孫朝仁 朱桂鳳

摘要：以“中考同源試題”為研究載體，彰顯“二次變式”設計、實踐與思考的方法體系，涉及構造思想、“擬經(jīng)驗”心理過程，以及語言等值編碼等心理系統(tǒng)再造。研究“二次變式”編碼，有助于學生“會一題、通一類，連一片”，并以此促進教師用好教材。

關鍵詞：二次變式? 問題編碼? 學習心理? 教學構建? 初中數(shù)學

引用格式：孫朝仁，朱桂鳳.初中數(shù)學“二次變式”的設計、實踐與思考[J].教學與管理，2022（34）：51-55.

“變式”源于馬頓的“變異理論”，是問題、試題層出不窮的內(nèi)在淵源，是學科命題繞不開的思維通識?！岸巫兪健笔菍ψ兪降淖兪?，是一種穩(wěn)定的心理過程，帶有強烈的左右勾連、上下貫通的結構心理特征。也就是說，只有通過抽象或邏輯分析才能發(fā)現(xiàn)它與原型關系的變式，二次變化參數(shù)、二次變化背景、不同側面地微妙地缺省某些條件等是二次變式的本體思想。一般來說，智慧技能獲得的唯一有效方法就是變式與二次變式，這種條件認知與算法操作是建立學科方法體系的“思維切口”。因此，研究二次變式是學科學習轉型的新途徑，能提高學科的育人質量。

一、“二次變式”的教學設計

從思考的目標過程看，“二次變式”是建立以原型為思維起點的序列問題“組塊”。組塊的組織過程涵蓋抽象過程、建模過程、“用?！边^程和遷移過程?；谶@種條件認知，讓學生在自主學習、合作學習、質疑學習、猜想學習、證實證偽學習中構造穩(wěn)定的問題結構特征（同構和異構），這有助于場獨立、場一般、場依存學生的選擇性學習，提高不同學生的心理發(fā)展水平。其中“同構”是“一次變式”（如數(shù)量的變化、位置的變化）的思維理論，“異構”是“二次變式”（如參數(shù)的變化）的思維支架?！白兪健笔墙虒W設計的顯性特征和思維線索，是學生思維發(fā)展、心理發(fā)展的重要抓手。因此，變式教學設計要貫穿三個方面的思考，即原型意識、同構意識和異構意識，其中原型意識是同構和異構“二次變式”設計的基礎。

1.原型意識

“原型”可解釋為概念、規(guī)則和關系，以及圖形與圖形之間的變換關系。而“原型意識”則是一類專家頭腦中的高度簡約的、內(nèi)潛的、濃縮的經(jīng)驗、思想、方法。數(shù)學中的原型意識是指在教材上找到問題的“原型”（思維起點及其載體），體驗問題的組織過程、思維編碼過程（語言等值編碼過程），以及經(jīng)驗登記過程（經(jīng)驗的構造與再造），從而知道試題的由來（試題的起源與發(fā)展）。

在《初中數(shù)學》（江蘇鳳凰科學技術出版社）教材中多處呈現(xiàn)了“母子正方形”，如八年級上冊第72頁第3題，八年級下冊的第82頁例5、第95頁第22題等，從不同側面滲透了母子正方形的對稱思想、變換思想等重要的思想方法。因此，多個城市的試卷命制了“母子正方形問題”，很好地考查了學生的幾何直觀能力。其中，以“母子正方形”為思維起點，連云港市分別在2014年和2015年考查了該問題，只不過考查角度發(fā)生了變化。2015年考查了旋轉、構造、最值思想（見例1），2014年考查了函數(shù)關系最值、等積變形、點的軌跡以及中點坐標、對稱最值等數(shù)學方法體系（見例2）。2021年宿遷市考查了母子正方形問題（見例3），主要考查了相似變換、全等變換和動點軌跡問題。

例1（2015·連云港市）

例2（2014·連云港市）

例3（2021·宿遷市）

這種“變式考查”思想，是一種好的命題途徑，落實了“從不同側面、不同層次”研究同源問題的目標過程。因此，用好教材、超越教材是學科教學的根本，不是“刷題”、更不是“亂練”，也不是無原則的“練熟”。

