江蘇省蘇州市吳江經(jīng)濟(jì)技術(shù)開發(fā)區(qū)長(zhǎng)安實(shí)驗(yàn)小學(xué) 邱美芳

數(shù)學(xué)教育家鄭毓信教授說(shuō)：“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的基本涵義就在于：我們應(yīng)當(dāng)通過(guò)數(shù)學(xué)教學(xué)幫助學(xué)生學(xué)會(huì)思維，并能逐步學(xué)會(huì)想得更清晰、更深入、更全面、更合理?！痹跀?shù)學(xué)教學(xué)中，我們不僅要教學(xué)生書本知識(shí)，更要注重學(xué)生學(xué)習(xí)方法、核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。通過(guò)對(duì)數(shù)的特性的感悟，增強(qiáng)學(xué)生抽象出數(shù)量關(guān)系的能力，培養(yǎng)小學(xué)低年級(jí)學(xué)生的抽象素養(yǎng)。

一、對(duì)比策略：培養(yǎng)學(xué)生初步感知數(shù)的特性

對(duì)比，就是把具有差異、矛盾和對(duì)立的雙方安排在一起，進(jìn)行對(duì)照和比較。對(duì)比在數(shù)學(xué)教學(xué)中發(fā)揮著不可估量的作用，能讓學(xué)生更好地發(fā)現(xiàn)知識(shí)的本質(zhì)特征，學(xué)會(huì)對(duì)比對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的抽象素養(yǎng)作用很大。

（一）從新舊對(duì)比到搭建聯(lián)系，建立直觀表象

數(shù)學(xué)教師在課堂教學(xué)中應(yīng)抓住數(shù)學(xué)核心概念，選取學(xué)生熟悉的典型實(shí)例，讓學(xué)生經(jīng)歷完整的數(shù)學(xué)抽象過(guò)程，在概念形成的學(xué)習(xí)中學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)抽象，熟悉其“基本框架”。從舊知的導(dǎo)入到新知的搭建，讓學(xué)生在對(duì)比聯(lián)系的過(guò)程中建立直觀表象。

在教授《認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)》時(shí)，我先復(fù)習(xí)上冊(cè)的把一個(gè)物體或圖形平均分如何用分?jǐn)?shù)表示。再出示一個(gè)盤子，里面有幾個(gè)桃子，平均分給2只小猴，每只小猴分得這盤桃的幾分之幾？根據(jù)已有的知識(shí)，進(jìn)行知識(shí)間的聯(lián)系和遷移，學(xué)生馬上能回答出來(lái)，每只小猴吃這盤桃的1/2。在新舊知識(shí)間聯(lián)系的同時(shí)，還要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行比較，今天所學(xué)的知識(shí)和之前的有什么相同和不同之處?，F(xiàn)在是一盤桃，所以可以把一盤桃看做一個(gè)整體，把一個(gè)整體平均分成幾分，每份是它的幾分之一。在生活中，我們平均分的對(duì)象可能是1個(gè)物體或圖形，也可能是一些物體，所以學(xué)習(xí)今天的知識(shí)很有必要。在進(jìn)行知識(shí)間遷移的過(guò)程中產(chǎn)生對(duì)比的意識(shí)，對(duì)新知產(chǎn)生需求意識(shí)，才能讓學(xué)生更好地理解知識(shí)本身。

喚醒學(xué)生的舊知，出示未知個(gè)數(shù)的桃子，避免桃子個(gè)數(shù)對(duì)學(xué)生產(chǎn)生干擾，讓學(xué)生把一些物體看作一個(gè)整體，進(jìn)行新舊知識(shí)間的聯(lián)結(jié)，再進(jìn)行對(duì)比引導(dǎo)，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到今天所學(xué)的知識(shí)與之前的不同之處，更好地建立分?jǐn)?shù)的直觀表象。

