張 靜，李澤輝，羅朝陽(yáng)

（昌吉學(xué)院數(shù)學(xué)系 新疆 昌吉 831100）

“文化”包含了人類在社會(huì)歷史的實(shí)踐過(guò)程中所有的精神創(chuàng)造和物質(zhì)成果的總和?！皵?shù)學(xué)文化”與數(shù)學(xué)、文化這兩個(gè)概念交叉融合后，成為一種綜合的意識(shí)形態(tài)。數(shù)學(xué)文化的學(xué)習(xí)在加強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的使命感、體會(huì)數(shù)學(xué)精神、認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)本質(zhì)、提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)等方面有積極的影響?！俺醯葦?shù)學(xué)研究”作為數(shù)學(xué)師范生的專業(yè)課，旨在讓學(xué)生了解初等數(shù)學(xué)的研究對(duì)象，認(rèn)識(shí)初等數(shù)學(xué)的學(xué)科地位和作用，以及用高等數(shù)學(xué)的理論和觀點(diǎn)看待中小學(xué)數(shù)學(xué)的問(wèn)題，并應(yīng)用重要的數(shù)學(xué)思想方法解決問(wèn)題。通過(guò)對(duì)“初等數(shù)學(xué)研究”教材中涉及的隱性數(shù)學(xué)文化知識(shí)進(jìn)行提煉與展開(kāi)，將數(shù)學(xué)文化元素融入數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，能夠幫助師范生形成較為長(zhǎng)久而穩(wěn)固的數(shù)學(xué)觀念，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)文化的長(zhǎng)期教育價(jià)值，為培養(yǎng)和造就具有數(shù)學(xué)文化底蘊(yùn)的數(shù)學(xué)預(yù)備教師探索有益的途徑。

1 數(shù)學(xué)文化的內(nèi)涵及價(jià)值

1.1 數(shù)學(xué)文化的內(nèi)涵

在世界歷史記載中，古希臘是“數(shù)學(xué)”一詞的發(fā)源地，當(dāng)時(shí)“數(shù)學(xué)”的含義是“科學(xué)”“知識(shí)”，而在中國(guó)古代則被稱為算術(shù)、算學(xué)和數(shù)學(xué)。關(guān)于“數(shù)學(xué)”的定義，數(shù)學(xué)家們各執(zhí)一詞，其中具有代表性的說(shuō)法不下十種，如畢達(dá)哥拉斯的“萬(wàn)物皆數(shù)說(shuō)”、希爾伯特的“符號(hào)說(shuō)”、庫(kù)爾的“邏輯說(shuō)”、克里奇的“集合說(shuō)”、M.克萊因的“精神說(shuō)”、波萊爾的“藝術(shù)說(shuō)”等。這些關(guān)于數(shù)學(xué)的定義，多是從數(shù)學(xué)內(nèi)涵的角度對(duì)其進(jìn)行界定。隨著對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)及其廣泛應(yīng)用的深入認(rèn)識(shí)，人們?cè)絹?lái)越認(rèn)同將數(shù)學(xué)看作是一種文化。美國(guó)數(shù)學(xué)家懷爾德系統(tǒng)地提出了“數(shù)學(xué)文化論”，他指出“數(shù)學(xué)文化”與整個(gè)人類文明有著非常重要的聯(lián)系，是人類文化的重要組成部分。國(guó)內(nèi)學(xué)者中，孫小禮教授最先開(kāi)啟了對(duì)數(shù)學(xué)文化的探索。對(duì)數(shù)學(xué)文化的定義，國(guó)內(nèi)主要有以下幾類：張奠宙從文學(xué)、語(yǔ)言學(xué)和美學(xué)等角度解釋數(shù)學(xué)是一種文化現(xiàn)象；黃秦安從系統(tǒng)的角度，將數(shù)學(xué)文化總結(jié)為一個(gè)具有強(qiáng)大精神與物質(zhì)功能的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)；鄭毓信認(rèn)為數(shù)學(xué)文化是一個(gè)屬于數(shù)學(xué)學(xué)科的專有名詞；顧沛將數(shù)學(xué)文化定義為狹義與廣義兩種。狹義的數(shù)學(xué)文化是指數(shù)學(xué)的形成和發(fā)展過(guò)程與結(jié)果，廣義的解釋還包含了數(shù)學(xué)與人文、歷史、教育、美感的交叉，以及數(shù)學(xué)與各種文化之間的關(guān)系。

