轉(zhuǎn)向“考素養(yǎng)”，從“解答題目”轉(zhuǎn)向“解決問題”。近年來，高考創(chuàng)新了試卷結(jié)構(gòu)，研制了多種新題型，突出數(shù)學本質(zhì)和關(guān)鍵能力的考查，這就要求教師在教學中要重視學習過程，突出數(shù)學本質(zhì)，增強思維能力，提升核心素養(yǎng)。在課堂上，教師要引導學生開展探究活動，激發(fā)學生的探究能力。數(shù)學探究活動是圍繞某個具體的數(shù)學問題，開展自主探究、合作研究并最終解決問題的過程，具體表現(xiàn)為：發(fā)現(xiàn)和提出有意義的數(shù)學問題，猜測合理的數(shù)學結(jié)論，提出解決問題的思路和方案，通過自主探究、合作研究論證數(shù)學結(jié)論［1］。本文以一道逆用“阿波羅尼斯圓”性質(zhì)的試題為例，挖掘典型試題的探究功能，以期為教師教學提供參考。

二、案例分析

在平面直角坐標系xOy中，已知A（0，1），點B是圓C：x2+y2+2x-3=0上的動點，則[AB]+2[BO]的最小值為? ? ?。

1.思路分析

從學生的經(jīng)驗出發(fā)，該題有以下常見解題思路。

思路1（從代數(shù)運算思考） 設(shè)B點坐標，[AB]+2[BO]將會表示為兩個根式和的形式。

思路2（從幾何轉(zhuǎn)化思考） 形如[AB]+2[BO]的最值問題容易聯(lián)想起2[BO]中的系數(shù)“2”可能與橢圓、雙曲線的離心率有關(guān)系，從而將2[BO]與圓錐曲線上的點到準線的距離聯(lián)系起來。

思路3（從軌跡觀點思考） 設(shè)[OE]=2[OB]，E（x，y），B（x1，y1），則由B點在圓C上運動可以求出E點運動的軌跡方程：x2+y2+4x-12=0，此時[AB]+2[BO]=[AB]+[EO]。

2.解法探究

思路3把[AB]+2[BO]中的2[BO]轉(zhuǎn)化為[EO]，但[AB]+[EO]中點B，E都是動點，因此解題難度還是比較大。如果把2[BO]轉(zhuǎn)化為點B到另一個定點的距離[BD]，那么該題就可理解為圓上一點到兩個定點的距離之和的最值。教師可以按照以下探究思路進行教學。

探究1：是否存在定點D，使得[BD]=2[BO]？如果存在，求[AB]+2[BO]的最小值。

生1：假設(shè)存在定點D（a，b），使得[BD]=2[BO]，設(shè)B（x，y），則（x-a）2+（y-b）2=4x2+4y2，化簡整理得3x2+3y2+2ax+2by-a2-b2=0。

又因為點B（x，y）在圓C：x2+y2+2x-3=0上，兩式消去x2，y2項，整理得（2a-6）x+2by+9-a2-b2=0，由題意知該式有無數(shù)組解，于是有[2a-6=0，2b=0，9-a2-b2=0，]解得[a=3，b=0，]所以D（3，0）。

于是問題轉(zhuǎn)化為[AB]+2[BO]=[AB]+[BD]的最小值，又點A（0，1）在圓C內(nèi)，點D（3，0）在圓C外，點B在圓C上，故[AB]+2[BO]=[AB]+[BD][≥][AD]=[10]，因此所求的最小值為[10]。

【反思小結(jié)】如圖1，上述解法實際上是將生成圓C（“阿波羅尼斯圓”）的另外一個點D找到了，其滿足[BD]=2[BO]。它與點O共同生成圓C，從而將[AB]+2[BO]的最小值問題轉(zhuǎn)化為[AB]+[BD]的最小值問題，利用兩點之間線段最短即可解決。學生在平時的解題中習慣于由動點到兩定點距離之比是一個不等于1的正實數(shù)求出圓方程。而本題是已知圓方程、其中一個定點坐標和比值2，由此可求出另外一個定點坐標，這可以看作是“阿波羅尼斯圓”的逆應(yīng)用。教師可以充分利用本題的探究功能對學生進行思維訓練，引導學生思考與發(fā)現(xiàn)問題。