2.同構意識

“同構”是一種同化構造，旨在不改變原有的認知結構，直接將原有的認知經(jīng)驗應用到本質特征相同的一類事物中去。在課堂教學過程中，舉例說明、正反例證、寫出類似的問題就是一種常見的同構意識，帶有等值語言編碼特征。從教學論來看，同構的本質就是一種組合思想、組塊行為和編碼意識。

例3中的圖7與圖8就是一種同構關系（等值語言編碼），揭示了“相似變換→全等變換”的“穩(wěn)定結構特征”，有助于“場依存”認知風格的學生學好數(shù)學、熱愛數(shù)學。其實，無論母子圖、編碼圖，還是類組合、似構造、等值編碼都是一種平衡條件認知，都有助于學生建立相對穩(wěn)定的學科知識結構，可以有效提高概念變式、命題變式和問題變式的能力。

3.異構意識

“異構”是一種內(nèi)源變式（如參數(shù)的變化等），是對新舊經(jīng)驗加以概括，形成一種能包容新舊經(jīng)驗的更高一級認知結構，并以此適應外界的變化。通俗地說，異構意識就是一種“有用組合”，帶有強烈的“再創(chuàng)造”特征。世界上的組合有無數(shù)，但有用組合卻相對有限。所有的發(fā)明、發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造都來自于“有用組合”。當然，學科的發(fā)展、結論的誕生、客觀知識的二次發(fā)展，都是有用組合的必然產(chǎn)物。

例3中的前兩個問題與第三個問題之間的變式關系，就是異構思維、異構意識的產(chǎn)物，帶有強烈的內(nèi)源變式特征（背景的變化），反映了“高投入”思維特征和問題結構化特點。這種從復雜中揭示出簡單規(guī)律（統(tǒng)一性）的目標過程，是學生知識遷移的心理基礎。

綜上，“二次變式”教學設計，不止于原型意識、同構意識和異構意識，更在于對原型通過同構和異構進行改造、重組和關聯(lián)，形成梯度的問題思維“反應塊”，讓不同的學生在學科學習上獲得相應的發(fā)展。

二、“二次變式”的教學實踐

在教學實踐論范疇，“二次變式”是一種本原思想，是學生個體經(jīng)驗、事實經(jīng)驗和客觀經(jīng)驗的轉化、遷移、調(diào)用的心理條件。其中，事實經(jīng)驗是個體經(jīng)驗向客觀經(jīng)驗轉化的“二次變式”教學實踐的中介。一般來說，“本原”是本體論中的一個術語，指一切事物的最初根源或構成世界的最根本實體。哲學上對本原的思考凸顯為一種刨根問底的探尋精神，始終把理解世界的“始基”或“構成要素”作為第一問題?！岸巫兪健北旧砭褪堑谝徽軐W問題，是以個體經(jīng)驗為“始基”的，終于客觀經(jīng)驗產(chǎn)生式“產(chǎn)生”。為此，個體經(jīng)驗到客觀經(jīng)驗的過程，包括概念變式編碼、命題變式編碼、問題變式編碼，涉及做、說、用等思維編碼過程。

1.概念變式編碼，讓學生在“做”中形成個體經(jīng)驗

概念是一切知識的出發(fā)點，也是歸宿。概念變式是學習的通用方法，是學生獲得知識的外在法定標準。概念變式編碼是以“組塊”的思維方式存在的，能促進知識結構產(chǎn)生式“產(chǎn)生”。通過概念變式編碼，將概念的“工具性理解”上升到“關系性理解”。從認知心理學來說，工具性是一種法定標準，而關系性是一種認知結構，是學生把握對象的心理邏輯。認知結構是指學生將自己的認識信息組織起來的心理系統(tǒng)，包括圖式、支架、模型、組塊等。一般來說，只有概念成為個體知識結構的組成部分，才說明理解了、會了、懂了。這不是似會非會，而是深度理解，并能將結構知識轉化為認知結構。所以，概念變式編碼不是教知識，而是教結構、教概念和概念關系（一類群論）。

片斷1 “概念變式”思維編碼過程如下（以例1為例）：

首先，在圖1中，根據(jù)“母子圖”的特征，以“SAS”為條件，證出△ADG與△ABE全等。根據(jù)全等三角形的性質以及圖形位置的顯性特征，可以確定直線的位置關系。