綜上所述，數(shù)學(xué)文化的定義是基于文化視角對(duì)數(shù)學(xué)所做的描述，其本身的應(yīng)用價(jià)值以及對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)與成長(zhǎng)的積極影響得到了廣大數(shù)學(xué)教育者的廣泛認(rèn)同。數(shù)學(xué)文化深刻凸顯了數(shù)學(xué)的人性底色，涵蓋了所有數(shù)學(xué)化的創(chuàng)造物。本文認(rèn)為，數(shù)學(xué)文化是由數(shù)學(xué)發(fā)展過(guò)程和數(shù)學(xué)成果所組成的有機(jī)整體，主要包含有：數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)歷史、數(shù)學(xué)精神、數(shù)學(xué)之美的形成與發(fā)展，以及數(shù)學(xué)與人文及各種科學(xué)文化之間的相互關(guān)系。

1.2 數(shù)學(xué)文化的教育價(jià)值

數(shù)學(xué)文化的教育意義是隱性卻長(zhǎng)遠(yuǎn)的。著名物理學(xué)家愛(ài)因斯坦與日本教育家米山國(guó)藏都曾經(jīng)發(fā)表過(guò)他們對(duì)學(xué)校教育的著名言論，即，校內(nèi)進(jìn)行的以知識(shí)為主的教育對(duì)學(xué)生的影響是十分短暫而有限的，學(xué)生出校門(mén)后幾年就忘了以前學(xué)過(guò)的知識(shí)是十分正常的，然而不管他們未來(lái)進(jìn)入哪個(gè)行業(yè)，不會(huì)遺忘的教育對(duì)個(gè)人發(fā)展的影響才是教育真正發(fā)揮價(jià)值之處。十年樹(shù)木，百年樹(shù)人。米山國(guó)藏認(rèn)為，數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)精神會(huì)長(zhǎng)期影響學(xué)生的生活和工作。學(xué)生在學(xué)校期間所學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)，并不完全是出于以后工作具體使用才學(xué)的。在達(dá)成考試的功利性目的后，學(xué)生通常會(huì)很快忘掉數(shù)學(xué)知識(shí)，但學(xué)習(xí)過(guò)程中形成的數(shù)學(xué)素養(yǎng)會(huì)與學(xué)生相伴一生。數(shù)學(xué)素養(yǎng)被認(rèn)為是一種理性思維，培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)能夠?qū)W(xué)生的觀念、精神和思維模式產(chǎn)生潛移默化的影響，同時(shí)，數(shù)學(xué)素養(yǎng)也是21 世紀(jì)的青年面對(duì)生活、學(xué)習(xí)、工作所需要的基本素養(yǎng)。在課堂中滲透數(shù)學(xué)文化，能夠塑造學(xué)生堅(jiān)毅、理性、包容的心理品質(zhì)，體會(huì)數(shù)學(xué)學(xué)科所蘊(yùn)含的無(wú)限美感與奧秘，實(shí)現(xiàn)文化育人的教育目標(biāo)，讓教育影響在學(xué)生離開(kāi)校園后依然發(fā)揮“余熱”。