3.本質(zhì)探究

生2：點D（a，0）滿足[BD]=2[BO]，設(shè)B（x，y），則有（x-a）2+y2=4x2+4y2，化簡整理得3x2+3y2+2ax-a2=0。又因為點B（x，y）在圓C：x2+y2+2x-3=0上，代入前式消去x2，y2項，整理得（2a-6）x+9-a2=0，該式有無數(shù)組解，于是有[2a-6=0，9-a2=0，]解得a=3，所以D（3，0），下同上面生1的解法。

生3：求出圓C與x軸正半軸交點B0（1，0），再由[B0D]=2[B0O]，得D（3，0）。

【反思小結(jié)】在考試過程中，學生在求解填空題時常會用到一些簡便方法，體現(xiàn)了數(shù)學直覺意識和方法特殊化。值得注意的是，無論上述哪個解法都默認了點D在x軸上，當筆者詢問學生點D為什么在x軸上時，他們的回答基本都是：受教材上的一道題目啟發(fā)猜測而來。

蘇教版高中數(shù)學必修2“圓的方程”課后有一道這樣的習題：已知點M（x，y）與兩個定點O（0，0），A（3，0）的距離之比為[12]，那么點M的坐標應(yīng)滿足什么關(guān)系？畫出滿足條件的點M所構(gòu)成的曲線［2］。設(shè)M（x，y）是所求曲線上任意一點，則把[MOMA]=[12]代入[x2+y2x-32+y2]=[12]，化簡整理得x2+y2+2x-3=0，而本案例中的圓恰好就是該圓。因此，如果學生對教材這道題目比較熟悉，他馬上就會意識到該式[MA]=2[MO]中的點A（3，0）就是要找的點D，問題也就迎刃而解了。如果學生只是知道教材上有一道這樣的題目，就會有上述的猜測，這隱含了生成“阿波羅尼斯圓”的兩定點和圓心三點共線的直覺和想法。

探究2：已知A，B是兩個定點，點P滿足[PA]=λ[PB]（λ>0，λ≠1），則點P的軌跡是一個圓，試探究點P所在圓的圓心M與A，B三點是否共線？

生4：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y），由[PA]=λ[PB]（λ>0，λ≠1），得（x-x1）2+（y-y1）2=λ2[（x-x2）2+（y-y2）2]，整理得（1-λ2）x2-2（x1-λ2x2）x+（1-λ2）y2-2（y1-λ2y2）y=λ2（x22+y22）-（x12+y12），化為圓的標準方程為[x-x1-λ2x21-λ22]+[y-y1-λ2y21-λ22]=[λ2（x22+y22）-（x12+y12）1-λ2]+[x1-λ2x21-λ22]+[y1-λ2y21-λ22]，進一步整理可得[x-x1-λ2x21-λ22]+[y-y1-λ2y21-λ22]=[λ1-λ22][（x1-x2）2+（y1-y2）2]，…………………①

故圓心M[x1-λ2x21-λ2，y1-λ2y21-λ2]，半徑r=[λ1-λ2][（x1-x2）2+（y1-y2）2=][λ1-λ2][AB]，又由A（x1，y1），B（x2，y2），M[x1-λ2x21-λ2，y1-λ2y21-λ2]，知[MA]=[λ21-λ2]（x2-x1，y2-y1），[MB]=[11-λ2]（x2-x1，y2-y1），易知[MA]//[MB]，又因為點M是公共點，所以A，B，M三點共線。

