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        二次函數中系數的符號與其圖象之間的關系

        2022-11-25 11:30:33甘肅省慶陽市寧縣中村初級中學韓興寧
        中學數學 2022年20期
        關鍵詞:半軸對稱軸交點

        ?甘肅省慶陽市寧縣中村初級中學 韓興寧

        1 引言

        圖象與性質作為初中數學中二次函數非常重要的內容,其系數符號的判斷不亞于求函數圖象與坐標軸的交點[1].盡管該知識點基礎且重要,但是仍有很多學生對此掌握不夠深入.為此,筆者結合近幾年的中考題,為學生提供判斷二次函數系數符號的方法,同時也為一線教師在這方面的教學提供參考.

        2 方法探究

        對于二次函數y=ax2+bx+c(a,b,c是常數,a≠0)而言,ax2的系數為a,bx的系數為b,c常數項.當然,這里的a,b,c已經包含了符號,在此作特殊說明[2].那么,如何根據二次函數的圖象分析出系數的符號呢?接下來將從以下三個方面進行研究.

        2.1 確定“a”的符號

        “a”的符號通常比較容易確定,它與二次函數圖象的開口方向有關,即圖象開口向上時a為正數,圖象開口向下時a為負數[3].關于 “a”的符號的判斷,在中考題中出現得比較少,這與它的難易程度有關.

        例1如圖1,函數y=ax+1與y=ax2+bx+1(a≠0)的圖象可能是( ).

        圖1

        解析:函數y=ax+1中的“a”與y=ax2+bx+1(a≠0)中的“a”符號一致,所以可根據y=ax2+bx+1(a≠0)圖象的開口方向判斷“a”的符號.首先,A,B選項中二次函數圖象開口向下,所以a<0,那么直線應向下傾斜,選項B排除.然而,函數y=ax+1與y=ax2+bx+1(a≠0)中都有“1”,即圖象與y軸交點坐標都為(0,1),因此排除選項A.其次,C,D選項中二次函數圖象開口向上,所以a>0,那么直線應向上傾斜,選項D排除.所以,本題應選答案:C.

        2.2 確定“b”的符號

        “b”的符號判斷比較復雜,因為需要考慮二次函數中與b有關的量.這時候,就自然想到了判別式Δ和頂點坐標,其中頂點的橫坐標關系最簡單,即對稱軸.所以,在“a”一定的前提下,嘗試從對稱軸的位置探究確定“b”的符號的方法.

        首先,觀察圖2中兩個函數圖象,它們都是開口向下,不同的是①中的對稱軸與x軸的負半軸相交,而②中則與x軸的正半軸相交.

        圖2

        最后,綜合兩種不同的情況,發(fā)現b的符號與a有關,且通過對稱軸的位置得到了a與b“左同右異”的關系.

        例2如圖3,函數y=mx+m和函數y=-mx2+2x+2(m是常數,且m≠0)的圖象可能是( ).

        圖3

        解析:函數y=mx+m和函數y=-mx2+2x+2(m是常數,且m≠0)中的“m”符號一致.首先,四個選項中均以直線為參考對象.在A,B,D三個選項中,直線y=mx+m均向下傾斜且與y軸負半軸相交,所以m<0,則-m>0,所以二次函數開口向上,排除A選項.再觀察b=2>0,采用“左同右異”中的“左同”得到對稱軸應與x軸的負半軸相交,即選項B排除.因為C選項中的直線向上傾斜,所以m>0,因此-m<0,這與C選項的二次函數開口方向向上矛盾,所以應排除C選項.故選答案:D.

        2.3 確定“c”的符號

        “c”的符號的確定,需要先觀察二次函數解析式y(tǒng)=ax2+bx+c(a≠0).不難發(fā)現,當x=0時,y=c,即函數與縱軸的交點坐標是(0,c)[4].由此可見,“c”的符號的確定依賴于交點坐標(0,c).如果二次函數圖象與縱軸的正半軸相交,那么c>0;如果二次函數圖象與縱軸的負半軸相交,那么c<0;如果二次函數圖象過原點,那么c=0.

        例3拋物線的圖象如圖4所示,根據圖象可知,拋物線的解析式可能是( ).

        圖4

        A.y=x2-x-2

        D.y=-x2+x+2

        解析:函數圖象顯示開口向下,交y軸正半軸,其對稱軸與x軸正半軸相交.根據上述分析,可知a<0;c>0;b的符號與a的符號相反,既然a<0,那么b>0.綜合此三點,選項A,C排除.再仔細觀察圖象可知,圖象與y軸正半軸的交點一定不是(0,1),而是(0,2),所以應選答案:D.

        3 方法應用

        例4(濰坊)已知二次函數y=

        ax2+bx+c的圖象如圖5所示,則a,b,c滿足( ).

        圖5

        A.a<0,b<0,c>0

        B.a<0,b<0,c<0

        C.a<0,b>0,c>0

        D.a>0,b<0,c>0

        解析:觀察函數圖象發(fā)現,圖象顯示開口向下,所以a<0;圖象與y軸的正半軸相交,所以c>0;對稱軸與x軸的負半軸相交,所以b與a的符號相同,都是負數.綜上可知,a<0,b<0,c>0.故選答案:A.

        例5(陜西省)已知二次函數y=ax2+bx+c(其中a<0,b<0,c>0),關于這個二次函數的圖象有如下說法:①圖象的開口一定向上;②圖象的頂點一定在第四象限;③圖象與x軸的交點至少有一個在y軸的右側.以上說法正確的個數為( ).

        A.0 B.1 C.2 D.3

        解析:本題沒有給出圖象,而是需要根據“a<0,b<0,c>0”嘗試畫出圖象,然后根據圖象在①②③中選擇.所以,首先根據“a<0,b<0,c>0”畫出圖象,如圖6所示.然后,根據圖象分析可知①錯誤,圖象應該一定開口向下;②錯誤,圖象的頂點一定在第二象限;③正確.所以,本題應該選答案:B.

        圖6

        4 結語

        總而言之,二次函數中系數符號的確定既關系到學生對函數圖象的整體把握,又關乎到后期的計算.倘若在第一步就判斷錯誤a,b,c的符號,那么后續(xù)有關系數的運算一定會出現錯誤.所以,作為一線數學教師,在用心教學、耐心指導的前提下,務必讓學生掌握該基礎知識點,為日后函數的計算和應用打下堅實的基礎.

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