2 “初等數(shù)學(xué)研究”中滲透數(shù)學(xué)文化的必要性

我國(guó)義務(wù)教育階段以及《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)2017年版》均明確要求，中小學(xué)教師應(yīng)把數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)課標(biāo)中各模塊的教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行有機(jī)結(jié)合。中小學(xué)數(shù)學(xué)教師在課堂教學(xué)中顯示出的數(shù)學(xué)文化底蘊(yùn)，與數(shù)學(xué)師范教育教學(xué)中高校課堂對(duì)數(shù)學(xué)文化的充分滲透有直接聯(lián)系。數(shù)學(xué)師范生已經(jīng)歷過(guò)中小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的積累過(guò)程，基本具備了自學(xué)和探究數(shù)學(xué)的能力，往往將學(xué)習(xí)更多的數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)等知識(shí)或苦練教學(xué)技能作為重中之重。盡管近年來(lái)各大院校紛紛開(kāi)設(shè)了數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)文化課程，但從已有的調(diào)查研究結(jié)果看，師范生的數(shù)學(xué)文化底蘊(yùn)普遍不高，也未對(duì)數(shù)學(xué)文化相關(guān)內(nèi)容的學(xué)習(xí)產(chǎn)生應(yīng)有的重視，師范生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中普遍缺失數(shù)學(xué)文化的浸潤(rùn)。數(shù)學(xué)文化為數(shù)學(xué)課堂教育帶來(lái)了巨大的價(jià)值，尤其是其中包含的數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)思想與原理，展示了數(shù)學(xué)作為人類文明的發(fā)生發(fā)展過(guò)程，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的人文氣息。在新時(shí)代發(fā)展和我國(guó)新課程標(biāo)準(zhǔn)的必要條件下，將數(shù)學(xué)文化融入與中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)密切相關(guān)的“初等數(shù)學(xué)研究”課程教學(xué)中，能讓學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)體會(huì)其中的文化價(jià)值，在文化的氛圍中學(xué)習(xí)，與文化產(chǎn)生共鳴，對(duì)培養(yǎng)師范生的數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)具有重大意義。

3 “初等數(shù)學(xué)研究”中滲透數(shù)學(xué)文化的策略

3.1 建立文化思想的分析視角，發(fā)展學(xué)生的理性思維

數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程既要講究推理，也要講明道理，道理中就體現(xiàn)了數(shù)學(xué)文化底蘊(yùn)。傳統(tǒng)課程采用的方式是希望學(xué)生在繁復(fù)的證明與計(jì)算中鍛煉出理性思維，然而學(xué)生往往只認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)枯燥乏味的一面，失去了認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)本質(zhì)的機(jī)會(huì)。引導(dǎo)學(xué)生從文化思想的視角分析數(shù)學(xué)內(nèi)容，能夠幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)。比如，學(xué)生在初中階段已經(jīng)通過(guò)直觀歸納，學(xué)習(xí)了“對(duì)頂角相等”這個(gè)簡(jiǎn)單的命題，但初等數(shù)學(xué)研究中關(guān)于平面幾何教學(xué)的主要目的并不是確保學(xué)生掌握了這樣的事實(shí)，而是引導(dǎo)學(xué)生站在更高的角度去思考為什么。教師若能聯(lián)系古希臘和中國(guó)古代的政治文化背景，剖析為何古希臘人認(rèn)為這樣顯然的命題還有證明的必要，而中國(guó)古代以算法為主的數(shù)學(xué)就不會(huì)去研究這個(gè)定理，不僅能讓學(xué)生體會(huì)這個(gè)定理的理性思維價(jià)值，還能為數(shù)學(xué)課堂帶來(lái)文化上的思考與積累。

再如，函數(shù)的概念歷史長(zhǎng)達(dá)兩百多年，學(xué)生已經(jīng)經(jīng)歷了從初中的“變量說(shuō)”到高中的“定義說(shuō)”。對(duì)于函數(shù)如何發(fā)展起來(lái)的，以及為什么要叫作函數(shù)，學(xué)生往往認(rèn)識(shí)比較模糊。事實(shí)上，任何數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)展都經(jīng)歷了曲折的發(fā)展過(guò)程,函數(shù)的不同定義通常在歷史長(zhǎng)河的某個(gè)時(shí)間段共存，新的定義并不意味舊定義的廢棄。了解函數(shù)的發(fā)展過(guò)程，師范生能夠更好地理解目前中小學(xué)數(shù)學(xué)教科書(shū)上函數(shù)的定義與出現(xiàn)的順序，從而更好地通過(guò)歷史的相似性體會(huì)到中學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中可能出現(xiàn)的問(wèn)題，更深入地把握函數(shù)概念的本質(zhì)。