其次，在圖2中，根據(jù)旋轉不變性，在（1）的基礎上可知BE=DG。結合題干信息和問題（2）的條件，在勾股定理參與下，可知BH=AH=，HG==。至此，答案呼之欲出。

最后，根據(jù)最值思想和“動中取靜”特點，不難知道點的運動軌跡是在兩個半圓（弧GAE、弧BAD）上（如圖9）。當點H與點A重合時，滿足△GHE與△BHD面積之和最大的約束條件，進而可求正確答案。

設計意圖：本題可以作為課堂教學例題呈現(xiàn)，讓學生說概念、說經(jīng)驗、說思想方法，揭示“變中不變”的道理、“不變而變”的價值，促進概念變式編碼的內(nèi)驅力提升，提高經(jīng)驗形成的水平。

綜上，如果說問題（1）是“做”的思維起點，那么問題（2）就是概念變式編碼的必然產(chǎn)物，而問題（3）則是概念關系從工具性理解轉向關系性理解的具體表現(xiàn)。如果說個體經(jīng)驗是“做”的必然結果，不如說“全等變換→全等變換附加編碼→動點最值”是組塊問題組織的一般過程，能較好地促進不同認知風格學生的數(shù)學發(fā)展。這才是概念變式的價值理性，也是概念變式編碼的本體思想，能讓學生在學好中產(chǎn)生結構理性。

2.問題變式編碼，讓學生在“用”中產(chǎn)生客觀經(jīng)驗

問題不是題目，問題具有結構認知特征，一般涵蓋辨別編碼、差異編碼和內(nèi)化編碼（比如研究性學習問題、課題學習問題、活動型問題等）。問題能促進人的思維發(fā)展，并強調(diào)將理性具體轉化為理性一般。問題變式編碼就是讓學生在“用”中獲得研究對象，在變式中獲得研究對象特征，在辨別編碼和差異編碼中建立客觀經(jīng)驗，并將客觀經(jīng)驗轉化為主觀能力。有專家認為，問題變式編碼理論“堅持學習就是辨別，辨別依賴于對差異的認識，教師應當通過變異維數(shù)的擴展引導學生更好地去認識對象的各個方面”[1]。這就要求問題變式編碼必須具備3個方面的認知心理條件，方能讓學生在獲得研究對象的過程中，建立一種個體內(nèi)化的客觀經(jīng)驗。第一方面，以“用”為情境編碼特征，突出辨別編碼和差異編碼，有助于人人獲得良好的教育;第二方面，讓學生在外源變式思考中獲得研究對象的本體論特征，并建立發(fā)現(xiàn)問題的二次編碼條件;第三方面，讓學生在內(nèi)源變式思考中獲得認知遷移能力，并將定義變式、命題變式和問題變式統(tǒng)一起來，從經(jīng)驗重組中獲得新思想、新方法和新路徑，提高二次變式能力以及概念內(nèi)化能力。

片斷2 “外源問題變式編碼”具體過程如下（以例2為例）：

首先，在圖4中，經(jīng)過數(shù)論與形論分析，可以確認問題（1）屬于函數(shù)最值問題。為此，鑒于動點P的運動約束條件，需要構造函數(shù)關系。設正方形APDC與正方形PBFE的面積和為y，AP=x。結合題干信息，不難得到y(tǒng)=x2+（8-x）2。由此，可求出函數(shù)最小值。顯然，這里的問題（1）與片段1的概念變式編碼、命題變式編碼的問題（1）測量視角不同。例1考查了圖形變換，例2考查函數(shù)最值。這是將“母子圖”的情境置于編碼，其二次變式編碼方式不同，學生的心理發(fā)展不同。

其次，在圖5中，經(jīng)過構造分析、分離圖形分析，可知問題（2）屬于外源變式附加編碼——一種“等積變形+作差思想”的復合思維。在輔助思維的參與下，結合母子圖情境置于方式，可構造梯形APFD。這樣就構造了等值語言編碼“同底等高”問題，以此不難獲得“存在性”等積圖形（△APK與△FDK面積量性相等）。