探究3：既然證明了M，A，B三點共線，能否進一步找到三點位置的數(shù)量關(guān)系？

生5：顯然[MA]=λ2[MB]，因為λ>0，λ≠1，所以當λ>1時，[MA]>[MB]，點M在線段AB的延長線上；當λ∈（0，1）時，[MA]<[MB]，點M在線段BA的延長線上。由[MA]=λ2[MB]得[AM]=-λ2[MB]，可知點M分線段AB成定比-λ2。

【反思小結(jié)】如圖2，原題中，學生想到了利用特殊化的方法求出D點，事實上，除了圓C與x軸正半軸的交點B0（1，0），圓C與y軸正半軸的交點B1（0，[3]）也是一個特殊點，滿足[B1D]=2[B1O]，易得D（3，0）。

探究4：在[△B1CD]中，[OC]=1，[B1O]=[3]，[OD]=3，不難發(fā)現(xiàn)∠CB1D=[90°]，即直線B1D恰好是圓C的切線，這是巧合還是有必然的內(nèi)在聯(lián)系？

生6：如圖3，不妨設(shè)點B（x2，y2）在圓M外，若BP，BQ為圓M的兩條切線，P、Q為切點，因為M[x1-λ2x21-λ2，y1-λ2y21-λ2]，所以以BM為直徑的圓的方程為（x-x2）[x-x1-λ2x21-λ2]+（y-y2）[y-y1-λ2y21-λ2]=0。………………………………………②

①-②得直線PQ的方程為[x2-x1-λ2x21-λ2][x-x1-λ2x21-λ2]+[y2-y1-λ2y21-λ2y-y1-λ2y21-λ2]=[λ1-λ22][（x1-x2）2+（y1-y2）2]，將A（x1，y1）代入上式，左邊=[x2-λ2x2-x1+λ2x21-λ2][x1-λ2x1-x1+λ2x21-λ2]+[y2-λ2y2-y1+λ2y21-λ2y1-λ2y1-y1+λ2y21-λ2]=[x2-x11-λ2][λ2（x2-x1）1-λ2]+[y2-y11-λ2][λ2（y2-y1）1-λ2]=[λ1-λ22][（x1-x2）2+（y1-y2）2]=右邊，這就證明了點A在直線PQ上，由圓的性質(zhì)有PA⊥AB。反之，若PA⊥AB，因[MA]+[AB]=[MB]，又[MA]=[λ2][MB]，所以[MA]+[AB]=[1λ2][MA]，解得[MA]=[λ21-λ2][AB]，故[MB]=[11-λ2][AB]。在Rt[△MAP]中，由[MP2]=r2=[λ1-λ22][AB2]，[MA]=[λ21-λ2][AB]，所以[PA2]=[MP2]-[MA2]=[λ21-λ2][AB2]。在Rt[△]BAP中，[PB2]=[PA2]+[AB2]=[11-λ2][AB2]，于是有[PB2]+[MP2]=[11-λ2][AB2]+[λ1-λ22][AB2]=[11-λ22][AB2]=[MB2]，所以MP⊥PB，故點P為切點，同理可得點Q也為切點。

生7：如圖4，不妨設(shè)點B在圓M外，若過點B的直線BP、BQ與圓M相切于P、Q兩點，直線AB與圓M交于P1，P2兩點，設(shè)P1在線段AB上，P2在線段AB外，則[PA]=λ[PB]，因為BP與圓M相切于點P，由弦切角定理得∠BPP1=∠AP2P，又[PA]=λ[PB]，[P1A]=λ[P1B]，在[△]? ?PAB中，由平面幾何知識有∠? ?BPP1=∠? ? ? APP1，故∠? ? ? AP2P=∠? ? ? ?APP1，因為PP1⊥PP2，所以∠ APP1+∠ APP2=[90°]，故有 ∠? ? ? AP2P+∠? ? APP2=[90°]，所以PA⊥AB。反之，設(shè)點B在圓M外，過A作AB的垂線交圓M于P，Q兩點，由相交弦定理得[PA]·[AQ]=[P1A]·[P2A]，又由PA⊥AB，所以[PA]=[AQ]，[PA2]=[P1A]·[P2A]，又[P1A]=λ[P1B]，[P2A]=λ[P2B]，于是有[PA2]=λ2[P1B]·[P2B]，又[PA]=λ[PB]，所以[PB2]=[P1B]·[P2B]，[P1B]=[MB]-[MP1]=[MB]-[MP]，[P2B]=[MB]+[MP2]=[MB]+[MP]，所以[PB2]=[MB2]-[MP2]，也就是[PB2]+[MP2]=[MB2]，所以MP⊥[PB]，即PB為圓M的切線，同理BQ也為圓M的切線。

