亚洲免费av电影一区二区三区,日韩爱爱视频,51精品视频一区二区三区,91视频爱爱,日韩欧美在线播放视频,中文字幕少妇AV,亚洲电影中文字幕,久久久久亚洲av成人网址,久久综合视频网站,国产在线不卡免费播放

        ?

        多關(guān)聯(lián) 勤思考 促提高

        2022-11-25 11:30:33蘇州工業(yè)園區(qū)星湖學(xué)校
        中學(xué)數(shù)學(xué) 2022年20期
        關(guān)鍵詞:過(guò)點(diǎn)勾股定理切線

        ?蘇州工業(yè)園區(qū)星湖學(xué)校 沈 奕

        1 原題展示

        (2021江蘇泰州15題)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A坐標(biāo)為(8,5),⊙A與x軸相切,點(diǎn)P在y軸正半軸上,PB與⊙A相切于點(diǎn)B,若∠APB=30°,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為______.

        圖1

        2 試題評(píng)價(jià)

        2.1 簡(jiǎn)而不凡,內(nèi)涵豐富

        本題以圓、切線、30°角、點(diǎn)的坐標(biāo)等常見素材為背景設(shè)置問題,圖形簡(jiǎn)約而熟悉,題干精煉而別致,結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單而富有美感,是一道內(nèi)涵豐富、設(shè)計(jì)巧妙、考查學(xué)生素養(yǎng)的填空題.

        從背景條件來(lái)看,涉及知識(shí)點(diǎn)豐富,有點(diǎn)的坐標(biāo)、切線的判定與性質(zhì)、特殊四邊形的判定與性質(zhì)、相似、勾股定理等核心知識(shí).

        從轉(zhuǎn)化策略來(lái)看,蘊(yùn)含多個(gè)基本圖形的構(gòu)造,如:添平行線構(gòu)造“8字形”“A字形”證三角形相似,連接圓心與切點(diǎn),將點(diǎn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為垂線段的長(zhǎng)度,見直角構(gòu)造“一線三垂直”.將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題(方程),通過(guò)邏輯推理與數(shù)學(xué)計(jì)算進(jìn)行解答.

        2.2 突出能力與基本素養(yǎng)

        求點(diǎn)的坐標(biāo)的實(shí)質(zhì)是求出線段長(zhǎng),求線段長(zhǎng)是初中幾何最為常見的一種題型,同時(shí)也是高中生必備的解題基本功之一.其解題思路是:(1)將待求線段放到全等圖形中,運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)求出線段長(zhǎng);(2)將待求線段放在特殊圖形(如平行四邊形、直角三角形)中,并運(yùn)用這些圖形的特殊性質(zhì)進(jìn)行推理或運(yùn)用線段和差進(jìn)行綜合分析求解;(3)將待求線段放在相似三角形中,運(yùn)用題目條件或構(gòu)造“8字形”“A字形”或其他基本結(jié)構(gòu),運(yùn)用相似性質(zhì)推理;(4)其他的還有勾股定理,銳角三角函數(shù),平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱等幾何變換等.

        本題求線段長(zhǎng)的方法靈活多變,既考查學(xué)生的基本數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)技能及數(shù)學(xué)基本經(jīng)驗(yàn),又考查學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解.同時(shí)本題需添加輔助線才能解決,對(duì)模型意識(shí)、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、圖形直觀、圖形分析等考查到位.

        2.3 方法多樣,考查探究意識(shí)

        數(shù)學(xué)教學(xué)的核心是如何培養(yǎng)學(xué)生的理性思考能力,盲目的堆砌式解題方法,不僅不會(huì)促進(jìn)學(xué)生思維能力的發(fā)展、技能的形成,相反會(huì)使學(xué)生厭惡數(shù)學(xué).如何激發(fā)學(xué)生的理性思維?一題多解無(wú)疑是一種有效的方法.對(duì)于本題,可以從內(nèi)部知識(shí)的關(guān)聯(lián)性,以“在哪里?那里有什么?要到哪里去”為思考問題的路徑,發(fā)散思維,多聯(lián)系、多角度深入思考,便可以得到不同的解法,從而有效發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新精神與探究意識(shí),更重要的是讓學(xué)生的理性思維得以拓展,不受慣性思維模式的束縛,培養(yǎng)思維品質(zhì)和應(yīng)變能力.

