程彥

［摘 要］學(xué)生在學(xué)習(xí)“體積”之前已經(jīng)有判斷物體大小的直覺(jué)和經(jīng)驗(yàn)。文章結(jié)合“體積和體積單位”的課例開(kāi)展實(shí)踐研究，利用學(xué)生的認(rèn)知體驗(yàn)，從物體體積所具有的特征入手，力求觸及數(shù)學(xué)的本質(zhì)，以增進(jìn)學(xué)生對(duì)體積意義的理解，發(fā)展學(xué)生的空間觀念。

［關(guān)鍵詞］體積；體積單位；空間觀念

［中圖分類號(hào)］ G623.5 ［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］ A ［文章編號(hào)］ 1007-9068（2022）23-0023-03

在故事《孔融讓梨》中，孔融把大的梨留給了他的兄弟姐妹，自己則選擇了一個(gè)最小的梨；小孩子在分蛋糕的時(shí)候，知道哪塊大、哪塊小；學(xué)生知道自己在教室里占據(jù)了一定的空間，而且自己占的空間比一個(gè)鉛筆盒占的空間要大……對(duì)于體積，學(xué)生有自己的原始感知；從數(shù)學(xué)的角度來(lái)解讀，學(xué)生有判斷物體大小的直覺(jué)和經(jīng)驗(yàn)。對(duì)此，在“體積和體積單位”教學(xué)中，教師要利用好學(xué)生的已有認(rèn)知和經(jīng)驗(yàn)，教學(xué)時(shí)深入體積的本質(zhì)，促進(jìn)學(xué)生深度理解體積的意義，以此豐富學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累，增強(qiáng)學(xué)生的空間觀念。

一、凸顯度量本質(zhì)，建立幾何量感

學(xué)生對(duì)物體的大小、多少、粗細(xì)、長(zhǎng)短、厚薄、輕重、軟硬等有一定的感性認(rèn)識(shí)。因此，幫助學(xué)生準(zhǔn)確建立度量單位的表象是形、體知識(shí)塊教學(xué)的重點(diǎn)和關(guān)鍵。以下是兩位教師對(duì)同一內(nèi)容的同課異構(gòu)的教學(xué)片段。

【A教師】

師：在學(xué)習(xí)面積時(shí)，有面積單位來(lái)描述物體面積的大小。同樣，體積也有統(tǒng)一的單位，即立方厘米、立方分米和立方米。什么是1 立方厘米、1 立方分米和1 立方米呢？請(qǐng)仔細(xì)閱讀課本，找出它們的定義。

生1：棱長(zhǎng)為1 厘米的正方體的體積是1 立方厘米。棱長(zhǎng)為1 分米的正方體的體積是1 立方分米。棱長(zhǎng)為1米的正方體的體積是1 立方米。

師：現(xiàn)在我們一起來(lái)認(rèn)識(shí)1 立方厘米。請(qǐng)按照任務(wù)單（如圖1）上的提示獨(dú)立完成。

[（1）在學(xué)具中找出1立方厘米的立方體，拿出來(lái)摸一摸、看一看、量一量，說(shuō)一說(shuō)感受。

（2）提問(wèn)：體積是1立方厘米的正方體， 棱長(zhǎng)是多少？

（3） 用橡皮泥捏1立方厘米的正方體，找一找生活中接近1立方厘米的物體，和1立方厘米的正方體比一比。

【B教師】

師（運(yùn)用信息化技術(shù)手段：先呈現(xiàn)一個(gè)點(diǎn)，將其拉伸成一條長(zhǎng)為1厘米的線段；再將線段平移，“掃出”一個(gè)面積為1平方厘米的面；接著展示面變成體的過(guò)程）：請(qǐng)說(shuō)說(shuō)看了這段視頻后的想法。

生1：我發(fā)現(xiàn)，正方形變成了正方體。

生2：測(cè)量長(zhǎng)度用1厘米長(zhǎng)的線段，測(cè)量面積用邊長(zhǎng)為1厘米的正方形。那我們可以用邊長(zhǎng)（應(yīng)是“棱長(zhǎng)”）為1厘米的正方體來(lái)計(jì)量物體的體積，這個(gè)物體包含了幾個(gè)邊長(zhǎng)（應(yīng)是“棱長(zhǎng)”）為1厘米的正方體，體積就是多少。

師：這位同學(xué)能夠?qū)W以致用，非常棒！事實(shí)上，無(wú)論是1厘米、1平方厘米和1立方厘米，我們都可以把它們當(dāng)作一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)來(lái)進(jìn)行度量。下面就親自動(dòng)手感受1立方厘米究竟有多大。