（二）從表象到抽象的對(duì)比，感悟數(shù)的特性

通過(guò)從表象到抽象，排除外部世界與數(shù)學(xué)本質(zhì)無(wú)關(guān)的東西，把與數(shù)學(xué)有關(guān)的東西抽象到數(shù)學(xué)內(nèi)容，形成數(shù)學(xué)研究的對(duì)象。讓學(xué)生從形式開始，引導(dǎo)學(xué)生從形式關(guān)注到抽象的內(nèi)容，從而來(lái)感悟數(shù)的特性。

我們可以把一盤桃子看作一個(gè)整體，把這盤桃圈起來(lái)，還可以把什么看作一個(gè)整體呢？學(xué)生紛紛發(fā)言，糖、餅干、橘子、香蕉等，都可以看作一個(gè)整體進(jìn)行平均分。隨著學(xué)生的回答，替換圈中的物體。我追問(wèn)：“那5個(gè)圓形可以嗎？”生遲鈍了一會(huì)說(shuō)行的?！澳?個(gè)數(shù)字或字母呢？”我接著問(wèn)。我把圈中的物體去掉，留下一個(gè)圈，學(xué)生思考，在我的引導(dǎo)下，學(xué)生們?cè)秸f(shuō)越多。這一盤未知個(gè)數(shù)的桃子也可以是其他物體，可以是桃子、蘋果、糖果、餅干，也可以是圖形或數(shù)等。讓學(xué)生從具體的物體、圖形等表象的東西到只留下一個(gè)圈，讓學(xué)生把具體的物體或圖形抽象出來(lái)，摒棄一些外在的特點(diǎn)和不同，抽出相同的特點(diǎn)。都是把這些物體看作一個(gè)整體，平均分給2只小猴，都要平均分成兩份，那么每只小猴都分得這盤桃的1/2。

一盤桃子、一包糖只是表象，是生活中的具體事物，只有把它抽象出來(lái)，變成數(shù)學(xué)本質(zhì)的東西，才能讓學(xué)生理解分?jǐn)?shù)的真正意義。引導(dǎo)學(xué)生從形式關(guān)注到抽象的內(nèi)容，才能有效地感悟數(shù)的特性。

二、體驗(yàn)策略：培養(yǎng)學(xué)生深度理解數(shù)的特性

數(shù)感的培養(yǎng)離不開學(xué)生的參與和體驗(yàn)，在體驗(yàn)中抽取其共同的數(shù)學(xué)本質(zhì)屬性或特征，并借助定義和推理進(jìn)行邏輯建構(gòu)。體驗(yàn)是動(dòng)態(tài)的、綜合的學(xué)習(xí)過(guò)程，它能調(diào)動(dòng)學(xué)生的感知、記憶、想象、思維等功能進(jìn)入學(xué)習(xí)的最佳狀態(tài)，正如蘇霍姆林斯基所說(shuō)的“兒童的智慧在他的手指尖上”。

（一）在體驗(yàn)中縱橫探究，理解數(shù)的特性

知識(shí)的鞏固需要在操作中進(jìn)行，從而增強(qiáng)對(duì)知識(shí)的進(jìn)一步理解。在練習(xí)中，正確的答案并不是教學(xué)的唯一目的，更重要的是學(xué)生對(duì)題目的理解，和對(duì)一些規(guī)律、相同與不同點(diǎn)之類的觀察探究意識(shí)，對(duì)本質(zhì)東西的抽取過(guò)程等都尤為重要。

在理解分?jǐn)?shù)的特性的過(guò)程中，要注重讓學(xué)生動(dòng)手操作，并進(jìn)行縱橫探究，引導(dǎo)學(xué)生思考：6個(gè)桃子平均分給3只小猴和12個(gè)桃平均分給3只小猴，為什么每份的個(gè)數(shù)不同，但都可以用1/3來(lái)表示？6個(gè)桃，平均分給2只小猴，每只小猴分得這盤桃的1/2。6個(gè)桃，平均分給3只小猴，每只小猴分得這盤桃的1/3。都是6個(gè)桃，為什么每份表示的分?jǐn)?shù)卻不一樣？在理解分?jǐn)?shù)本質(zhì)含義的過(guò)程中，注重讓學(xué)生動(dòng)手探究，通過(guò)分一分認(rèn)識(shí)到分?jǐn)?shù)跟平均分的份數(shù)有關(guān)，與個(gè)數(shù)無(wú)關(guān)。

