亚洲免费av电影一区二区三区,日韩爱爱视频,51精品视频一区二区三区,91视频爱爱,日韩欧美在线播放视频,中文字幕少妇AV,亚洲电影中文字幕,久久久久亚洲av成人网址,久久综合视频网站,国产在线不卡免费播放

        ?

        三類笛卡兒積圖的完美匹配計數(shù)

        2022-12-06 01:56:38許麗麗
        關(guān)鍵詞:鄰接矩陣行列式乘積

        許麗麗

        (閩南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,福建漳州 363000)

        設(shè)G=(V(G),E(G)),其中V(G)表示G的頂點集,E(G)表示G的邊集.子集M?E(G),若M中任意兩條邊在圖G均不相鄰,則稱M是圖G的一個匹配.與M中的邊相關(guān)聯(lián)的點稱為被M飽和的點.若圖G的一個匹配飽和了圖G的所有頂點,則稱這個匹配為完美匹配.設(shè)C是圖G的偶圈,若圖G去掉該圈C上的點以及與這些點相關(guān)聯(lián)的邊后仍存在完美匹配,則稱C是圖G的好圈.設(shè)表示圖G的一個定向,沿著一個方向在圈上走,定向與所走的方向相同的邊的數(shù)目為奇數(shù)(偶數(shù)),則稱這個圈在是奇定向(偶定向)的.若G中每一個好圈在都是奇定向的,則稱這個定向為Pfaffian定向,具有Pfaffian定向的圖為Pfaffian圖.

        圖的完美匹配計數(shù)問題是圖論的一個重要研究課題.基于化學(xué)家對芳香碳氫化合物的研究,圖的完美匹配的計數(shù)問題從20世紀(jì)中葉開始受到了化學(xué)家的高度關(guān)注,他們發(fā)現(xiàn)化合物對應(yīng)的共軛分子圖是否具有完美匹配與該化合物的穩(wěn)定性有一定的關(guān)系[1].所以研究圖的完美匹配數(shù)具有重要的理論和應(yīng)用的意義.

        Valiant[2]證明了一般圖中的完美匹配計數(shù)問題是NP—完全的.Kasteleyn[3]首次提出利用Pfaffian定向的方法去計算圖的完美匹配數(shù).若G中每一個好圈在都是奇定向的,則稱這個定向為Pfaffian 定向,具有Pfaffian定向的圖為Pfaffian圖.

        Kasteleyn[3]證明了所有平面圖都具有Pfaffian 定向.而對于非平面圖是否具有Pfaffian 定向這個問題還是一個公開問題.晏衛(wèi)根等[4-5]證明了卡氏乘積圖C4×T,P4×T以及P3×T(Ci表示頂點數(shù)為i的圈,Pi表示i-1長的路,T表示存在完美匹配的樹)具有Pfaffian定向,并得到了其完美匹配計數(shù)公式.林峰根等[6]進一步證明了C4×G(G表示單圈非二部圖)具有Pfaffian 定向,從而計算得到了它的完美匹配數(shù)的表達式.盧福良等[7]根據(jù)圖G的禁止子圖刻畫了任意圖G的卡式乘積圖G×P2n和G×C2n的Pfaffian性質(zhì).本文證明了三類乘積圖具有Pfaffian定向,并利用其斜鄰接矩陣行列式得到了它們的完美匹配數(shù)的顯示表達式.

        1 乘積圖的Pfaffian定向

        設(shè)圖G的頂點集為(v1,v2,…,v2p),表示G的一個定向.定義的斜鄰接矩陣為,1≤i,j≤n,其中

        容易看出,當(dāng)PM對應(yīng)的劃分不是圖的一個完美匹配時,Pf(A)=0;Pf(A)的非零項對應(yīng)圖G的完美匹配.PM的符號定義為wPM的符號.如果中所有完美匹配的符號都相同,則這時稱為Pfaffian 定向,具有該定向的圖稱為Pfaffian圖.目前仍沒有好的算法去判斷一個圖是否有Pfaffian定向.

        一般地,一個圖是否具有Pfaffian定向,以下幾個條件等價.

        定理1[8]若圖G的頂點個數(shù)為偶數(shù),是它的一個定向,下面四個條件等價:

        3)圖G中每個好圈在圖都是奇定向的;

        4)對于圖G中任意一個完美匹配交錯圈在圖都是奇定向的.

        Muir[9]得到了斜對稱鄰接矩陣的Pfaffian與該矩陣的行列式的關(guān)系.

        定理2[9]令Α=(aij)m×m為一個斜對稱矩陣,則A的行列式det(A)=(Pf(A))2.

        定理3[8]若G是一個Pfaffian 圖,是G的一個Pfaffian 定向,則G的完美匹配數(shù)w(G)=|Pf(A)|=.

        如果一個圖是Pfaffian圖,那么它的完美匹配數(shù)可以通過某一定向下的矩陣的行列式得到.也就是它的完美匹配計數(shù)就能在多項式時間內(nèi)算出.

