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        三類(lèi)笛卡兒積圖的完美匹配計(jì)數(shù)

        2022-12-06 01:56:38許麗麗
        關(guān)鍵詞:鄰接矩陣行列式乘積

        許麗麗

        (閩南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,福建漳州 363000)

        設(shè)G=(V(G),E(G)),其中V(G)表示G的頂點(diǎn)集,E(G)表示G的邊集.子集M?E(G),若M中任意兩條邊在圖G均不相鄰,則稱(chēng)M是圖G的一個(gè)匹配.與M中的邊相關(guān)聯(lián)的點(diǎn)稱(chēng)為被M飽和的點(diǎn).若圖G的一個(gè)匹配飽和了圖G的所有頂點(diǎn),則稱(chēng)這個(gè)匹配為完美匹配.設(shè)C是圖G的偶圈,若圖G去掉該圈C上的點(diǎn)以及與這些點(diǎn)相關(guān)聯(lián)的邊后仍存在完美匹配,則稱(chēng)C是圖G的好圈.設(shè)表示圖G的一個(gè)定向,沿著一個(gè)方向在圈上走,定向與所走的方向相同的邊的數(shù)目為奇數(shù)(偶數(shù)),則稱(chēng)這個(gè)圈在是奇定向(偶定向)的.若G中每一個(gè)好圈在都是奇定向的,則稱(chēng)這個(gè)定向?yàn)镻faffian定向,具有Pfaffian定向的圖為Pfaffian圖.

        圖的完美匹配計(jì)數(shù)問(wèn)題是圖論的一個(gè)重要研究課題.基于化學(xué)家對(duì)芳香碳?xì)浠衔锏难芯浚瑘D的完美匹配的計(jì)數(shù)問(wèn)題從20世紀(jì)中葉開(kāi)始受到了化學(xué)家的高度關(guān)注,他們發(fā)現(xiàn)化合物對(duì)應(yīng)的共軛分子圖是否具有完美匹配與該化合物的穩(wěn)定性有一定的關(guān)系[1].所以研究圖的完美匹配數(shù)具有重要的理論和應(yīng)用的意義.

        Valiant[2]證明了一般圖中的完美匹配計(jì)數(shù)問(wèn)題是NP—完全的.Kasteleyn[3]首次提出利用Pfaffian定向的方法去計(jì)算圖的完美匹配數(shù).若G中每一個(gè)好圈在都是奇定向的,則稱(chēng)這個(gè)定向?yàn)镻faffian 定向,具有Pfaffian定向的圖為Pfaffian圖.

        Kasteleyn[3]證明了所有平面圖都具有Pfaffian 定向.而對(duì)于非平面圖是否具有Pfaffian 定向這個(gè)問(wèn)題還是一個(gè)公開(kāi)問(wèn)題.晏衛(wèi)根等[4-5]證明了卡氏乘積圖C4×T,P4×T以及P3×T(Ci表示頂點(diǎn)數(shù)為i的圈,Pi表示i-1長(zhǎng)的路,T表示存在完美匹配的樹(shù))具有Pfaffian定向,并得到了其完美匹配計(jì)數(shù)公式.林峰根等[6]進(jìn)一步證明了C4×G(G表示單圈非二部圖)具有Pfaffian 定向,從而計(jì)算得到了它的完美匹配數(shù)的表達(dá)式.盧福良等[7]根據(jù)圖G的禁止子圖刻畫(huà)了任意圖G的卡式乘積圖G×P2n和G×C2n的Pfaffian性質(zhì).本文證明了三類(lèi)乘積圖具有Pfaffian定向,并利用其斜鄰接矩陣行列式得到了它們的完美匹配數(shù)的顯示表達(dá)式.

        1 乘積圖的Pfaffian定向

        設(shè)圖G的頂點(diǎn)集為(v1,v2,…,v2p),表示G的一個(gè)定向.定義的斜鄰接矩陣為,1≤i,j≤n,其中

        容易看出,當(dāng)PM對(duì)應(yīng)的劃分不是圖的一個(gè)完美匹配時(shí),Pf(A)=0;Pf(A)的非零項(xiàng)對(duì)應(yīng)圖G的完美匹配.PM的符號(hào)定義為wPM的符號(hào).如果中所有完美匹配的符號(hào)都相同,則這時(shí)稱(chēng)為Pfaffian 定向,具有該定向的圖稱(chēng)為Pfaffian圖.目前仍沒(méi)有好的算法去判斷一個(gè)圖是否有Pfaffian定向.

