王丹

【摘? 要】錯(cuò)題是初中生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識時(shí)用于反思自我、吸取經(jīng)驗(yàn)、總結(jié)規(guī)律的重要資源，合理運(yùn)用錯(cuò)題資源對學(xué)生數(shù)學(xué)知識綜合運(yùn)用能力的提升有積極影響。同時(shí)，教師也可以將錯(cuò)題資源作為教學(xué)的輔助資料，通過挖掘錯(cuò)題資源了解學(xué)生的思維品質(zhì)，與學(xué)生共同化除難題，以此提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效果。

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；錯(cuò)題資源；運(yùn)用策略

教師的教學(xué)質(zhì)量是教師自身教學(xué)水平、學(xué)生學(xué)習(xí)成效的直接體現(xiàn)，尤其是數(shù)學(xué)這一富有內(nèi)容抽象性、邏輯嚴(yán)密性的學(xué)科，教師的教學(xué)質(zhì)量很大程度上決定著學(xué)生的學(xué)習(xí)成效。為了讓學(xué)生真正掌握數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法，教師應(yīng)當(dāng)針對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主要環(huán)節(jié)，即解題這一部分，切實(shí)提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)品質(zhì)。將錯(cuò)題視為一種重要的教學(xué)資源，充分挖掘其價(jià)值，對學(xué)生進(jìn)行自我反思及總結(jié)、提升個(gè)人數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力均有重要影響。

一、錯(cuò)題資源運(yùn)用于初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要意義

目前，教師雖然已經(jīng)意識到錯(cuò)題資源在教學(xué)當(dāng)中的重要地位，但并未對錯(cuò)題資源的作用形成正確的認(rèn)識。一些教師普遍認(rèn)為，發(fā)現(xiàn)學(xué)生的錯(cuò)題并圍繞這一錯(cuò)題進(jìn)行反復(fù)訓(xùn)練，學(xué)生后續(xù)就能夠掌握這一道題目的正確解法，進(jìn)而提升學(xué)生的解題能力。然而，這樣的錯(cuò)題資源利用方式，往往只能讓學(xué)生正確解答既往解過的錯(cuò)題，一旦題型發(fā)生變化，學(xué)生就很容易再次陷入困難。即便一些教師能夠在學(xué)生對同一類型的某些題目產(chǎn)生困惑時(shí)編制更多題目開展訓(xùn)練，于學(xué)生出錯(cuò)后再次進(jìn)行錯(cuò)題整理及分類，但單純地總結(jié)既往的錯(cuò)題仍然是一種“治標(biāo)不治本”的方法，未能體現(xiàn)錯(cuò)題資源在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的價(jià)值。

實(shí)際上，錯(cuò)題資源本身的價(jià)值遠(yuǎn)大于此，具有價(jià)值的錯(cuò)題能直接反映學(xué)生思維品質(zhì)的不足之處，便于教師找到學(xué)生的思維盲點(diǎn)。若師生能夠協(xié)同深入挖掘錯(cuò)題資源的價(jià)值，教師則能夠通過錯(cuò)誤例題，發(fā)現(xiàn)學(xué)生在解決這一類數(shù)學(xué)題時(shí)存在的問題，從而將自身對錯(cuò)題資源的認(rèn)識提升一個(gè)層次，使學(xué)生由“學(xué)會解題”升級為“掌握解題思路”。在此過程中，教師能夠形成對個(gè)人教學(xué)水平的反思與總結(jié)，從而在后續(xù)數(shù)學(xué)教學(xué)活動中精準(zhǔn)把握教學(xué)的重點(diǎn)。學(xué)生同樣能夠了解個(gè)人學(xué)習(xí)的薄弱之處，防止屢次犯相同的錯(cuò)誤。學(xué)生通過標(biāo)注重難點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)形成深刻記憶，從而在后續(xù)每次遇到相似的題目時(shí)下意識地梳理自己的思路，進(jìn)而增強(qiáng)個(gè)人的錯(cuò)誤分析總結(jié)能力和邏輯思維能力。

