廣西興業(yè)縣沙塘鎮(zhèn)福聯(lián)小學(537822) 李橋飛

勾股定理的擴展

廣西興業(yè)縣沙塘鎮(zhèn)福聯(lián)小學(537822) 李橋飛

在我國古代人們將直角三角形中短的直角邊叫做勾,長的直角邊叫做股,斜邊叫做弦.人們已經(jīng)知道,如果勾是3,股是4,那么弦就是5.后來人們進一步發(fā)現(xiàn)并證明了直角三角形三邊的關系:兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.

a:當勾為奇數(shù)時,即2n+1,股為2n(n+1),那么弦就是2n(n+1)+1(n≥1的整數(shù))

所以:①+②=③上式滿足勾股定理即(2n+1)2+(2n2+ 2n)2=(2n2+2n+1)2

_例如:__ _勾_ __股_ __弦_有____3__ __4__ __5__ ____5__ __12_ __13_ ____7__ __24_ __25_ ____9__ __40_ __41_ _11__ __60_ __61_ _______ _____ _ _____··· ···_ _···_

b:當勾為偶數(shù)時,即2n,股為n2?1,那么弦就是n2+1 (n≥3的整數(shù))

即(2n)2+(n2?1)2=(n2+1)2也同樣滿足勾股定理.

_又如:__ _勾_ __股_ __弦_有____6__ __8__ _10_ ____8__ __15_ __17_ _10__ __24_ __26_ _12__ __35_ __37_ _______ _____ _ _____··· ···_ _···_

在眾多的勾股弦數(shù)組中,唯一有勾3、股4、弦5的數(shù)組是連續(xù)的自然數(shù)數(shù)組.且32+42=52這個式子表明在自然數(shù)中有三個連續(xù)自然數(shù),使得前兩個自然數(shù)的平方和等于后一個自然數(shù)的平方和.再有:102+112+122=132+142,這個式子表明在自然數(shù)中有五個連續(xù)自然數(shù),使得前三個自然數(shù)的平方和等于后兩個自然數(shù)的平方和.還有212+222+232+242=252+262+272,同理在自然數(shù)中有七個連續(xù)自然數(shù),使得前四個自然數(shù)的平方和等于后三個自然數(shù)的平方和.看:

從而命題得證(2n2+n)2+···+(2n2+2n)2=(2n2+2n+ 1)2+···+(2n2+3n)2成立.即命題為:在自然數(shù)的數(shù)集中,存在(2n+1)個連續(xù)自然數(shù),使得前(n+1)個連續(xù)自然數(shù)的平方和等于后n個連續(xù)自然數(shù)的平方和.