通過(guò)操作，進(jìn)行縱橫探究，更加豐富學(xué)生的感知，去除一些外在的干擾，抓住知識(shí)的本質(zhì)，弄清分?jǐn)?shù)與什么相關(guān)，與什么無(wú)關(guān)，分?jǐn)?shù)表示的含義到底是什么，從而追其本質(zhì)。

（二）在體驗(yàn)中將分?jǐn)?shù)符號(hào)化，抽其本質(zhì)特征

符號(hào)化是數(shù)學(xué)抽象的特征之一，數(shù)學(xué)每抽象出一個(gè)重要的概念，通常會(huì)賦予符號(hào)表示。數(shù)學(xué)符號(hào)是具有簡(jiǎn)潔性和抽象性的規(guī)范語(yǔ)言，它準(zhǔn)確、清晰，具有簡(jiǎn)約思維、提高效率、便于交流的特點(diǎn)。

在教學(xué)時(shí)，這盤桃如果是4個(gè)，平均分給2只小猴，每只小猴分得這盤桃的1/2；如果是6個(gè)、8個(gè)或一籃桃子，每只小猴也是分得這盤桃的1/2。通過(guò)變換桃的個(gè)數(shù)，讓學(xué)生進(jìn)行視覺體驗(yàn)和思維體驗(yàn)，認(rèn)識(shí)到只要平均分給2只小猴，每只小猴就分得這盤桃的1/2。接著引出，如果平均分給3只、4只……，每只小猴分得這盤桃的幾分之幾。抓住分?jǐn)?shù)意義的本質(zhì)，從而認(rèn)識(shí)并抽象出只要把這盤桃平均分成幾份，每份就是這盤桃的幾分之一。反之，分得了這盤桃的幾分之一就要把它平均分成幾份。

通過(guò)一盤桃個(gè)數(shù)從具體的數(shù)量到未知的量的變化，摒棄外在的干擾因素，豐富學(xué)生對(duì)于分?jǐn)?shù)本質(zhì)的理解。這樣的體驗(yàn)訓(xùn)練，讓學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)符號(hào)產(chǎn)生直接的頭腦反應(yīng)。

三、應(yīng)用策略：培養(yǎng)學(xué)生系統(tǒng)建構(gòu)數(shù)的特性

數(shù)學(xué)抽象思維是人數(shù)學(xué)思維發(fā)展的高級(jí)階段，經(jīng)歷數(shù)學(xué)抽象過(guò)程，是促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象思維發(fā)展的必由之路。培養(yǎng)小學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，必須要注重?cái)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，善于引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思考，學(xué)會(huì)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，在這一系列的過(guò)程中，逐步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。

（一）在解決問(wèn)題中拓展抽象思維的價(jià)值

數(shù)學(xué)知識(shí)的價(jià)值在于它能幫助我們解決問(wèn)題，抽象思維的價(jià)值也在于它能在不同形式的問(wèn)題解決中對(duì)我們產(chǎn)生一定的幫助，所以，抽象思維不能光說(shuō)不練，而要在練習(xí)中將其內(nèi)化拓展。

12個(gè)桃可以平均分成幾份，每份是它的幾分之一？先分一分，再填一填。讓小組分組進(jìn)行討論、操作，來(lái)解決問(wèn)題。在巡視的過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)有的學(xué)生沒有思考就直接動(dòng)手進(jìn)行分，有的學(xué)生能說(shuō)出1—2種，但有的學(xué)生能按順序說(shuō)全，可以平均分成2份、3份、4份、6份、12份，每份分別是整體的1/2、1/3、1/4、1/6、1/12。要表示12個(gè)桃的幾分之一，只要考慮可以把12平均分成幾份就可以，有序而且不會(huì)遺漏。似乎一切都很順利，沒有什么問(wèn)題。當(dāng)出示一籃桃，問(wèn)學(xué)生想吃它的幾分之一？學(xué)生紛紛回答1/2、1/3、1/4、1/5等。“那要不要考慮這籃桃的個(gè)數(shù)能不能平均分成3份、5份呢？”學(xué)生們都不作答。