二、錯(cuò)題資源在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用策略

（一）圍繞解題方法整理錯(cuò)題

大部分初中數(shù)學(xué)教師會讓學(xué)生采用錯(cuò)題本的方式，來整理自己的錯(cuò)誤答案以及正確的解題方式，然而，部分學(xué)生在整理錯(cuò)題期間，多秉持“錯(cuò)一題，記一題”的模式進(jìn)行整理，每次翻閱錯(cuò)題本時(shí)難以連續(xù)性地分析同一類題目錯(cuò)誤原因及正確解答方式，導(dǎo)致錯(cuò)題本的實(shí)用性降低。與上述錯(cuò)題整理模式相比，筆者相對更傾向于讓學(xué)生以解題方法為中心，圍繞自己此前因?yàn)椴皇煜つ骋粋€(gè)定理、某一種數(shù)據(jù)計(jì)算方法、某一種圖形特征而出錯(cuò)的題目進(jìn)行分類整理，使學(xué)生在每次翻閱錯(cuò)題本時(shí)均能夠根據(jù)失誤類型而非題目尋找相關(guān)的錯(cuò)題資源，然后通過自我反思與總結(jié)明確自己錯(cuò)誤的原因。下次在遇到同類型難題時(shí)，學(xué)生可基于這一思路進(jìn)行思考，避免因犯下同樣的錯(cuò)誤而導(dǎo)致解題進(jìn)度停滯不前。

針對一些因概念內(nèi)涵理解不清所致出錯(cuò)的題目，學(xué)生在記錄時(shí)應(yīng)當(dāng)重點(diǎn)標(biāo)記題目涉及的理論、概念。例如，一位學(xué)生在證明“一條線是某個(gè)角的角平分線”時(shí)，未能夠利用角平分線的性質(zhì)來解題，進(jìn)而在解題時(shí)遇到瓶頸，遲遲得不出答案。筆者讓這名學(xué)生將此前因不熟悉、未掌握這一概念而失誤的錯(cuò)題整理為一類，總結(jié)角平分線性質(zhì)在不同題目中的應(yīng)用方法，讓學(xué)生對這一概念的認(rèn)識由淺層理解轉(zhuǎn)為深層認(rèn)識，認(rèn)識到角平分線性質(zhì)不只應(yīng)用于平分線兩側(cè)角度大小判斷，角平分線還可以作為判定三角形是否全等的重要依據(jù)。此外，部分學(xué)生對概念、理論的掌握程度較高，對常見題型較熟悉，進(jìn)而在做題時(shí)第一反應(yīng)往往是運(yùn)用自身經(jīng)驗(yàn)來解題。例如，一名學(xué)生遇到這樣的例題：于地球儀赤道位置環(huán)繞一圈細(xì)繩，地球儀半徑每增加1米，細(xì)繩長度需增加a米，現(xiàn)假設(shè)地球的赤道處環(huán)繞著一圈細(xì)繩，地球半徑每增加1米，細(xì)繩長度需增加b米，比較a、b的大小。部分學(xué)生僅基于個(gè)人經(jīng)驗(yàn)來解題，認(rèn)為b>a，然而，根據(jù)圓的周長計(jì)算方法將數(shù)據(jù)套入公式后得出：a=2π（r+1）-2πr=2π，b=2π（R+1）-2πR=2π，a=b。由此可見，過于依賴經(jīng)驗(yàn)而忽視數(shù)據(jù)核算是這名學(xué)生失誤的主要原因。除了因概念模糊不清、過于依賴經(jīng)驗(yàn)來解題而致失誤，一部分學(xué)生還可能因數(shù)學(xué)知識綜合運(yùn)用能力不足而出錯(cuò)，或是審題不到位而用錯(cuò)方法。針對以上學(xué)生，教師應(yīng)當(dāng)指導(dǎo)其重點(diǎn)標(biāo)記失誤原因，盡量多做一些綜合應(yīng)用題，反復(fù)分析自己的解題思路，從而形成記憶，在下一次遇到復(fù)雜題目時(shí)能夠優(yōu)先應(yīng)用針對這一類題目的解題方法。如果像這樣根據(jù)解題方法分類整理錯(cuò)題并進(jìn)行總結(jié)，即便以后遇到的題目內(nèi)容發(fā)生變化，學(xué)生同樣能夠認(rèn)識到這一題目是圍繞某一種定理或規(guī)律來出的，從而迅速抓準(zhǔn)解題關(guān)鍵，厘清解題思路。