        定理4[10]若G是連通的Pfaffian 圖,T是G的生成樹,e∈E(G)是T中兩端點距離為偶數(shù)的邊.那么T+e的任意定向都可以擴展為G的一個Pfaffian定向.

        引理1K1,m×P2n具有Pfaffian定向.

        圖1 K1,m×P2n的一個Pfaffian定向Fig.1 A Pfaffian orientation of K1,m×P2n

        引理2K4×Pn具有Pfaffian定向.

        圖2 K4×Pn的一個Pfaffian定向Fig.2 A Pfaffian orientation of K4×Pn

        引理3若G是由有一條公共邊的兩個奇圈組成的圖,則G×P4具有Pfaffian定向.

        圖3 G×P4的一個Pfaffian定向Fig.3 A Pfaffian orientation of G×P4

        2 三類圖的完美匹配數(shù)

        在本節(jié)中,計算了K1,m×P2n,K4×Pn和G×P4(G是由有一條公共邊的兩個奇圈組成的)的完美匹配數(shù).根據(jù)上節(jié)中所描述的Pfaffian 定向方法,給這些圖的頂點采用適當(dāng)?shù)臉?biāo)號方式,得到它們的斜鄰接矩陣如下所示:

        其中,

        將矩陣A(G)進行初等變換,先將A(G)的分塊矩陣的第一列乘-1,然后是第三行、第四行,接著是第四列、第五列,第七行、第八行分別乘-1,繼續(xù)此操作,我們不改變行列式的絕對值,得到矩陣V,

        那么可以得到V=-I?B+C?I,其中?表示矩陣的克羅內(nèi)克積,I表示單位矩陣.如果B的特征值為x1,x2,…,xm,C的特征值為y1,y2,…,yt.那么可以得到V的特征值為yj-xi,i=1,2,…,m;j=1,2,…,t.所以V的行列式為.

        可以得到這幾類乘積圖的斜對稱矩陣的特征值:

        1)若G是K4×Pn,那么B的特征值為(它們的重數(shù)都是2);

        2)若G是K1,m-1×P2n,那么B的特征值為;

        3)矩陣C的特征值為2cos((kπ)/(t+1)),(k=1,2,…,t)[11].

        因此可以得到下面的結(jié)果.

        定理5K4×Pn,K1,m×P2n的完美匹配數(shù)可以表示為

        其中xi(i=1,…,s)是G的所有特征值.注意到,實斜對稱矩陣的特征值要么為0,要么是虛數(shù).如果x是實斜矩陣的特征值,則它的共軛也是實斜矩陣的特征值.因此我們有

        其中x*(G)是A(G)的所有特征值的非負虛部的集合.所以可以得到定理6.

        定理6如果G由具有一條公共邊的兩個奇圈組成的圖,那么w(G×P4)=,其中x的取值范圍為A(G)的所有特征值的非負虛部.

        猜你喜歡
        鄰接矩陣行列式乘積
        輪圖的平衡性
        乘積最大
        行列式解法的探討
        Dirichlet級數(shù)及其Dirichlet-Hadamard乘積的增長性
        n階行列式算法研究
        加項行列式的計算技巧
        考試周刊(2016年89期)2016-12-01 12:38:39
        基于鄰接矩陣變型的K分網(wǎng)絡(luò)社團算法
        一種判定的無向圖連通性的快速Warshall算法
        復(fù)變?nèi)呛瘮?shù)無窮乘積的若干應(yīng)用
        Dirichlet級數(shù)的Dirichlet-Hadamard乘積
        99久久精品费精品国产一区二| 精品亚洲国产探花在线播放| 精品国产1区2区3区AV| 日韩AV无码一区二区三不卡| 亚洲国产都市一区二区| 美女下蹲露大唇无遮挡| 国产人妻久久精品二区三区老狼 | 国产精品vⅰdeoxxxx国产| 国产人妻精品无码av在线| 中国丰满熟妇xxxx| 国产乱子伦视频大全| 精品国产一区二区三区久久女人| AV在线毛片| 免费在线国产不卡视频| 中文字幕av长濑麻美| 日本强伦姧人妻一区二区| 特黄特色的大片观看免费视频 | 日本午夜国产精彩| 2021最新久久久视精品爱| 国产亚洲中文字幕一区| 国产二区交换配乱婬| 欧美婷婷六月丁香综合色| 亚洲色图在线视频免费观看| 亚洲一区二区三区毛片| 中文字幕av久久亚洲精品| 午夜成人精品福利网站在线观看| 狠狠色狠狠色综合久久第一次| 在线观看av手机网址| 91亚洲夫妻视频网站| 人妻av中文字幕久久| 最爽无遮挡行房视频| 91视频88av| 国产伦精品一区二区三区在线| 国产精品国产传播国产三级| 97人妻精品一区二区三区男同| 全球中文成人在线| 国产又爽又黄的激情精品视频| 四虎影视国产884a精品亚洲| 日韩av他人妻中文字幕| 国产乱人伦av在线麻豆a| 美丽的熟妇中文字幕|