師：先找出1立方厘米的模型，用手摸一摸，閉眼感受，邊比畫邊說(shuō)出1立方厘米的大?。辉倮檬种袦?zhǔn)備的橡皮泥，對(duì)照標(biāo)準(zhǔn)量捏出自己心中的1立方厘米。

生3：我用橡皮泥捏了一個(gè)1立方厘米的正方體，將它與原來(lái)的模型進(jìn)行了對(duì)比，發(fā)現(xiàn)它們是一樣大的。

生4：我也用橡皮泥捏了一個(gè)1立方厘米的正方體，用尺子量出這個(gè)正方體的棱長(zhǎng)是1厘米。

……

師：剛才有個(gè)同學(xué)用橡皮泥捏了一個(gè)1立方厘米的正方體，但是不小心弄變形了。

師（出示已經(jīng)變形的正方體）：想一想，這個(gè)變形的物體的體積是多少？

生5：應(yīng)該還是1立方厘米。

師：我把剛才這位同學(xué)不小心弄壞的這團(tuán)橡皮泥搓一搓，看——變成了一個(gè)球！這個(gè)球的體積是多少呢？

生6：這個(gè)球的體積還是1立方厘米，因?yàn)檫@團(tuán)橡皮泥的大小沒(méi)有發(fā)生變化，只是形狀改變了。

“體積和體積單位”屬于圖形與幾何領(lǐng)域，這類知識(shí)的學(xué)習(xí)，需要學(xué)生具有較強(qiáng)的空間想象力與抽象能力。其實(shí)，無(wú)論是長(zhǎng)度、面積或是體積，都需由一個(gè)“標(biāo)準(zhǔn)”來(lái)度量。對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，這種“標(biāo)準(zhǔn)”的建立和度量需要經(jīng)驗(yàn)的積累，需要一個(gè)學(xué)習(xí)的過(guò)程。由一個(gè)點(diǎn)形成一條線段，然后到一個(gè)面，接著形成一個(gè)立體圖形；或是將一個(gè)立體圖形分解，讓學(xué)生看到這個(gè)立體圖形由幾個(gè)面組成……學(xué)生在這個(gè)過(guò)程中就會(huì)感受到體、面、線、點(diǎn)之間的關(guān)聯(lián)。雖然學(xué)生對(duì)圖形的認(rèn)識(shí)和建構(gòu)并不一定依據(jù)點(diǎn)、線、面、體或是體、面、線、點(diǎn)的變化過(guò)程，但有必要讓學(xué)生在真實(shí)情境中經(jīng)歷度量的發(fā)生和發(fā)展過(guò)程：基于已有量感—喚醒量感—積累量感—提升量感—運(yùn)用量感。學(xué)生在這個(gè)過(guò)程中能認(rèn)識(shí)到：計(jì)量圖形大小的過(guò)程就是用統(tǒng)一的“標(biāo)準(zhǔn)”去度量的過(guò)程。

以上課堂教學(xué)中，A教師緊緊控制著教學(xué)流程，學(xué)生亦步亦趨，課堂扎實(shí)但效果欠佳。B教師讓學(xué)生通過(guò)操作建立不同體積單位的表象：在建立立方厘米表象時(shí)，準(zhǔn)備了數(shù)個(gè)1立方厘米的小正方體；讓學(xué)生用橡皮泥捏1立方厘米的正方體，感知1立方厘米的大小；請(qǐng)學(xué)生將用橡皮泥捏成的1立方厘米的正方體和手中的學(xué)具比較；把已經(jīng)捏成的1立方厘米的橡皮泥改造成其他物體。學(xué)生在思考和比較中發(fā)現(xiàn)：這些物體雖然形狀不同，但體積都是1立方厘米。反過(guò)來(lái)，體積為1立方厘米的物體和形狀、材質(zhì)無(wú)關(guān)。學(xué)生初步感知體積的“守恒性”，在層層遞進(jìn)的過(guò)程中有操作更有思考，有交流更有創(chuàng)造，有效地建立和完善了1立方厘米的表象。

另外，B教師將信息技術(shù)與教學(xué)初步融合，在體積大小比較的活動(dòng)中，突破了“教師運(yùn)用課件演示，學(xué)生被動(dòng)觀察”的傳統(tǒng)課堂教學(xué)瓶頸，讓學(xué)生在自己的iPad（平板電腦）上任意調(diào)整模塊的大小、位置、方向，直觀感知一個(gè)物體所占空間的大小以及一個(gè)物體中包含了多少個(gè)單位體積。在任務(wù)單和真實(shí)問(wèn)題的驅(qū)動(dòng)下，學(xué)生經(jīng)歷了觀察、動(dòng)手、感受、度量等多元的數(shù)學(xué)活動(dòng)。這些數(shù)學(xué)活動(dòng)將抽象的數(shù)學(xué)概念直觀化，不僅促進(jìn)學(xué)生建立體積和體積單位的表象、理解體積的概念，更是凸顯了度量的本質(zhì)，對(duì)學(xué)生空間觀念的培養(yǎng)大有裨益。