（二）回溯解題思路整理錯(cuò)題

明確題目的關(guān)鍵解題方法是利用錯(cuò)題資源的重要基礎(chǔ)，而回溯解題思路是挖掘錯(cuò)題資源價(jià)值的有效途徑。錯(cuò)題資源的價(jià)值需要深入分析和比較來發(fā)現(xiàn)，圍繞解題過程中的每一個(gè)步驟進(jìn)行分析，不僅有助于明確出錯(cuò)的具體環(huán)節(jié)，而且能夠協(xié)助學(xué)生通過回顧解題流程完善并形成一個(gè)完整的、富有條理的解題思路。錯(cuò)題資源的有效利用，便于學(xué)生針對自己目前的不足有針對性的查漏補(bǔ)缺，后續(xù)在遇到類似題目時(shí)能夠根據(jù)正確的思路一步步地進(jìn)行解答，防止因遺漏某個(gè)關(guān)鍵步驟而出錯(cuò)，即便是記錯(cuò)某條定理、公式內(nèi)容，也能夠盡量在后續(xù)核算期間及時(shí)發(fā)現(xiàn)邏輯不通的地方，從而在上交答案之前整改。

以一道三角形相關(guān)的問題為例：

如圖1所示，△ABC及△EFC均為等邊三角形，AB長度為4，AD是△ABC的高，點(diǎn)E在△ABC的高上運(yùn)動，且點(diǎn)E與線段DF相連接，點(diǎn)E在直線AD上運(yùn)動的過程中，線段DF最小值為（? ）。

解這道題的基本思路是根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得出∠FBC=30°，接著結(jié)合垂線段性質(zhì)，于圖1中線段DF與BF形成垂直關(guān)系時(shí)得出DF最小值，并結(jié)合∠FBC=30°以及直角三角形定理得出最終的答案。部分學(xué)生雖然能夠根據(jù)題目給出的信息結(jié)合等邊三角形性質(zhì)推出∠FBC=30°，但后續(xù)對線段DF最小距離進(jìn)行判斷時(shí)容易陷入瓶頸，難以聯(lián)系垂線段性質(zhì)進(jìn)行解答，究其原因，與部分學(xué)生思路欠缺系統(tǒng)性、連貫性、邏輯性有關(guān)。教師可針對解題思路不清晰、邏輯性不強(qiáng)這一點(diǎn)，指導(dǎo)學(xué)生回溯個(gè)人的解題思路，同時(shí)在課上說明正確的解題思路，指導(dǎo)學(xué)生對比個(gè)人思路與正確思路之間的差異，從而讓學(xué)生明確自己在運(yùn)用三角形性質(zhì)、垂線段性質(zhì)、數(shù)據(jù)計(jì)算、聯(lián)合應(yīng)用等方面存在的不足，針對不足進(jìn)行有針對性的強(qiáng)化訓(xùn)練。為了體現(xiàn)此類錯(cuò)題資源的價(jià)值，教師可讓學(xué)生在錯(cuò)題本上寫出自己的解題思路，例如，初次解題時(shí)，未能夠正確利用等邊三角形或垂線段的性質(zhì)，導(dǎo)致后續(xù)的數(shù)據(jù)都錯(cuò)了；再比如，因?yàn)椴皇煜と切晤}目的解題思路，而沒有想到垂線段性質(zhì)，對DF最小值判斷錯(cuò)誤。在梳理清楚解題思路的同時(shí)，寫下后續(xù)面對同一類型題目時(shí)的想法。通過回溯整個(gè)解題流程，學(xué)生能夠逐漸形成清晰、有條理的解題思路，把握題目中所蘊(yùn)含的關(guān)鍵信息和規(guī)律，從而了解問題的本質(zhì)。教師如果能夠長期以這樣的方式培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維、提升邏輯思考能力，那么對學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的提升有著不可小覷的影響力。