設計意圖：本題可以作為課后基礎練習。問題外源變式編碼旨在讓學生經(jīng)歷情境置于式編碼、情境置于式組塊過程，體驗不同視角、不同維數(shù)變式編碼不同，學生獲得的數(shù)學發(fā)現(xiàn)和問題提出的能力不同（變中不變，前者屬于數(shù)論變量、后者屬于形論變量）。這里的提出問題就是二次變式的產(chǎn)物。

如果說問題（1）是理性具體，問題（2）則屬于理性一般;如果說函數(shù)最值是一種數(shù)論，“等積變形”則是一種形論，能促進學生在“做”和“思考”的過程中，將個體經(jīng)驗客觀化。

片斷3 “內(nèi)源問題變式編碼”過程如下（以例2為例）：

首先，問題（3）是內(nèi)源變式編碼問題——一種動點軌跡等值語言編碼方式。結合題干信息，不難知道線段PQ中點O的運動軌跡是以正方形的頂點為圓心，PQ長度的一半為半徑，在正方形內(nèi)部形成閉合的四段等?。?6π）。

其次，問題（4）屬于直線型軌跡問題和對稱最值問題，帶有強烈的二次變式、內(nèi)源變式編碼特征（變化背景）。根據(jù)問題求解的需要和圖形附加編碼的特點，在問題（1）的基礎上，可知正方形APDC的邊長為x、正方形PBFE的邊長為（8-x）。以此為基礎，結合已知信息，可得G（，x）、H（，8-x），線段GH的中點O（，4）。至此，根據(jù)自變量x的定義域1≤x≤7，可知點O的運動路徑是長度為3的線段。根據(jù)對稱，易求得OM+OB的最小值為BM′==。

設計意圖：本題旨在內(nèi)源變式思維參與下，讓學生通過“做”將客觀經(jīng)驗轉化為等值語言編碼能力。同時，動點軌跡與坐標法的引進有助于場獨立認知風格的學生獲得數(shù)學再造能力、二次變式能力，為“提出問題”形成積極的心理準備狀態(tài)。

數(shù)學學習靠“悟道”和“練到”?！氨驹詥栴}有助于悟道理解，變式問題有助于練到理解”[2]。如果說問題（3）的解決是一種客觀經(jīng)驗支配的結果，那么問題（4）則是一種辨別編碼和內(nèi)化編碼的具體表現(xiàn)，有助于場獨立認知風格學生的思維縱向貫通，提高語言等值轉化的能力，促進高階思維的發(fā)展。當然，任何“悟道”與“練到”都始于對知識價值的追求。所以，教學不僅僅是教做題，也不是教會做題，而是教變式、教方法、教思想，這才是學習的根基。

3.命題變式編碼，讓學生在“說”中建立事實經(jīng)驗

命題是通過判斷一件事情的語句來描述的。命題變式編碼包括兩個階段，在命題初期以顯性變式編碼為主，使得問題之間有一定的同一性。比如，例1中的問題（1）和問題（2）之間的概念關系就屬于顯性變式（全等變換→全等變換附加編碼）。命題應用后期以隱性變式編碼為主，使得問題類型與問題情境不同（如例3中的圖7與備用圖之間的概念關系就屬于隱性變式），這樣可以促進事實經(jīng)驗進行縱向遷移。命題變式編碼是以“說”為內(nèi)在表征形式的，帶有強烈的“擬經(jīng)驗”特征，不僅需要“顯性→隱性”的縱向遷移，還需要準備恰當?shù)摹爸悄懿僮鳌盵3]平臺（超級畫板、希沃白板等），方能將隱性命題變式的“不變性”直觀地揭示出來。這樣，學生才能在“說”和二次變式思考中，將“個體經(jīng)驗”轉化為“事實經(jīng)驗”。

片斷4 “命題變式”思維編碼過程如下（以例3為例）：

首先，根據(jù)題干信息，可知AB∶AC=AG∶AF=1∶，根據(jù)情境置于式編碼，不難知道∠BAG=∠FAC。至此，易知△BAG與△CAF相似。根據(jù)相似三角形的性質，可求得答案。