4.總結(jié)遷移

師：我們在尋找生成“阿波羅尼斯圓”的另外一個點的過程中，發(fā)現(xiàn)了一些結(jié)論：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）為不同的兩點，動點P（x，y）滿足[PA]=λ[PB]（λ>0，λ≠1），則動點P的軌跡是一個圓，記為圓M（圓心為M），不妨設(shè)λ∈（0，1），點B在圓M外，點A在圓M內(nèi)，則有如下結(jié)論：

（1）M，A，B三點共線，且點M分線段AB成定比-λ2，即[AM]=-λ2[MB]。

（2）圓M的半徑r=[λ1-λ2][（x1-x2）2+（y1-y2）2=][λ1-λ2][AB]（λ>0，λ≠1）。

（3）當點B在圓M外時，過點B作圓M的兩條切線與圓M切于P、Q兩點，則直線PQ過A點；反之，若過點A作直徑的垂線交圓M于P、Q兩點，則P、Q為過點B所作圓M兩切線的切點。

【反思小結(jié)】我們在解決原問題時，求另一個定點（D）的方法可以用“阿波羅尼斯圓”的定義，也就是用代數(shù)的方法轉(zhuǎn)化為一個方程有無數(shù)組解來求解；也可以利用結(jié)論（1）（2）（3）中的任何一個來進行求解。

三、教學反思

1.開放課堂，激發(fā)探究熱情

傳統(tǒng)的課堂是以傳授知識為主的課堂，教學理念比較滯后，課堂設(shè)計比較封閉，教學形式比較單一。在傳統(tǒng)的課堂，學生的學習積極性、思維活躍度、探究學習的熱情就會大打折扣。隨著社會的發(fā)展，新時代需要的是創(chuàng)新型的人才。因此，我們需要開放的教學理念，釋放學生的思維；需要開放的教學設(shè)計，營造寬松的課堂氛圍；開放的組織形式，構(gòu)建新型的師生關(guān)系。開放課堂，使學生在寬松的氛圍下進行平等、愉快地探索學習，調(diào)動學習的積極性和主動性，激發(fā)探究問題的熱情；開放課堂，使學生在課堂上敢想、敢說、敢問、敢做，自主表達自己的所想、所思、所疑、所創(chuàng)，學生真正成為課堂的主體。在本教學過程中，筆者營造了寬松的學習氛圍，學生從已獲得的基本活動經(jīng)驗出發(fā)，體會了3種解題思路在解決問題中的局限性。在接下來尋找“阿波羅尼斯圓”的另一個定點時，學生的主動性被充分調(diào)動起來，展開了積極的討論和探究，通過一般情形和特殊情形兩種情況，代數(shù)計算和幾何推理兩種方法，找到了另一個定點，最終解決了問題。筆者不是把教學內(nèi)容簡單地告訴學生，而是把獨立思維的空間和合作探究的時間留給學生，鼓勵學生大膽猜想、自主探究、合作討論、敢于質(zhì)疑、勇于表達，把課堂打造為培養(yǎng)學生自主學習的能力和創(chuàng)造性思維的開放式課堂。

