孫 琳

(江蘇省南京市金陵中學河西分校)

由于向量模的坐標運算涉及“平方和”的結(jié)構(gòu)形式,向量數(shù)量積的坐標運算涉及“積與和”的結(jié)構(gòu)形式,所以利用向量知識可以求解相關(guān)代數(shù)問題.本文著重說明如何在適當變形、構(gòu)造向量的基礎(chǔ)上,靈活運用如下兩個向量不等式,巧妙求解相關(guān)代數(shù)問題,旨在幫助學生理解、掌握向量不等式,并能夠在解題中加以靈活運用.

向量不等式1 不等式a·b≤|a|·|b|對任意向量a,b均成立.

特別地,設(shè)a,b是非零向量,則a·b＝|a|·|b|?向量a,b共線且同向?存在λ＞0,使得b＝λa;a·b＝-|a|·|b|?向量a,b共線且反向?存在λ＜0,使得b＝λa.

向量不等式2 不等式||a|-|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|對任意向量a,b均成立.

特別地,設(shè)a,b是非零向量,則|a|＋|b|＝|a＋b|?向量a,b共線且同向;|a|＋|b|＝|a-b|?向量a,b共線且反向;||a|-|b||＝|a＋b|?向量a,b共線且反向;||a|-|b||＝|a-b|?向量a,b共線且同向.

此外,需要認真領(lǐng)會以下各例是如何根據(jù)“平方和”的形式或“積與和”的形式,靈活構(gòu)造向量,并借助上述向量不等式巧妙求解目標問題.

1 構(gòu)造向量,巧證不等式

2 構(gòu)造向量,巧求最值或值域

結(jié)合上述歸類舉例解析可知“構(gòu)造向量,巧解相關(guān)代數(shù)問題”的關(guān)鍵在于根據(jù)“平方和”或“積與和”的外在結(jié)構(gòu)形式(有時需要進行適當?shù)拇鷶?shù)變形),先構(gòu)造向量,再靈活運用向量不等式a·b≤|a|·|b|或||a|-|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|分析、解決目標問題.在求解有關(guān)函數(shù)的最值或值域問題時,需要特別關(guān)注向量不等式中的“等號”能否取到,否則極易產(chǎn)生錯誤.