山東省單縣第一中學(xué)(274300) 馬天航

矩形的一個(gè)性質(zhì)及應(yīng)用

山東省單縣第一中學(xué)(274300) 馬天航

性質(zhì):若矩形中橫線(xiàn)與縱線(xiàn)的長(zhǎng)度和為定值,則當(dāng)橫線(xiàn)長(zhǎng)度之和與縱線(xiàn)長(zhǎng)度之和相等時(shí),矩形的面積最大.(注:本文中的橫線(xiàn)與縱線(xiàn)分別都平行且等于矩形的邊長(zhǎng))

證明:如圖 1所示,矩形ABCD中,n條橫線(xiàn)的長(zhǎng)度都是x,m條縱線(xiàn)的長(zhǎng)度都是y,且nx+my=k(定長(zhǎng)),則

圖1

也就是說(shuō)當(dāng)橫線(xiàn)長(zhǎng)度之和nx與縱線(xiàn)長(zhǎng)度之和my相等時(shí),矩形ABCD的面積最大.此結(jié)論雖然簡(jiǎn)單,在現(xiàn)實(shí)生活中卻有著廣泛的應(yīng)用.

例一、用6m長(zhǎng)的鋁合金型材做一個(gè)形狀如圖2所示的矩形窗框,窗框的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí),它的透光面積最大?最大透光面積是多少?

圖2

解:由本文性質(zhì)知,窗框的長(zhǎng)6m÷2÷2=1.5m,寬為6m÷2÷3=1m時(shí),它的透光面積取最大值是1.5m×1m=1.5m2.

在實(shí)際問(wèn)題中,往往涉及到“一面靠墻”等條件,我們不妨利用對(duì)稱(chēng)的性質(zhì),轉(zhuǎn)化為我們所熟知的問(wèn)題.

例二、(如圖3)某中學(xué)課外活動(dòng)小組在一面靠墻的空地上用長(zhǎng)為30m的籬笆,圍成中間隔有二道籬笆的矩形生物苗圃園,求垂直于墻的一邊的長(zhǎng)為多少時(shí),這個(gè)苗圃園的面積最大?并求出這個(gè)最大值.

圖3

解:作矩形ABCD關(guān)于DC的對(duì)稱(chēng)圖形FECD,矩形ABEF中籬笆的總長(zhǎng)度是60m,由本文性質(zhì)知,當(dāng)2AB=4AF=30m,即AB=4AD=15m亦即AB=15m AD=3.75m時(shí),矩形ABEF取最大值,同時(shí)苗圃園ABCD的面積取最大值15m×3.75m=56.25m2.

例三、某農(nóng)戶(hù)計(jì)劃利用現(xiàn)有的一面墻再修四面墻,建造如圖4的長(zhǎng)方體水池,培育不同品種的魚(yú)苗,他已備足可以修高為1.5m,長(zhǎng)為18m的墻的材料準(zhǔn)備施工,若想使水池的總?cè)莘e最大,與現(xiàn)有一面墻垂直的墻的長(zhǎng)度應(yīng)為多少?最大容積是多少?(不考慮墻的厚度)

圖4

解:由本文性質(zhì)知,當(dāng)2AC=2×3AD=18m,即當(dāng)AC=9m,AD=3m時(shí),長(zhǎng)方體水池有最大容積,最大容積是9m×3m×1.5m=40.5m3.