文／潘華偉

“折竹抵地”

《九章算術(shù)》是中國(guó)古代的一部數(shù)學(xué)專著，是《算經(jīng)十書(shū)》中最重要的一部，成書(shū)于公元一世紀(jì)左右。全書(shū)總結(jié)了戰(zhàn)國(guó)、秦、漢時(shí)期的數(shù)學(xué)成就，是一本綜合性的歷史著作，也是當(dāng)時(shí)世界上最簡(jiǎn)練、有效的應(yīng)用數(shù)學(xué)著作。它的出現(xiàn)標(biāo)志著中國(guó)古代數(shù)學(xué)形成了完整的體系。

《九章算術(shù)》中有一道“折竹”問(wèn)題：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺。問(wèn)：折者高幾何？”題意是：一根竹子原高1 丈（1 丈=10 尺），中部有一處折斷，竹梢觸地面處離竹根3 尺。試問(wèn)折斷處離地面多高（如圖1）？

圖1

圖2

我們可以設(shè)竹子折斷處離地面x尺，如圖2，構(gòu)造直角三角形，則斜邊為（10-x）尺，根據(jù)勾股定理，得x2+32=（10-x）2，解得。故折斷處離地面尺。

“秋千蕩高”

《直指算法統(tǒng)宗》也是中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著。該書(shū)共17 卷，卷1 和卷2 介紹數(shù)學(xué)名詞、大數(shù)、小數(shù)和度量衡單位以及珠算盤(pán)式圖、珠算各種算法口訣等，并舉例說(shuō)明具體用法；卷3 至卷12 按“九章”次序列舉各種應(yīng)用題及解法；卷13 到卷16 為“難題”解法匯編；卷17 是“雜法”。書(shū)后附錄《算經(jīng)源流》一篇，著錄了北宋元豐七年（1084 年）以來(lái)的數(shù)學(xué)書(shū)目51 種。從中國(guó)古代數(shù)學(xué)的整個(gè)發(fā)展過(guò)程來(lái)看，從流傳的長(zhǎng)久、廣泛和深入程度來(lái)講，這是任何一部數(shù)學(xué)著作都不能相比的。

《直指算法統(tǒng)宗》中曾以《西江月》為詞牌，敘述了一道“蕩秋千”的問(wèn)題：“平地秋千未起，踏板一尺離地。送行二步與人齊，五尺人高曾記。仕女佳人爭(zhēng)蹴，終朝笑語(yǔ)歡嬉。良工高士素好奇，算出索長(zhǎng)有幾？”

譯文：有一架秋千，當(dāng)它靜止時(shí)，踏板離地1 尺，將它往前推送10 尺（水平距離）時(shí)，踏板就和人一樣高。這個(gè)人的身高為5 尺，秋千的繩索始終拉得很直，試問(wèn)繩索有多長(zhǎng)？

圖3

我們可以將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，得到圖3。其中AC=1 尺，EB=10 尺，BD=5 尺。我們可以設(shè)OA=OB=x尺，因?yàn)镋C=BD=5 尺，AC=1 尺，所以EA=4 尺，OE=OA-AE=（x-4）尺。在Rt△OEB中，根據(jù)勾股定 理，得x2=（x-4）2+102，解 得x=14.5。故秋千繩索的長(zhǎng)度是14.5 尺。

同學(xué)們，你能用剛才的知識(shí)和方法解答下面這道中考題嗎？

勘測(cè)隊(duì)按實(shí)際需要構(gòu)建了平面直角坐標(biāo)系，并標(biāo)示了A、B、C三地的坐標(biāo)，數(shù)據(jù)如圖4 所示（單位：km）。筆直鐵路經(jīng)過(guò)A、B兩地。

（1）A、B間的距離為_(kāi)_____km；

（2）計(jì)劃修建一條從C到鐵路AB的最短公路l，并在l上建一個(gè)維修站D，使D到A、C的距離相等，則C、D間的距離為 km。

圖4

因?yàn)锳、B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，我們得到AB∥x軸，所以AB=12-（-8）=20，所以A、B間的距離為20km。根據(jù)“兩點(diǎn)之間垂線段最短”，我們可以求出最短公路l，即過(guò)C點(diǎn)作l⊥AB于點(diǎn)E。連接AC，作AC的垂直平分線交直線l于點(diǎn)D，則點(diǎn)D是所求的位置（如圖5）。由（1）可知：CE=1-（-17）=18，AE=12，設(shè)CD=x，所以AD=CD=x，由勾股定理得x2=（18-x）2+122，解得x=13，所以CD=13。故C、D間的距離為13km。

圖5