        3 題意分析及解答

        在解答之前應(yīng)該意識(shí)到,點(diǎn)A的坐標(biāo)(8,5)及30°角是我們要牢牢把握和突破的思維核心.一般來(lái)說(shuō)見30°角想到含30°角的直角三角形,因此,只需連接圓心與切點(diǎn)就可以辦到.所以連接圓心與兩個(gè)切點(diǎn)(設(shè)圓與x軸相切的切點(diǎn)為點(diǎn)C),由切線的性質(zhì)得OC=8,BA=CA=5.但PB是斜線段,無(wú)法與坐標(biāo)有效聯(lián)系起來(lái).因此還要分析題目中的其他隱含信息,作出其他輔助線.

        思路一:構(gòu)造特殊四邊形.

        分析:點(diǎn)A坐標(biāo)為(8,5),在圖2中已經(jīng)用水平線段或豎直的垂線段表示出來(lái).在Rt△PAB中,∠APB=30°,BA=5,則PA=10.如果不作輔助線,解題思路受阻.因此,下一步的解題重點(diǎn)是如何作出輔助線,有效運(yùn)用已知條件.

        圖2

        此時(shí),我們可以將解題目標(biāo)轉(zhuǎn)向題目所求:“求點(diǎn)P的坐標(biāo)”,要求出點(diǎn)P的坐標(biāo),必須出現(xiàn)水平線段或豎直的垂線段.實(shí)現(xiàn)解題目標(biāo)有下列三種方法:

        (1)過(guò)點(diǎn)P和點(diǎn)A作水平線及垂線,構(gòu)造矩形,利用矩形性質(zhì)及勾股定理;

        (2)過(guò)點(diǎn)A作y軸的垂線,構(gòu)造矩形,利用矩形性質(zhì)及勾股定理;

        (3)過(guò)點(diǎn)C作PA的平行線,證明平行四邊形和直角三角形.

        方法一:以P為直角頂點(diǎn)構(gòu)造長(zhǎng)方形.

        解:連接CA并延長(zhǎng),過(guò)點(diǎn)P作PH⊥CA,交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,如圖3所示,則四邊形PHCO為長(zhǎng)方形.

        圖3

        由切線的性質(zhì)得∠PBA=90°,而∠APB=30°,所以在Rt△APB中,PA=2AB=10.

        又矩形PHCO的邊CO=8,所以PH=8.

        Rt△PAH中,由勾股定理得

        因此PO=HC=HA+AC=6+5=11.

        故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,11).

        方法二:以A為直角頂點(diǎn)構(gòu)造長(zhǎng)方形.

        解:連接CA,BA,過(guò)點(diǎn)A作AH⊥PO,垂足為H,如圖4所示.

        圖4

        由三個(gè)直角知四邊形HACO為長(zhǎng)方形.

        由點(diǎn)A坐標(biāo)為(8,5),所以AH=8.

        由切線的性質(zhì)得∠PBA=90°,而∠APB=30°,所以在Rt△APB中,

        PA=2AB=10.

        所以PO=PH+HO=6+5=11.

        故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,11).

        方法三:構(gòu)造平行四邊形.

        解:連接CA,BA,過(guò)點(diǎn)C作PA的平行線CN,交PO于點(diǎn)N,如圖5所示.

        圖5

        由AP∥CN,PN∥AC,得四邊形PNCA為平行四邊形.

        所以PN=AC=5,NC=PA=10.

        所以PO=PN+NO=5+6=11.