2.開發(fā)教材，挖掘探究潛能

高中數(shù)學教材內(nèi)容的趣味性和啟發(fā)性，對學生的自主探究具有積極的作用。在日常教學中，教師大部分的教學活動都是圍繞教材展開的。教材是教師進行教學的依據(jù)，因此，教師在教學前必須對教材內(nèi)容進行深度挖掘，對教材內(nèi)容不斷創(chuàng)新。教師對教材挖掘的深度與準確度，對提高學生學習效果有著重要的作用。2019年人教版高中數(shù)學教材中安排了“探究與發(fā)現(xiàn)”和“數(shù)學探究”欄目，但在實際的教學過程中，很多教師未認真組織學生對這些欄目內(nèi)容進行深入探索和思考。事實上，這些內(nèi)容為探究型課堂教學提供了豐富的探索素材，為培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識與探究能力提供了廣闊的天地。如果學生一直以被動接受的方式來獲取知識，那么學生的創(chuàng)新意識和探究能力必然會成為無源之水、無本之木?！疤骄亢桶l(fā)現(xiàn)”和“數(shù)學探究”內(nèi)容為學生提供一個重新發(fā)現(xiàn)知識的平臺。學生通過親身經(jīng)歷知識發(fā)現(xiàn)、結(jié)論證明、新知識應(yīng)用過程，促使學生對數(shù)學充滿興趣，從而培養(yǎng)學生創(chuàng)新意識和探究能力。教材上的例題和習題不僅是教師教學和學生學習的主要資料，還是高考命題的重要參考依據(jù)，所以教材上的例題和習題的探究價值也不容忽視?！鞍⒉_尼斯圓”在高中教材中沒有直接給出，只是在蘇教版高中數(shù)學必修2“圓的方程”課后習題中出現(xiàn)，但一直是高考命題的熱點。對于教材上的例題和習題，教師應(yīng)該注重挖掘其背景和應(yīng)用，體會其中所蘊含的數(shù)學思想和方法，適時對有關(guān)聯(lián)的各類例題和習題進行整合、重組、演變，使學生能通過這些變化與聯(lián)系，從不同側(cè)面和多角度把握問題本質(zhì)，觸類旁通。本案例的背景是“阿波羅尼斯圓”，難點是從已知的圓方程、一個定點坐標和比值，求出“阿波羅尼斯圓”另外一個定點坐標，是對“阿波羅尼斯圓”的逆應(yīng)用，也是對知識的延伸和方法的拓展。

3.開展探究，提升核心素養(yǎng)

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》指出，教師在課堂教學過程中“理解數(shù)學知識產(chǎn)生與發(fā)展過程中所蘊含的數(shù)學思想”“關(guān)注數(shù)學學習過程中思維品質(zhì)的形成，關(guān)注學生會學數(shù)學的能力……”［1］。學生在課堂上不僅學到大量的科學知識，更重要的是在學習過程中學到了研究問題和解決問題的方法、思想、能力，這就要求教師積極開展探究性教學，注重培養(yǎng)學生的探究能力，提升學生的核心素養(yǎng)。數(shù)學教育家弗賴登塔爾曾說，學習數(shù)學唯一正確的方法是讓學生進行“再創(chuàng)造”，即數(shù)學知識應(yīng)由學生自己去發(fā)現(xiàn)或創(chuàng)造，教師的任務(wù)不是把現(xiàn)成的知識灌輸給學生，而是幫助和引導學生進行“再創(chuàng)造”工作。這與新課程所倡導的探究活動的理念是一致的。本案例的主要任務(wù)是對一道試題的解法進行探究，師生共同經(jīng)歷了“思路分析—解法探究—本質(zhì)探究—總結(jié)遷移”的探究過程。學生從中不僅學會了該題的解法，加深了對“阿波羅尼斯圓”的認識，而且積累了數(shù)學探究活動經(jīng)驗，提升了分析問題和解決問題的能力，更重要的是培養(yǎng)了創(chuàng)新意識，發(fā)展了數(shù)學核心素養(yǎng)。

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］徐稼紅.普通高中課程標準試驗教科書數(shù)學2（必修）［M］.南京：江蘇鳳凰教育出版社，2012.

（責任編輯：陸順演）