（三）小組合作討論解決錯(cuò)題

初中生日常學(xué)習(xí)期間經(jīng)常需要面對一些測驗(yàn)、考試，而學(xué)生做錯(cuò)題目會直接影響其測驗(yàn)、考試成績，部分學(xué)生怯于面對自己的分?jǐn)?shù)，選擇了掩飾自己的錯(cuò)誤，或是在課堂上不敢主動詢問教師如何正確地解答自己的錯(cuò)題。實(shí)際上，這樣的想法不僅沒有對學(xué)生的心理產(chǎn)生正面影響，還可能會導(dǎo)致學(xué)生無形中丟失了很多直面?zhèn)€人失誤、及時(shí)糾正錯(cuò)誤做法的機(jī)會，而這往往是一部分學(xué)生數(shù)學(xué)知識綜合運(yùn)用能力無法獲得提升的根本原因。由此可見，培養(yǎng)學(xué)生勇于直面錯(cuò)誤，不僅能夠使其面對難題、錯(cuò)題時(shí)保持積極且平穩(wěn)的心態(tài)，還有利于增強(qiáng)學(xué)生挑戰(zhàn)自我的意識，將錯(cuò)題視為個(gè)人成長的“墊腳石”，學(xué)會在錯(cuò)題中總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，了解自己做得好、做得還不夠好的部分，對自己的能力形成清晰的認(rèn)知，從而更有針對性地彌補(bǔ)自己的不足。

相比因不熟悉定理、記錯(cuò)公式而導(dǎo)致的失誤，運(yùn)算上的錯(cuò)誤較為隱蔽，且不同的學(xué)生在運(yùn)算期間可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤方式千差萬別?，F(xiàn)以與有理數(shù)運(yùn)算相關(guān)的一道題目為例：-22÷（-2）2+2×（-2）3。這道題不僅考驗(yàn)了學(xué)生對平方數(shù)知識點(diǎn)的掌握程度，而且對學(xué)生四則運(yùn)算法則的運(yùn)用水平有一定要求。筆者總結(jié)學(xué)生做題錯(cuò)誤的原因后發(fā)現(xiàn)，一些學(xué)生錯(cuò)將-22÷（-2）2直接化簡為1，并未考慮到整體的運(yùn)算順序，一步錯(cuò)，步步錯(cuò)，最后得出的結(jié)果與正確答案嚴(yán)重偏離。另有一些學(xué)生在計(jì)算-22時(shí)未意識到這一個(gè)數(shù)不帶小括號，誤算成4；一些學(xué)生雖然能夠算對-22÷（-2）2的結(jié)果，但計(jì)算整個(gè)算式結(jié)果時(shí)沒有注意到前面帶有負(fù)號，誤將其作為正數(shù)計(jì)算。以上錯(cuò)誤的出現(xiàn)，一部分是因?yàn)橐恍W(xué)生忘記了運(yùn)算法則，剩下很大一部分是因?yàn)轵?yàn)算時(shí)過于粗心，忽視了小括號、負(fù)號的存在。由此可見，每個(gè)學(xué)生的解題思路及方式都有所不同，失誤類型也存在一定差異。如果單憑教師在課上逐個(gè)分析失誤原因，則會嚴(yán)重拖慢教學(xué)進(jìn)度，而單獨(dú)講解一些常見的錯(cuò)誤類型很可能導(dǎo)致部分學(xué)生不知如何避免自己的失誤。為了避免上述情況的發(fā)生，教師可引導(dǎo)學(xué)生分小組開展討論，各自講述自己的解題思路，或是根據(jù)自己的失誤原因提醒其他學(xué)生注意檢查算式的合理性。為了明確易錯(cuò)點(diǎn)，每個(gè)人可逐個(gè)核對解題步驟，在出現(xiàn)分歧時(shí)依次核對每一種解題方式是否符合運(yùn)算法則，并在教師提供正確答案后進(jìn)行核對。如此一來，不僅為每個(gè)學(xué)生提供了直面錯(cuò)誤的機(jī)會，還能夠讓學(xué)生逐項(xiàng)拆解解題步驟，在同學(xué)及老師的幫助下理清思路。

做數(shù)學(xué)題時(shí)出現(xiàn)的錯(cuò)誤是學(xué)生自己犯的，這意味著錯(cuò)題可直接體現(xiàn)學(xué)生思維品質(zhì)的不足。教師應(yīng)站在學(xué)生的角度，引導(dǎo)其通過回溯解題思路、找準(zhǔn)解題關(guān)鍵點(diǎn)來利用錯(cuò)題資源，讓學(xué)生清晰地知道自己“錯(cuò)在哪里”，并通過集體討論、與教師交流明白什么才是正確的解法，從而掌握解題的精髓，實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)能力與思考能力的提升。

【參考文獻(xiàn)】

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