        故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,11).

        點(diǎn)評(píng):在平面直角坐標(biāo)系中求點(diǎn)的坐標(biāo),一般的解題策略是作坐標(biāo)軸的平行線,出現(xiàn)水平線段或豎直的垂線段,將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何推理.而特殊四邊形的內(nèi)涵豐富,性質(zhì)繁多,可以有效實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo).

        思路二:構(gòu)造“ 一線三垂直”相似.

        分析:題目的原圖與課本的“切線長(zhǎng)定理”有一定關(guān)聯(lián).原圖已經(jīng)有一條切線,可以過(guò)點(diǎn)P作圓的另一條切線,并利用平面直角坐標(biāo)系的垂直結(jié)構(gòu)構(gòu)造“一線三垂直”基本圖形,證明直角三角形相似.

        方法四:作切線,構(gòu)造“一線三垂直”相似.

        解:連接CA,BA,過(guò)點(diǎn)P作⊙O的切線PE,切點(diǎn)為E,連接AE,過(guò)點(diǎn)E作OC的平行線交PO于點(diǎn)G,交AC于點(diǎn)F.如圖6所示.

        圖6

        故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,11).

        分析:由前面分析知∠PBA=90°,結(jié)合所求的目標(biāo)是點(diǎn)的坐標(biāo),需出現(xiàn)直角或水平線,再類比“方法四”,可以以點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)構(gòu)造“一線三垂直” 基本圖形,證明直角三角形相似.

        方法五:作水平線,構(gòu)造“一線三垂直”相似.

        圖7

        在Rt△ABH中,由AH2+BH2=AB2,可得

        故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,11).

        點(diǎn)評(píng):聯(lián)系課本中的基本定理,基本圖形,結(jié)合已知條件中的切線,再結(jié)合題目所求,需出現(xiàn)水平線與垂線段,三者發(fā)力,并加以聯(lián)系,將數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為幾何基本模型,再運(yùn)用幾何圖形的性質(zhì),進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題.可以看出,不同知識(shí)的關(guān)聯(lián)性與相通性是將數(shù)學(xué)基本知識(shí)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)基本技能是數(shù)學(xué)解題的關(guān)鍵,也是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的體現(xiàn).

        思路三:構(gòu)造A字形相似.

        分析:由切線及坐標(biāo)軸知AC∥PO,延長(zhǎng)PA與x軸交于點(diǎn)M,則出現(xiàn)“A字形”,再運(yùn)用相似與一次函數(shù)的性質(zhì)或相似與勾股定理或相似與三角函數(shù)知識(shí)來(lái)解答.

        方法六:A字形+一次函數(shù).

        解:如圖8,連接AB,AC,延長(zhǎng)PA交x軸于點(diǎn)M.

        圖8

        設(shè)CM=4x,則AM=5x.

        令x=0,則y=11.

        所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,11).

        方法七:A字形+勾股定理.

        解:如圖8,連接AB,AC,延長(zhǎng)PA交x軸于點(diǎn)M.

        所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,11).

        方法八:A字形+三角函數(shù).

        解:如圖8,連接AB,AC,延長(zhǎng)PA交x軸于點(diǎn)M.

        點(diǎn)評(píng):平面直角坐標(biāo)系蘊(yùn)含有直角的天然條件,與坐標(biāo)結(jié)合,可以運(yùn)用函數(shù)圖象;與圓的切線結(jié)合,出現(xiàn)直角,會(huì)產(chǎn)生平行線,我們自然想到延長(zhǎng)PA,出現(xiàn)A字形,這也是最為經(jīng)典與常見的相似基本模型.方法六將相似與一次函數(shù)結(jié)合,解法超凡脫俗,富有靈氣;方法七將相似與勾股定理結(jié)合,解法經(jīng)典,中規(guī)中矩;方法八將相似與三角函數(shù)結(jié)合,解答簡(jiǎn)單,讓人回味.