其次，結合題干信息，根據(jù)探究MN與BE的數(shù)量關系、位置關系的需要，必須添加輔助思維。即連接BM并延長至點H，使得HM=BM，連接HE、HF。根據(jù)“SAS”可判斷△BCM與△HFM全等。根據(jù)全等三角形的性質與四邊形CBEF的內(nèi)角和的共性部分，在作差思想的參與下，不難知道∠BAE=∠HFE。根據(jù)“母子圖”的旋轉不變性、三角形全等變換的性質，可知△BEH是等腰直角三角形。這樣，結合三角形中位線的性質，就可獲得正確答案。

最后，根據(jù)動線問題，需要添加輔助線（如圖10）。即取線段AB的中點O，連接ON、OQ。這樣，根據(jù)動線約束條件，不難知道線段QN掃過的面積是以點O為圓心、分別以OQ、ON為半徑的同心圓的圓環(huán)部分。這樣，結合問題（3）的已知條件，可知OQ-ON=3。繼而可求出動線掃過的圖形面積為9π。

設計意圖：本題屬于命題變式編碼問題，可以作為“例題附加練習”來研究。這樣有助于學生在“相似變換”中獲得母子正方形的反常規(guī)視角，在“全等變換”附加編碼中獲得深度推理能力，在圖形變化中獲得將“復雜”轉化為“簡單”的能力。

綜上，從心理學認知論看，問題（1）與問題（2）之間屬于顯性命題變式，問題（1）與問題（3）之間屬于隱性命題變式。如果把“旋轉變換”作為“說”的思維主線，那么“相似變換→全等變換→動線問題”則屬于擬經(jīng)驗變式編碼，能促進個體經(jīng)驗事實化。這樣的命題變式編碼過程帶有追本溯源的特征，有助于學生獲得變而不變的能力。這也是事實經(jīng)驗得以轉化遷移的具體表現(xiàn)，是二次變式的必然結果。

三、“二次變式”的教學思考

變式是教師教學的“始基”，“二次變式”是學生學習的動力體系。二次變式的“本原性”表現(xiàn)為源于教材、高于教材和超越教材，二次變式的“再造性”表現(xiàn)為情境置于編碼、語言等值編碼、聯(lián)結抽象編碼。

1.情境置于編碼——源于教材

“母子正方形”是源于教材的，兩個城市、三個年份試題考查的視角“南轅北轍”，這就是情境置于編碼的產(chǎn)物。在實際數(shù)學中，二次變式教學設計要基于教材，體現(xiàn)圍繞教材考的目標;要進行恰當?shù)那榫尘幋a，突出概念方法體系的特點。上述3個例題中的問題（1）就是二次變式編碼的好例子。

2.語言等值編碼——高于教材

一堂好課，必須滿足源于教材、高于教材的二次變式認知條件。語言等值編碼（提出、推理、表達）是學科教學的頂層設計（對數(shù)學學科而言，指用數(shù)學的眼光觀察世界，用數(shù)學的思維思考世界，用數(shù)學的語言表達世界），指向提出問題、反常規(guī)能力的培養(yǎng)。例3中的3個問題就揭示了教學的本體價值，不留痕跡地將“相似變換、全等變換、動線軌跡”渾然天成。

3.聯(lián)結抽象編碼——超越教材

“會一題、通一類、連一片”是學科教學，特別是理科教學的理想狀態(tài)，是聯(lián)結抽象編碼的目標對象，是超越教材的宗旨。利用智能平臺，進行聯(lián)結式抽象編碼，讓學生經(jīng)歷“不變而變的形論，變而不變的數(shù)論”的過程，勢必能將“連一片”轉化成“學習現(xiàn)實”，這就是二次變式的教學終極追求。

參考文獻

[1] 徐汝成.馬登理論及其對數(shù)學教學的啟示[J].數(shù)學教育學報，2002（01）：48-50.

[2] 李靜，王秀蘭.本原性問題驅動下的數(shù)學變式教學[J].數(shù)學教育學報，2013，22（06）：94-97.

[3] 徐章韜.“Z+Z”智能教育平臺：實施變異理論的一個抓手[J].數(shù)學教育學報，2012，21（04）：28-31.

*該文為江蘇省教育科學“十三五”規(guī)劃2020年度重點資助課題“初中數(shù)學實驗教學支持系統(tǒng)的構建研究”（B-a/2020/02/42）的研究成果