華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院(510631) 莫玉桂

運用波利亞解題理論談一道平面幾何題的思維歷程

華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院(510631) 莫玉桂

在數(shù)學(xué)教學(xué)中,《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》建議教師“讓學(xué)生在現(xiàn)實情境中體驗和理解數(shù)學(xué)”[1],可見在體驗中感悟數(shù)學(xué)知識是學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識和技能的重要途徑.筆者以數(shù)學(xué)聯(lián)結(jié)能力和數(shù)學(xué)洞察力為立意,以波利亞解題理論為載體,以一道初中平面幾何題的解題困惑為線索,對例題進(jìn)行分析,力圖消除教師及學(xué)生對數(shù)學(xué)解題的神秘感和恐懼感,使數(shù)學(xué)解題成為生動和有趣的事情.

1 問題

例如圖所示,在△ABC中,∠CAB是鈍角,AB=BD= DC,∠BCA=30°,求∠CAD的大小.

圖1

2 解題分析

第一階段,弄清問題[2]

問題1 題目要我們求解的是什么?

要求解的是∠CAD的大小.

問題2 我們有些什么?

第一,題目所給的三個條件,即∠CAB是鈍角,AB= BD=DC,∠BCA=30°;第二,在八年級就學(xué)習(xí)過的一個性質(zhì),即“在直角三角形中,30°角所對的直角邊是斜邊的一半”;第三,已經(jīng)學(xué)習(xí)過的全等三角形的判定定理;第四,已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角形內(nèi)角和定理、等腰三角形的性質(zhì)等一些基礎(chǔ)性的知識點.

第二階段,制定計劃[2]

問題3 怎樣才能求得∠CAD的大小?

思路 1:由幾組邊相等可以轉(zhuǎn)化為角相等以及∠BCA=30°等條件認(rèn)為利用三角形內(nèi)角和定理即可解答.經(jīng)過計算,得到的結(jié)果總是恒等式,因此提出兩點困惑:如若利用三角形內(nèi)角和定理來解答,則只用到了題中的兩個條件,而“∠CAB是鈍角”這個條件對本題的解答起何作用?此外,“∠BCA=30°”這個條件除了可以用于三角形內(nèi)角和定理的求解思路中還能怎么運用?由此得出思路2.

思路2:若將∠BCA=30°放在一個直角三角形中,一方面可以求得另一個銳角為,這樣等于條件多了一個已知量,更加便于求∠CAD的大小;另一方面還可以利用“在直角三角形中,30°角所對的直角邊是斜邊的一半”這一性質(zhì)進(jìn)行一些必要的證明.因此需添加輔助線構(gòu)造出關(guān)于∠BCA=30°的直角三角形.

問題4如何選取有效的輔助線?

根據(jù)上面的分析可在圖中做出三條與解題較為相關(guān)的輔助線,即BF,EG,以及過A作BC的垂線,構(gòu)成以∠BCA為內(nèi)角的直角三角形.然而實際上這三條輔助線中只有兩條是對于本題的解答有幫助的,此時就需要教師引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會利用已知條件選取有效的輔助線,且更進(jìn)一步理解輔助線的用處,杜絕亂添加輔助線的行為,從而提高解題效率.

問題5“在直角三角形中,30°角所對的直角邊是斜邊的一半”用于何處?

學(xué)生直接運用這一性質(zhì),則比較容易能夠證明出△BDG和△BAF全等,但由于最終的解答需要多次進(jìn)行角之間的相互轉(zhuǎn)化,基礎(chǔ)比較薄弱的學(xué)生不易想到后面幾步的轉(zhuǎn)化.因此,教師在講解這一部分時可以采用逆推法,從結(jié)論開始進(jìn)行分析,逐步引出所需要的條件,最終得以解答,這樣一個循序漸進(jìn)的過程能夠使學(xué)生易于接受.

第三階段,實施計劃[2]

解過B作CA的垂線BF交CA的延長線于F,過D作DG⊥BC交于G,延長GD交AC于E.∵BD=DC,∴BG= GC.∵在Rt△BFC中,∠BCF=30°,∴BF=BG.又∵AB=BD,∴△BDG△BAF,∴∠BDG=∠BAF ,∴∠FAD=∠GDA,∴∠EAD=∠EDA.又∵在Rt△CGE中,∠BCF=30°,∠GEC=60°,∴∠AED= 120°,∴∠CAD=∠EDA=30°.

圖2

第四階段,回顧[2]

困惑∠CAB是鈍角的意義.

上述的解答還是沒有將“∠CAB是鈍角”的作用進(jìn)行說明,學(xué)生也許會認(rèn)為這個條件是多余的,但實際上這個條件對于求解結(jié)果起著至關(guān)重要的作用,這就需要教師在回顧這一階段對學(xué)生加以引導(dǎo).不過,教師恐怕很難解釋得清楚“∠CAB是鈍角”這個條件在解題中的作用,此時,教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度看問題,從而發(fā)現(xiàn)“∠CAB是鈍角”的奧妙所在.

根據(jù)三角形關(guān)于角可以分成三類,下面可分別從三個不同的角度去分析∠CAB的意義.

角度1特殊化觀點看清題目本質(zhì),即∠CAB=90°.

既然本題的關(guān)鍵是利用“在直角三角形中,角所對的是直角邊的一半”,那么可以從最那么可以從最簡單的情況入手,由簡入深.

當(dāng)∠CAB=90°時,即點A與點F重合,點D和點G重合,由AB=AD和∠ABC=60°可證△ABD是等邊三角形,則AD=DC,于是求得∠CAD=30°.