        4 教學(xué)反思

        在平時(shí)教學(xué)中,不少教師選擇最優(yōu)解法,用最少的時(shí)間去講解作業(yè)或試卷中的試題,很少肯花時(shí)間讓學(xué)生思考,學(xué)生當(dāng)時(shí)聽后,覺得易懂,但遇到陌生的“生僻”的問題又找不到行之有效的解題方法,這樣循環(huán)往復(fù),教師就覺得學(xué)生“笨”,“怎么講過(guò)的還是不會(huì)做?”因此,在平時(shí)解題活動(dòng)中,教師要對(duì)典型題,包括選擇題、填空題進(jìn)行深度探究;要舍得花時(shí)間去思考分析,注重思考的過(guò)程、分析的途徑,比如,這些條件是如何與求解結(jié)論聯(lián)系起來(lái)的,是通過(guò)哪條線、哪個(gè)角進(jìn)行轉(zhuǎn)化的,為什么可以這樣作輔助線.解題后學(xué)生要進(jìn)行反思、總結(jié):當(dāng)時(shí)是如何想的?為什么老師這樣解答?這樣的解題方式對(duì)以后的解題有什么幫助?要進(jìn)行一題多解、一題多變、多解歸一等變式訓(xùn)練,注重積累解題經(jīng)驗(yàn).

        正如《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》強(qiáng)調(diào):“數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累是提高學(xué)生素養(yǎng)的重要標(biāo)志.”深刻探究就要讓學(xué)生經(jīng)歷操作、思考、推理、反思等過(guò)程,對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)加強(qiáng)領(lǐng)會(huì)與感悟,并積累分析和解決問題的基本經(jīng)驗(yàn),進(jìn)而把這些經(jīng)驗(yàn)遷移到后續(xù)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中去,不斷提高數(shù)學(xué)素養(yǎng).

        猜你喜歡
        過(guò)點(diǎn)勾股定理切線
        勾股定理緊握折疊的手
        用勾股定理解一類題
        應(yīng)用勾股定理的幾個(gè)層次
        圓錐曲線的切線方程及其推廣的結(jié)論
        《勾股定理》拓展精練
        切線在手,函數(shù)無(wú)憂
        一個(gè)圓錐曲線性質(zhì)的推廣
        過(guò)圓錐曲線上一點(diǎn)作切線的新方法
        數(shù)學(xué)(二)
        究竟幾點(diǎn)
        青青草免费在线视频导航| 日本又黄又爽gif动态图| 亚洲福利视频一区| 亚洲图片第二页| av在线不卡一区二区| 国产成人精品无码一区二区三区| 1区2区3区高清视频| 久久精品免视看国产明星 | 国产av一区麻豆精品久久| 亚洲成av人片女在线观看| 又粗又粗又黄又硬又深色的| 五月婷婷激情小说| 蜜桃av噜噜一区二区三区免费| 国产手机在线观看一区二区三区| 久久精品国产精品| 青草热久精品视频在线观看| 我和丰满老女人性销魂| 国产肥熟女免费一区二区| 亚洲日本va中文字幕| 久久国产亚洲高清观看5388| 亚洲av自偷自拍亚洲一区| 少妇激情av一区二区三区| 999久久久国产精品| 女同中的p是什么意思| 99久久精品人妻一区| 欧美最猛黑人xxxx黑人猛交 | 国产av一区二区三区丝袜 | 日韩a级精品一区二区| 国产真实偷乱视频| 欧美日韩一线| 亚洲天堂av黄色在线观看| 亚洲欧美日韩中文字幕一区二区三区| 亚洲熟妇无码av不卡在线播放| 东风日产系列全部车型| 岛国熟女精品一区二区三区| 国产真实偷乱视频| 国内精品久久久久国产盗摄| 日本黄色影院一区二区免费看| а天堂中文最新一区二区三区| 伊人色网站| 美女被躁到高潮嗷嗷免费观看|