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        正方形對角線性質(zhì)的再探究

        2022-11-25 11:30:33寧波科學(xué)中學(xué)
        中學(xué)數(shù)學(xué) 2022年20期
        關(guān)鍵詞:位線對角線勾股定理

        ?寧波科學(xué)中學(xué) 王 震

        1 引言

        正方形是初中數(shù)學(xué)的一個重要內(nèi)容,因其具有獨(dú)特的圖形特點(diǎn)、圖形風(fēng)格、圖形性質(zhì),也是中考的一個重要考點(diǎn),特別是正方形的對角線更值得深入探究.下面就一起走進(jìn)正方形對角線的探究天地,共賞正方形的美景!

        2 性質(zhì)探究

        圖1

        下面給出性質(zhì)①的幾種證明,供學(xué)習(xí)時借鑒.

        證法1:三角形全等法.

        因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形,對角線AC,BD相交于點(diǎn)O,所以∠OCF=∠OCG=45°.

        因?yàn)镺G⊥CD,OF⊥BC,所以∠OFC=∠OGC=90°.又OC=OC,所以△OFC≌△OGC.即得OG=OF.

        證法2:三角形面積法.

        這里僅提供兩種常見的證明方法,供參考.其余性質(zhì)的證明讀者感興趣的,可以嘗試自己完成.

        3 性質(zhì)應(yīng)用

        3.1 借助四邊形的面積,求正方形的邊長

        例1(2021·重慶中考)如圖2,正方形ABCD的對角線AC,BD交于點(diǎn)O,M是邊AD上一點(diǎn),連接OM,過點(diǎn)O作ON⊥OM,交CD于點(diǎn)N.若四邊形MOND的面積是1,則AB的長為( ).

        圖2

        解析:如圖3,過點(diǎn)O分別作OG⊥AD,垂足為G,OH⊥CD,垂足為H.根據(jù)性質(zhì),得OG=OH.

        圖3

        ∵OH⊥OG,OM⊥ON,

        ∴∠GOM=∠HON,

        ∠OGM=∠OHN.

        ∴△OGM≌△OHN.

        故四邊形GOHD的面積等于四邊形MOND的面積,等于1.

        由四邊形ABCD是正方形,則其面積為四邊形GOHD的面積的4倍,等于4,所以AB=2.

        故選答案:C.

        點(diǎn)評:根據(jù)正方形的特點(diǎn),過正方形的中心引兩邊的垂線,利用三角形的全等,化已知四邊形的面積為正方形一角四邊形的面積,從而根據(jù)正方形的面積是一角四邊形面積的4倍計算即可.這個結(jié)論有著重要的應(yīng)用,若遇到填空題或選擇題是可以直接運(yùn)用,從而提高解題的效率.

        3.2 構(gòu)造中位線,求中位線的長

        例2(2021年天津)如圖4,正方形ABCD的邊長為4,對角線AC,BD相交于點(diǎn)O,點(diǎn)E,F(xiàn)分別在BC,CD的延長線上,且CE=2,DF=1,G為EF的中點(diǎn),連接OE,交CD于點(diǎn)H,連接GH,則GH的長為.

        圖4

        解析:如圖5,過點(diǎn)O分別作OM⊥BC,垂足為M,ON⊥CD,垂足為N,連接OF.

        圖5

        在Rt△ONF中,根據(jù)勾股定理,得

        點(diǎn)評:解答時,把握好如下三點(diǎn).(1)學(xué)會過正方形對角線交點(diǎn)引垂線構(gòu)造頂角正方形,為性質(zhì)的使用奠定基礎(chǔ);(2)靈活運(yùn)用三角形中位線定理找中點(diǎn),求線段的長度;(3)活用正方形的性質(zhì),定直角確定直角三角形,為勾股定理的使用創(chuàng)設(shè)解題條件.

        3.3 利用性質(zhì),判斷結(jié)論的正誤

        圖6

        A. ①②③④ B. ①③④

        C. ①②③⑤ D. ①②④⑤

        解析:因?yàn)檎叫蜛BCD中,對角線AC與BD相交于點(diǎn)O,所以O(shè)D=OB.因?yàn)辄c(diǎn)F是DE的中點(diǎn),所以O(shè)F是△DBE的中位線,即OF∥BE,并且BE=2OF.因?yàn)镃E=4,OF=6,所以BE=12,BC=8.又OG是△DBC的中位線,所以O(shè)G=4,于是GF=2.故結(jié)論①正確.

        圖7

        故選答案:C.

        點(diǎn)評:解答時,要把握如下幾個關(guān)鍵知識點(diǎn).一是熟練掌握正方形的性質(zhì),特別是對角線平分對角性質(zhì);二是熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì);三是靈活運(yùn)用直角三角形斜邊上的中線性質(zhì);四是靈活運(yùn)用特殊角的三角函數(shù)值,銳角的正切的性質(zhì),這也是解題的有效方法;五是熟練掌握三角形面積不同表示法,這也是一種經(jīng)常用到的解題思路,特別是當(dāng)思維打不開時,聚焦這個思維方向,往往會收到柳暗花明的效果,值得多重視、多運(yùn)用、多關(guān)注.

        4 解后反思

        通過解題,得到如下啟示:(1)正方形是一種特殊的四邊形,其特殊性往往是解題的重要依據(jù)或是解題的重要途徑,因此常態(tài)學(xué)習(xí)中,要引起高度重視,并熟練掌握和活用.(2)以正方形為背景的考題非常容易與勾股定理、直角三角形斜邊上的中線、三角形的中位線定理、等腰直角三角形、圖形的面積、特殊角的三角函數(shù)值有機(jī)融合,成為培養(yǎng)知識綜合運(yùn)用能力、解題能力的有效載體,更值得重視.(3)對正方形的學(xué)習(xí)要從章內(nèi)綜合和跨章節(jié)綜合兩個層面去把握.章內(nèi)綜合要立足正方形的性質(zhì),重點(diǎn)放在對角線的性質(zhì)、正方形的對稱性質(zhì);熟練掌握好正方形的對角線與邊之間的關(guān)系,這是一個非常關(guān)鍵的結(jié)論型關(guān)系,往往成為解題的“橋梁”.跨章節(jié)綜合立足于三角形的相似、三角函數(shù),特別是特殊角的三角函數(shù)值問題,更是生成跨章節(jié)綜合的有效生長點(diǎn)和重要結(jié)合部,在常態(tài)的學(xué)習(xí)過程中,要格外重視,且養(yǎng)成主動向這個方向拓展、延伸的好習(xí)慣,進(jìn)而提升自我數(shù)學(xué)綜合解題能力;正方形與勾股定理的聯(lián)系也十分密切,正方形四個角是直角,對角線互相垂直、平分又生成直角,這些都為勾股定理的使用培植了知識沃土,為定理運(yùn)用創(chuàng)造了條件.當(dāng)然,正方形的跨章節(jié)綜合還有旋轉(zhuǎn)、平移、全等等類型,鑒于篇幅,在這里就不再贅述.

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