在不出示桃子的個(gè)數(shù)時(shí)，學(xué)生可以任意說(shuō)，但當(dāng)個(gè)數(shù)是已知的，學(xué)生就會(huì)被桃子的個(gè)數(shù)所限制，變得不太會(huì)思考了。為此，我們要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到，只要把一個(gè)整體平均分成幾份，每份就是它的幾分之一，我們只是取了正好可以完整地平均分的情況而已。在正確的引導(dǎo)下，讓學(xué)生在解決問(wèn)題中內(nèi)化分?jǐn)?shù)的基本含義，拓展抽象思維的價(jià)值。

（二）在數(shù)學(xué)應(yīng)用中積累抽象思維的經(jīng)驗(yàn)

思想一定是以知識(shí)為載體的，方法一定先于思想，也就是說(shuō)思想一定是建立在知識(shí)和方法學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上。所以，要培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力，要經(jīng)常地訓(xùn)練，才能掌握方法。教師要結(jié)合教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生的實(shí)際，巧妙地讓學(xué)生在生活場(chǎng)景中學(xué)會(huì)應(yīng)用，才能讓學(xué)生積累經(jīng)驗(yàn)，從而更好地將所學(xué)的知識(shí)加以運(yùn)用。

在解決問(wèn)題中我設(shè)計(jì)了這樣一個(gè)環(huán)節(jié)：小丁邀請(qǐng)朋友來(lái)家里玩，他準(zhǔn)備了一些糖果，先來(lái)了2個(gè)朋友，小丁拿出6粒糖果放進(jìn)果盤，每人吃2粒，每人可以吃了它的1/3。又來(lái)了4位朋友，小丁還是要每人發(fā)2粒，于是又拿了幾顆放進(jìn)果盤，現(xiàn)在每人可以吃它的幾分之一？學(xué)生被這個(gè)陌生的情境蒙住了，一時(shí)不知該如何解答。前后兩次，小丁都是可以吃2粒糖，為什么前一次是吃糖果的1/3，后一次是吃糖果的1/7呢？面對(duì)一系列的生活場(chǎng)景問(wèn)題，顯然有部分學(xué)生就難以輕松應(yīng)對(duì)了。

為什么前后小丁可以吃的2粒糖所表示的分?jǐn)?shù)會(huì)發(fā)生變化，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到隨著人數(shù)的變化平均分的份數(shù)也在變化，之所以會(huì)不相同，是因?yàn)樘枪麛?shù)量這一整體在變化。生活中的問(wèn)題是突發(fā)的，變化很大，不像教材上的練習(xí)那么固定，我們要多創(chuàng)設(shè)一些靈活的生活場(chǎng)景，讓學(xué)生在運(yùn)用中不斷積累抽象思維的經(jīng)驗(yàn)。

四、陶冶策略：培養(yǎng)學(xué)生建立敏銳的數(shù)感

數(shù)感的培養(yǎng)需要我們創(chuàng)造環(huán)境去陶冶學(xué)生，通過(guò)適時(shí)適地有目的地引導(dǎo)，讓學(xué)生養(yǎng)成估算的好習(xí)慣，借助數(shù)形結(jié)合，讓學(xué)生對(duì)數(shù)有敏銳的感知。

（一）在估算訓(xùn)練中逐步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感

估算不僅僅是在教材要求的時(shí)候讓學(xué)生去做，只要有數(shù)的計(jì)算，就要讓學(xué)生去估算，創(chuàng)造估算的環(huán)境，讓學(xué)生體會(huì)到估算的價(jià)值和必要性，才能在估算訓(xùn)練中逐步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感。