3.2 構(gòu)建與其他學(xué)科的聯(lián)系，滲透數(shù)學(xué)的思想方法

目前新課程改革著重提出，中小學(xué)數(shù)學(xué)課堂中應(yīng)注重“通性通法”的教學(xué)，而數(shù)學(xué)思想方法的考察在各省的高考數(shù)學(xué)說(shuō)明中也有明確且重要的地位。中小學(xué)數(shù)學(xué)課堂中涉及的數(shù)學(xué)思想方法有函數(shù)與方程、特殊與一般、化歸與轉(zhuǎn)化等，這些都是課堂教學(xué)必須要滲透的內(nèi)容，但數(shù)學(xué)教材中往往以知識(shí)點(diǎn)作為主線進(jìn)行編排，學(xué)生不容易體悟各種數(shù)學(xué)思想方法，這就要求教師適當(dāng)拓展教學(xué)內(nèi)容，幫助學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想方法。

在初等數(shù)學(xué)研究的課堂教學(xué)實(shí)踐中，如果教師能夠從文化的角度，選取典型問(wèn)題進(jìn)行剖析，就能幫助學(xué)生更好地領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法，并清晰認(rèn)識(shí)各種方法的合理性，引導(dǎo)學(xué)生從學(xué)會(huì)走向會(huì)學(xué)。比如，早在歐幾里得時(shí)代，古代學(xué)者就建立了數(shù)學(xué)的公理化思想。基于幾個(gè)必要的命題和概念，由明確的定義與邏輯推理建立起演繹體系，公理化被認(rèn)為是整理和表述各種理論體系的最佳形式。在介紹公理化思想的同時(shí)，應(yīng)該讓學(xué)生了解公理化思想產(chǎn)生的巨大價(jià)值。目前公理化思想的應(yīng)用早已不再局限于自然科學(xué)，如杰文斯的《政治經(jīng)濟(jì)學(xué)理論》、斯賓諾莎的《倫理學(xué)》等著作就能體現(xiàn)公理化在經(jīng)濟(jì)學(xué)、政治學(xué)和倫理學(xué)等多方面都得到了廣泛應(yīng)用。數(shù)學(xué)家希爾伯特的名言“一個(gè)理論的建立一旦成熟時(shí)，就開(kāi)始服從于公理化的方法”，各領(lǐng)域的學(xué)者都在試圖建立公理化的理論體系，這充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)文化中的公理化思想在人類文明中的重要地位。構(gòu)建跨學(xué)科聯(lián)系，能拓寬學(xué)生視野，培養(yǎng)學(xué)生在其他學(xué)科中體會(huì)和應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法，讓學(xué)生在人文藝術(shù)、生活實(shí)踐等各個(gè)方面發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)。

又如，斐波那契數(shù)列是一種典型的遞歸描述。遞歸的思想在初等數(shù)學(xué)研究中可以聯(lián)系計(jì)算機(jī)技術(shù)中的遞歸策略。在目前大數(shù)據(jù)與人工智能的發(fā)展熱潮中，計(jì)算機(jī)技術(shù)與數(shù)學(xué)教學(xué)密不可分，教師可以結(jié)合編程與算法的相關(guān)教學(xué)內(nèi)容，演示計(jì)算機(jī)程序中的遞歸，展示少量的代碼將復(fù)雜問(wèn)題所需的多次重復(fù)計(jì)算過(guò)程進(jìn)行反復(fù)調(diào)用，讓學(xué)生深入體會(huì)遞歸思想以及數(shù)學(xué)思想方法的簡(jiǎn)捷性。通過(guò)介紹相關(guān)的數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的交叉應(yīng)用，學(xué)生不僅能夠從多方面領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法的指導(dǎo)意義，還容易理解這樣選擇思想方法的原因，體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化的深刻價(jià)值。

3.3 發(fā)揮數(shù)學(xué)史的德育價(jià)值，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的精神實(shí)質(zhì)