圖3

通過與原題比較可知,點A和點D都移動到了特殊的位置,但是與分析角度關(guān)系最為密切的是點A的位置變化(由于∠CAB是隨著點A的變化而變化),因此在分析過程中應(yīng)該更多的關(guān)注點A的位置變化.

角度2 點D在Rt△BFC外,證∠CAB=150°.

原題是點D在Rt△BFC內(nèi)的情況.從“角度1”的分析中可以知道點D的位置會隨著點A的位置變化而變化,由此利用幾何畫板可知當(dāng)點A在線段CF上移動時,點D始終在Rt△BFC外時,∠CAB仍然是鈍角并且∠CAB=150°.

下面給出相應(yīng)的證明.

圖4

過B作CA的垂線BF交CA的延長線于 F,過 D作DG⊥BC于G.∵BD=DC,∴BG=GC.∵在Rt△BFC中,∠BCF=30°,∴BF=BG.又∵AB=BD,∴△BDG△BAF.∴∠BDG=∠BAF,∴∠EAD=∠EDA.又∵在Rt△CGE中,∠BCF=30°,∴∠GEC=60°,∴∠AED=120°,∴∠EAD=∠EDA= 30°,∴∠CAD=150°.

角度 3 運動的觀點看 ∠CAD的角度變化,即0°＜∠CAB＜90°.

圖5

當(dāng)0°＜ ∠CAB ＜ 90°時,利用已知條件同樣可以證明△BDG△BAF,但是卻不能運用類似于原題的方法來求解,而且根據(jù)中學(xué)生實際的知識水平,暫時還不能求解出∠CAD的具體度數(shù).由題目與角度2注意到∠CAD的度數(shù)隨著點A的位置變化而變化,因此當(dāng)點A是CF的延長線上的任意一點時,教師可以利用幾何畫板一起與學(xué)生探究∠CAD的度數(shù)會隨著點A的變化而怎樣變化.通過比較發(fā)現(xiàn)每次移動點A時,∠CAD的度數(shù)都是不同的.

角度4 一圖看所有情況.

當(dāng)點A與點C重合時△ABD變成了一個等邊三角形,根據(jù)題目的條件及以上的分析考慮作其對稱圖形,于是將求解∠DAC轉(zhuǎn)化為求解相應(yīng)相等角.綜合以上分析,筆者將在一個等邊三角形中分析上述所有情況.

由以上的分析可做出圖形如右圖所示,過B作CA的垂線BF交CA的延長線于F,過D作DG⊥BC于G,以BF為對稱軸作△C′FC△BFC,C′G⊥BC,且C′G交AC于E,連接AC′.

圖6

首先說明一點,以下兩種情況不滿足題意,故下面的分析對其不進(jìn)行考慮.第一,點A與點D在E處重合,第二,點A與點C重合同時點D與點B重合.

(1)當(dāng)點A在CE的上移動時,即圖中點A′的位置,從圖中我們易知四邊形CA′D′C′是一個等腰梯形,所以根據(jù)∠CA′D′+∠ACC′=180°以及∠ACC′=30°得∠D′A′C=150°.

(2)當(dāng)點A在EF的上移動時,同樣易知,四邊形CDAC′是一個等腰梯形,因此可求得∠CAD=∠ACC′= 30°.

(3)當(dāng)點A與點F重合時,易知∠DAC=30°.

(4)當(dāng)點 A在 CF的延長線上移動時,即圖中點A′′的位置,同理可以證明△BGD′′△BFA′′,則由∠FBA′′=∠GBD′′和∠GBF=60°可知∠A′′BD′′= 60°.又由BA′′=BD′′得△BA′′D′′是等邊三角形,則A′′D′′=BD′′=CD′′,故∠CA′′D′′=∠D′′CA′′.由此可知∠CA′′D′′的角度會隨著∠A′′D′C的變化而變化,而∠CA′′D′′會隨著點A的移動而變化.由于題目所給的已知條件有限,故不能求解出的具體度數(shù).

結(jié)論:通過對以上的“角度分析”進(jìn)行比較可以得出以下結(jié)論.

(1)當(dāng)點A與點F重合時,∠DAC=30°;

(2)當(dāng)點A在CF的延長線上移動時,∠DAC的度數(shù)隨著點A的移動而變化;

(3)當(dāng)點A在EF的上移動時,∠DAC=30°;

(4)當(dāng)點A在EC的上移動時,∠DAC=30°.

3 結(jié)語

本文意在突出解題理論的習(xí)慣性分析問題、解答問題的歷程,重點強(qiáng)調(diào)一題多變對學(xué)生能力提升的重大意義,以及題海戰(zhàn)術(shù)的不可取性.為了讓學(xué)生能夠更系統(tǒng)地學(xué)習(xí)幾何題的解法,提高此類問題的教學(xué)質(zhì)量,筆者認(rèn)為應(yīng)該做到以下幾點:首先,教師應(yīng)從學(xué)生的學(xué)情出發(fā)選取或命制不同難易程度的題目,以便于學(xué)生由表及里地對此類題目進(jìn)行練習(xí)、總結(jié)和提升.其次,教師應(yīng)從學(xué)生的思維習(xí)慣出發(fā),多角度分析此類題目,指導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)解題障礙及其突破口,從而進(jìn)行更加有效的數(shù)學(xué)問題解決教學(xué).最后,我們應(yīng)該將解題歷程思維訓(xùn)練上升到系統(tǒng)的理論知識,使其能用于指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí),指導(dǎo)教師教學(xué).

[1]嚴(yán)士建,張奠宙,王尚志.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實驗)解讀[M].南京:江蘇教育出版社,2003.

[2]羅增儒,羅新兵.波利亞的怎樣解題表[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考(教師版),2004年第5期:29-32.