二、借助有效操作，發(fā)展空間觀念

在教學(xué)“立方厘米”后，可根據(jù)學(xué)生已有的“面積和面積單位”的經(jīng)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)類比創(chuàng)造體積單位。

【A教師】

師：老師為大家準(zhǔn)備了一個(gè)1立方米的正方體紙箱，現(xiàn)在請(qǐng)一些同學(xué)摸一摸這個(gè)箱子，觀察后可以鉆進(jìn)箱子里感受一下。

【B教師】

師：我們已經(jīng)認(rèn)識(shí)了1立方分米，現(xiàn)在來(lái)研究1 立方米。你們還能像剛才那樣輕松比畫出1立方米的大小嗎？請(qǐng)先在小組內(nèi)討論。

組1：我們可以先根據(jù)“棱長(zhǎng)為1 米的正方體的體積是1立方米”去想象1 立方米的大小，再說(shuō)一說(shuō)1 立方米的大小，最后找一找生活中體積為1 立方米的物體。

師：為什么你們要想象1 立方米的大??？

組1：因?yàn)槲覀冇X(jué)得1 立方米的物體太大了，找不到1 立方米的學(xué)具。

組2：在教室的角落里，我們小組的3位同學(xué)每人貢獻(xiàn)一條胳膊，再借助兩面墻就搭了1 立方米大小的空間。

師：為什么你們只用了3條胳膊？

組2：我們用3 條胳膊分別代表正方體的長(zhǎng)、寬和高。如果有3根1米的小棒也可以。

師：同學(xué)們的想法都非常有價(jià)值！我事先準(zhǔn)備了3條吊有重物的繩子代替3條棱，請(qǐng)3位同學(xué)借助墻壁搭建一個(gè)1立方米的空間。其他同學(xué)請(qǐng)閉上眼睛，想象一個(gè)棱長(zhǎng)是1 米的正方體，然后睜開(kāi)眼睛看這個(gè)1 立方米的空間，判斷是否和你想象的一樣大，再鉆進(jìn)去感受一下。

關(guān)于立方米表象的建立，兩位教師的設(shè)計(jì)各有千秋。A教師提供一個(gè)1立方米的正方體紙箱，讓學(xué)生摸一摸它，再鉆進(jìn)去感受，學(xué)生發(fā)現(xiàn)1立方米比自己想象中的要大得多；B教師用了3條吊有重物的繩子代替3條棱，借助墻壁搭建了1立方米的空間，并請(qǐng)學(xué)生鉆進(jìn)去感受它的大小。可見(jiàn)，教師適時(shí)對(duì)度量單位進(jìn)行梳理和比較，就能幫助學(xué)生構(gòu)建從一維到二維，再到三維的完整的基本度量單位體系，從而幫助學(xué)生建立清晰且具有實(shí)際意義的直觀表象。

三、關(guān)注持久理解，促進(jìn)深度學(xué)習(xí)

對(duì)于三個(gè)體積單位的定義，學(xué)生通過(guò)類比、遷移后很容易從字面上理解，但是這三個(gè)體積單位的實(shí)際大小以及在生活中的應(yīng)用對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)卻很難掌握，把學(xué)習(xí)目標(biāo)聚焦于學(xué)生最需要理解的內(nèi)容對(duì)概念教學(xué)來(lái)說(shuō)意義重大。因此，數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)要從核心概念、數(shù)學(xué)本質(zhì)、數(shù)學(xué)方法以及學(xué)生理解概念的障礙點(diǎn)這四個(gè)角度出發(fā)，貫穿學(xué)習(xí)的全過(guò)程。

由于數(shù)學(xué)知識(shí)認(rèn)知過(guò)程的復(fù)雜性，部分學(xué)生洞察到問(wèn)題的實(shí)質(zhì)后往往不能很好地解釋或證明，有些時(shí)候?qū)W生會(huì)用公式求解，但有可能只是套用和遷移，并不代表真正理解，而且如果學(xué)生還只是停留在套用公式階段，并不利于知識(shí)的真正形成以及核心素養(yǎng)的提升。概念理解是學(xué)生對(duì)所學(xué)概念不斷加深認(rèn)識(shí)、逐步完善其聯(lián)系、抽象概括本質(zhì)屬性的過(guò)程。例如按照以往的學(xué)習(xí)方式，對(duì)“體積和體積單位”的學(xué)習(xí)往往從背誦概念開(kāi)始：物體所占空間的大小叫作物體的體積；常用的體積單位有立方米、立方分米、立方厘米……這樣的學(xué)習(xí)最多也只能達(dá)到初步理解的水平。