數(shù)學(xué)的概念、定理、公式等往往具有歷史性，在發(fā)展的過(guò)程中蘊(yùn)含了數(shù)學(xué)的人性特征，根據(jù)教學(xué)內(nèi)容的編排順序以及數(shù)學(xué)的歷史發(fā)展順序，發(fā)揮數(shù)學(xué)史的德育價(jià)值，引導(dǎo)學(xué)生從人性的視角審視學(xué)習(xí)內(nèi)容，有助于學(xué)生理解數(shù)學(xué)精神。首先，教師可以介紹數(shù)學(xué)家艱辛的研究過(guò)程，在史實(shí)記載的基礎(chǔ)上，突出數(shù)學(xué)家對(duì)于真理的執(zhí)著追求，呈現(xiàn)數(shù)學(xué)家高尚的人格品質(zhì)。將數(shù)學(xué)史知識(shí)融入教學(xué)時(shí)，教師還應(yīng)注重渲染課堂的文化感染力，通過(guò)一些數(shù)學(xué)家的趣聞?shì)W事、說(shuō)過(guò)的名言警句以及后世對(duì)其的精彩評(píng)價(jià)，使教學(xué)內(nèi)容獨(dú)具文化底蘊(yùn)。例如，我國(guó)數(shù)學(xué)家華羅庚先生年輕時(shí)生病落下殘疾，走路時(shí)一條腿只能畫(huà)圈向前邁步，但是他一直保持著樂(lè)觀向上的積極態(tài)度，還時(shí)常戲稱自己走路是“切線與圓的運(yùn)動(dòng)”。數(shù)學(xué)化的幽默語(yǔ)言與歷史人物結(jié)合，賦予了數(shù)學(xué)家立體生動(dòng)的形象，趣味之下顯露學(xué)者風(fēng)范。其次，可以選擇世界數(shù)學(xué)史中影響深遠(yuǎn)的數(shù)學(xué)事件。比如，在進(jìn)行勾股定理的教學(xué)時(shí)，教師可以從展示2002 年國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)來(lái)引入課題，并從數(shù)學(xué)史系列事件角度加以展開(kāi)，從考古學(xué)家發(fā)現(xiàn)古巴比倫的泥版上的勾股數(shù)，到我國(guó)古代的“商高定理”，再將古希臘畢達(dá)哥拉斯的證明與趙爽的證明等各種方法進(jìn)行對(duì)比，可以從歷史發(fā)展的角度逐漸將勾股定理與余弦定理聯(lián)系起來(lái)，還可以介紹“費(fèi)馬大定理”是如何證明的這一重大數(shù)學(xué)事件。全世界數(shù)學(xué)家們前仆后繼、執(zhí)著探索數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程，對(duì)于師范生可以起到榜樣引領(lǐng)和激勵(lì)作用。在數(shù)學(xué)史素材的選擇上，教師還可以突出我國(guó)數(shù)學(xué)的優(yōu)秀成果。在世界數(shù)學(xué)的發(fā)展史上，中國(guó)數(shù)學(xué)家的卓越貢獻(xiàn)是不可否認(rèn)的，然而在目前師范生的數(shù)學(xué)課程中并未得到充分體現(xiàn)，學(xué)生對(duì)本國(guó)的數(shù)學(xué)成就一知半解，因此教師可以在相關(guān)內(nèi)容的學(xué)習(xí)中適當(dāng)強(qiáng)調(diào)。例如在初等代數(shù)的教學(xué)中，教師可以介紹大約三千年前，古代中國(guó)人就知道了自然數(shù)的四則運(yùn)算。從公元前3世紀(jì)開(kāi)始，中國(guó)在古代數(shù)學(xué)方面領(lǐng)先于其他國(guó)家與地區(qū)，到了宋元時(shí)期，中國(guó)古代數(shù)學(xué)進(jìn)入發(fā)展的頂峰，在方程論、數(shù)論等多方面的成就達(dá)到了新高度。這些材料可讓學(xué)生看到我們國(guó)家和民族在世界數(shù)學(xué)史上曾取得的偉大成就，從而激發(fā)他們的民族自信心與使命感。數(shù)學(xué)史實(shí)展現(xiàn)了人類文明的特征，相比于枯燥的知識(shí)學(xué)習(xí)，更能激發(fā)學(xué)生傳承數(shù)學(xué)文化的責(zé)任感，同時(shí)也有助于學(xué)生拓寬視野、領(lǐng)會(huì)精神，對(duì)未來(lái)的準(zhǔn)教師具有深遠(yuǎn)的意義。