        一般地,一個(gè)圖是否具有Pfaffian定向,以下幾個(gè)條件等價(jià).

        定理1[8]若圖G的頂點(diǎn)個(gè)數(shù)為偶數(shù),是它的一個(gè)定向,下面四個(gè)條件等價(jià):

        3)圖G中每個(gè)好圈在圖都是奇定向的;

        4)對(duì)于圖G中任意一個(gè)完美匹配交錯(cuò)圈在圖都是奇定向的.

        Muir[9]得到了斜對(duì)稱(chēng)鄰接矩陣的Pfaffian與該矩陣的行列式的關(guān)系.

        定理2[9]令Α=(aij)m×m為一個(gè)斜對(duì)稱(chēng)矩陣,則A的行列式det(A)=(Pf(A))2.

        定理3[8]若G是一個(gè)Pfaffian 圖,是G的一個(gè)Pfaffian 定向,則G的完美匹配數(shù)w(G)=|Pf(A)|=.

        如果一個(gè)圖是Pfaffian圖,那么它的完美匹配數(shù)可以通過(guò)某一定向下的矩陣的行列式得到.也就是它的完美匹配計(jì)數(shù)就能在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)算出.

        定理4[10]若G是連通的Pfaffian 圖,T是G的生成樹(shù),e∈E(G)是T中兩端點(diǎn)距離為偶數(shù)的邊.那么T+e的任意定向都可以擴(kuò)展為G的一個(gè)Pfaffian定向.

        引理1K1,m×P2n具有Pfaffian定向.

        圖1 K1,m×P2n的一個(gè)Pfaffian定向Fig.1 A Pfaffian orientation of K1,m×P2n

        引理2K4×Pn具有Pfaffian定向.

        圖2 K4×Pn的一個(gè)Pfaffian定向Fig.2 A Pfaffian orientation of K4×Pn

        引理3若G是由有一條公共邊的兩個(gè)奇圈組成的圖,則G×P4具有Pfaffian定向.

        圖3 G×P4的一個(gè)Pfaffian定向Fig.3 A Pfaffian orientation of G×P4

        2 三類(lèi)圖的完美匹配數(shù)

        在本節(jié)中,計(jì)算了K1,m×P2n,K4×Pn和G×P4(G是由有一條公共邊的兩個(gè)奇圈組成的)的完美匹配數(shù).根據(jù)上節(jié)中所描述的Pfaffian 定向方法,給這些圖的頂點(diǎn)采用適當(dāng)?shù)臉?biāo)號(hào)方式,得到它們的斜鄰接矩陣如下所示:

        其中,

        將矩陣A(G)進(jìn)行初等變換,先將A(G)的分塊矩陣的第一列乘-1,然后是第三行、第四行,接著是第四列、第五列,第七行、第八行分別乘-1,繼續(xù)此操作,我們不改變行列式的絕對(duì)值,得到矩陣V,

        那么可以得到V=-I?B+C?I,其中?表示矩陣的克羅內(nèi)克積,I表示單位矩陣.如果B的特征值為x1,x2,…,xm,C的特征值為y1,y2,…,yt.那么可以得到V的特征值為yj-xi,i=1,2,…,m;j=1,2,…,t.所以V的行列式為.

        可以得到這幾類(lèi)乘積圖的斜對(duì)稱(chēng)矩陣的特征值:

        1)若G是K4×Pn,那么B的特征值為(它們的重?cái)?shù)都是2);

        2)若G是K1,m-1×P2n,那么B的特征值為;

        3)矩陣C的特征值為2cos((kπ)/(t+1)),(k=1,2,…,t)[11].

        因此可以得到下面的結(jié)果.

        定理5K4×Pn,K1,m×P2n的完美匹配數(shù)可以表示為

        其中xi(i=1,…,s)是G的所有特征值.注意到,實(shí)斜對(duì)稱(chēng)矩陣的特征值要么為0,要么是虛數(shù).如果x是實(shí)斜矩陣的特征值,則它的共軛也是實(shí)斜矩陣的特征值.因此我們有

        其中x*(G)是A(G)的所有特征值的非負(fù)虛部的集合.所以可以得到定理6.

        定理6如果G由具有一條公共邊的兩個(gè)奇圈組成的圖,那么w(G×P4)=,其中x的取值范圍為A(G)的所有特征值的非負(fù)虛部.

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