很多學(xué)生，做一些簡(jiǎn)單的計(jì)算總會(huì)出現(xiàn)這樣或那樣的錯(cuò)誤，如608÷2=24；480÷60=80；3/4÷12=9等。學(xué)生計(jì)算比較馬虎，特別是能口算的題，錯(cuò)誤率更高。如果讓學(xué)生平時(shí)養(yǎng)成估算的好習(xí)慣，608÷2商是三位數(shù)，480÷60商是一位數(shù)，3/4÷12商小于3/4。解決問(wèn)題中，如白兔是黑兔的3/4，結(jié)果算出答案白兔是50只，黑兔是100只，明顯不對(duì)。23/35和4/11比較大小，很多學(xué)生會(huì)通分或化成小數(shù)，但數(shù)感好的同學(xué)一看就知道23/35大于4/11，因?yàn)?3/35大于1/2，而4/11小于1/2，能快速比較出大小。學(xué)生在解題時(shí)缺少對(duì)答案的預(yù)判和審視，如果能做到先估一估或者算完后估一估答案的正確性，那么學(xué)生就能有效避免這些錯(cuò)誤的產(chǎn)生，有時(shí)能結(jié)合估算提高解題的速度。估算意識(shí)的培養(yǎng)和估算能力的提高不是靠幾天的練習(xí)就行的。首先教師要有培養(yǎng)學(xué)生估算的意識(shí)，多引導(dǎo)，多練習(xí)，才能讓學(xué)生養(yǎng)成估算的意識(shí)。其次，要讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到估算的價(jià)值，不是為了估算而估算，而是能提高解題的正確率。

長(zhǎng)期引導(dǎo)和訓(xùn)練，學(xué)生就會(huì)養(yǎng)成估算的意識(shí)，并且提高估算的速度，這不是浪費(fèi)學(xué)生的時(shí)間，而是培養(yǎng)了學(xué)生良好的解題習(xí)慣和數(shù)感。

（二）在數(shù)形結(jié)合中提升學(xué)生數(shù)感的敏銳度

學(xué)生對(duì)于整數(shù)的數(shù)感還可以，但是對(duì)分?jǐn)?shù)和小數(shù)的數(shù)感就差了很多。在教學(xué)的時(shí)候，我們要注重引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)畫圖，通過(guò)數(shù)形結(jié)合，從而幫助學(xué)生建立直觀表象，提升學(xué)生數(shù)感的敏銳度。

在解決1/2+1/4+1/8+1/16+1/32時(shí)，如果讓學(xué)生畫圖來(lái)理解，學(xué)生很容易理解為什么這些數(shù)相加等于1-1/32。比較8/9和9/10的大小，可以讓學(xué)生畫線段圖，直觀感知8/9中的每份比9/10中的每份大，同樣少取一份，為什么8/9小于9/10，從而讓學(xué)生充分理解。男生比女生多1/5，女生比男生少多少？女生是男生的幾分之幾？男生是女生的幾分之幾？在解決這個(gè)問(wèn)題時(shí)，總有學(xué)生模糊不清，對(duì)于單位“1”和它們之間的關(guān)系混淆難分。如果利用線段圖畫一畫，女生是5份，男生比女生多5份的1/5就是6份，就能直觀地看到女生比男生少1/6，女生是男生的5/6，男生是女生的6/5。

在教學(xué)的時(shí)候，教師要利用畫圖的方法，把難以理解的知識(shí)轉(zhuǎn)化為圖形的方式，更清楚地表示它們之間的關(guān)系。讓學(xué)生能結(jié)合圖形，直觀地感知和理解，長(zhǎng)期訓(xùn)練，幫助學(xué)生提高數(shù)感的敏銳度。

五、總結(jié)

抽象素養(yǎng)的培養(yǎng)不是一朝一夕的事，一節(jié)課的引導(dǎo)和培養(yǎng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠。這就需要教師在平時(shí)的教學(xué)中多一些這方面的思考：怎樣貫穿課堂，把知識(shí)更好地教給學(xué)生，讓學(xué)生慢慢地學(xué)會(huì)觀察對(duì)比、勤于操作體驗(yàn)、善于拓展應(yīng)用，從而更好地學(xué)習(xí)并應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)。