上述教學(xué)片段中，通過(guò)創(chuàng)建理解概念的活動(dòng)和開(kāi)放的思維空間，學(xué)生就能真切地感受到這三個(gè)體積單位的實(shí)際大小，通過(guò)動(dòng)手操作、觀察評(píng)述，開(kāi)始關(guān)注“體積和體積單位”的本質(zhì)屬性，學(xué)生原有的知識(shí)“生長(zhǎng)點(diǎn)”不斷生長(zhǎng)出知識(shí)的“延伸點(diǎn)”。要達(dá)到真正的深度學(xué)習(xí)，就要經(jīng)歷創(chuàng)造的過(guò)程，尤其是單元結(jié)構(gòu)化的過(guò)程，單元設(shè)計(jì)是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行全局式學(xué)習(xí)和思考的基礎(chǔ)，教師必須要重視單元教學(xué)設(shè)計(jì)。

首先，要基于學(xué)情?！绑w積和體積單位”所在的單元處于五年級(jí)下冊(cè)“長(zhǎng)方體和正方體”單元。橫向觀察，本單元分三小節(jié)編排：長(zhǎng)方體和正方體的認(rèn)識(shí)，長(zhǎng)方體和正方體的表面積，長(zhǎng)方體和正方體的體積?？v向?qū)Ρ?，學(xué)生在低年級(jí)已經(jīng)初步認(rèn)識(shí)了一些簡(jiǎn)單的立體圖形，本單元就是在此基礎(chǔ)上系統(tǒng)介紹長(zhǎng)方體和正方體的有關(guān)知識(shí)，使學(xué)生形成初步的空間觀念，這也是學(xué)生學(xué)習(xí)其他立體圖形的基礎(chǔ)。另外，長(zhǎng)方體和正方體的體積的計(jì)算是學(xué)生理解體積概念、掌握體積的計(jì)量單位和計(jì)算各種幾何體的體積的基礎(chǔ)。因此，教師在教學(xué)“體積和體積單位”之前就要確立本單元的單元問(wèn)題、基本問(wèn)題、引導(dǎo)性問(wèn)題和綜合性操作任務(wù)，做好單元教學(xué)設(shè)計(jì)、課時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì)和評(píng)價(jià)形式設(shè)計(jì)。

其次，要基于課堂。課堂上的操作、交流、展示等活動(dòng)都能引導(dǎo)學(xué)生將已有經(jīng)驗(yàn)和新知學(xué)習(xí)建立聯(lián)系，這是能讓學(xué)生持久理解和深度學(xué)習(xí)的關(guān)鍵。體積單位是由長(zhǎng)度單位、面積單位推導(dǎo)出來(lái)的，教師如果能在課堂上引導(dǎo)學(xué)生建立長(zhǎng)度、面積和體積單位之間的聯(lián)系，那么，學(xué)生在多維參與的過(guò)程中，形成的體積單位的表象會(huì)更加清晰。學(xué)生在“捏”1立方厘米、“鉆”1立方米的過(guò)程中，真切感受到體積單位的實(shí)際大小，建立了正確的體積觀念。特別是在體驗(yàn)1立方米的大小時(shí)，兩位教師出示了棱長(zhǎng)為1米的“正方體”，讓學(xué)生親身體驗(yàn)這個(gè)“正方體”的大小，在激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的同時(shí)，調(diào)動(dòng)了學(xué)生的多感官參與，使其空間觀念得到進(jìn)一步發(fā)展，持久理解能力得以逐步增強(qiáng)。

作為一線數(shù)學(xué)教師，不但要結(jié)合學(xué)科以及學(xué)段的特點(diǎn)，借助強(qiáng)大的信息技術(shù)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行有效的觀察與操作，還要通過(guò)建立正確的表象，引導(dǎo)學(xué)生合理想象，提高學(xué)生的空間觀念，幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，從而促進(jìn)學(xué)生思維能力的提升。

[本文系廣州市教育科學(xué)規(guī)劃課題“小學(xué)數(shù)學(xué)課堂混合式教學(xué)范式研究”（202012597 ）的研究成果。]

［ 參 考 文 獻(xiàn) ］

[1] 柯向榮.將抽象的數(shù)學(xué)概念變?yōu)榭吹靡?jiàn)的數(shù)學(xué)事實(shí)：《體積和體積單位》教學(xué) ［J］.小學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)，2011（8）：25-26.

[2] 林庚祿.因“材”適教，方能因“材”施教：以“體積單位”教學(xué)為例談起[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)（小學(xué)版），2020（11）：44-45.