威信縣第一中學(xué) 陳 潔

有一部分教師、家長和學(xué)生認為數(shù)學(xué)中的“猜想”是不動腦筋的亂猜、瞎想，總是覺得“猜”就是懶惰的表現(xiàn)，會誤入歧途，不能在數(shù)學(xué)教學(xué)中大肆宣揚.我認為這是一種偏見，是對“猜想”的完全否定.“猜想”就是在已有數(shù)學(xué)知識和教學(xué)事實的基礎(chǔ)上對未知量及其規(guī)律作出的似真判斷.合乎情理的“猜想”往往蘊含著創(chuàng)造性思維活動，它有時可以發(fā)現(xiàn)真理，有時也可以發(fā)現(xiàn)解題的有效途徑.縱觀數(shù)學(xué)發(fā)展史，“猜想”有著極為重要的作用，如哥德巴赫猜想、黎曼猜想……在漫長的歷史進程中，有些“猜想”可能被否決了，但隨之而來的，可能是更多奇妙的發(fā)現(xiàn).

在數(shù)學(xué)學(xué)科中，許多性質(zhì)定理和判定定理可以說是通過“猜想”得以實現(xiàn)的.在證明一個數(shù)學(xué)定理之前，我們總是要先猜測這個定理的內(nèi)容及其證明思路，甚至是一次又一次的不斷嘗試.在幾次示范課中，我鼓勵學(xué)生大膽“猜想”，通過“猜想”四個環(huán)節(jié)（實驗→“猜想”的產(chǎn)生→“猜想”的驗證→正確結(jié)論）的層層遞進，激發(fā)學(xué)生的求知欲，教學(xué)效果較好，連學(xué)困生也能激起學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

一、典型案例分析和啟示

案例1：垂徑定理

在講授“垂徑定理”時，如果教師直接寫出這一定理來加以論證，學(xué)生會感到太突然.教師不妨先讓學(xué)生來“猜想”它的內(nèi)容.

教師讓學(xué)生課前準備一張圓形紙片，在上面任畫一條弦AB，過圓心O作直徑CD使CD⊥AB，垂足為E，這樣就構(gòu)建了“垂直于弦的直徑”，如圖1.接著，教師請學(xué)生把這個圓形紙片沿直徑CD對折，讓他們仔細觀察分析，并提問：“同學(xué)們發(fā)現(xiàn)了什么？”學(xué)生甲回答：“弦AB被直徑CD分成的兩部分重合了.”學(xué)生乙回答：“弧AC和弧BC、弧AD和弧BD分別重合.”然后，教師引導(dǎo)學(xué)生產(chǎn)生“猜想”：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的弧.接著，教師又問：“這一‘猜想’對嗎？”然后引導(dǎo)學(xué)生對“猜想”進行驗證.

圖1

這樣一節(jié)課上下來，教師和學(xué)生都覺得非常輕松.學(xué)生在“猜想”的過程中，既動手又動腦，積極性較高，教學(xué)效果較好.

案例2：三角形內(nèi)角和定理

“三角形內(nèi)角和定理”這節(jié)課也可以用到“猜想”.學(xué)生在小學(xué)時就了解了“三角形內(nèi)角和等于180°”的知識.在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以大膽地開展一些實驗，讓學(xué)生在實驗中獲得感性認識，去觀察、分析、概括出產(chǎn)生的“猜想”，然后再加以驗證.

教師讓學(xué)生做一個三角形紙片，把它的三個角用不同方式拼在一起（如圖2甲、乙），讓學(xué)生觀察三個角拼在一起好像構(gòu)成一個平角.由此“猜想”：三角形三個內(nèi)角之和等于180°.教師再提出疑問:“三角形內(nèi)角和為什么是180°？”問題的提出激發(fā)了學(xué)生的求知欲。在拼圖的過程中，學(xué)生通過觀察不難發(fā)現(xiàn)原因，找到證明的途徑.

圖2

由此可見，實驗不僅產(chǎn)生“猜想”，又為“猜想”的驗證提供了很大的幫助.實踐證明在數(shù)學(xué)教學(xué)中大膽“猜想”，有助于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和求知的欲望，從而增強他們學(xué)好數(shù)學(xué)的信心.

案例3：矩形的判定定理

在教學(xué)矩形的判定定理“對角線相等的平行四邊形是矩形”時，教師可引導(dǎo)學(xué)生通過“矩形的對角線相等”這一性質(zhì)進行“猜想”：對角線相等的四邊形是矩形.討論時，一位同學(xué)認為這個命題是對的，并且畫出圖形給大家看（如圖3）.另一名同學(xué)說：“不行，我畫出的圖形不一樣（如圖4）.圖4是等腰梯形，它的兩條對角線也相等，但不是矩形.”通過討論學(xué)生最后得出“對角線相等的四邊形是矩形”的結(jié)論不成立。教師又引導(dǎo)學(xué)生“猜想”：“如果我們把四邊形改成平行四邊形呢？”學(xué)生討論了一下找不出反例。接著，教師引導(dǎo)學(xué)生來證明這個“猜想”。

圖3

圖4

通過驗證，教師和學(xué)生辨別出兩個命題的真假，雖然“對角線相等的四邊形是矩形”這一“猜想”被否決了，但是它可以讓學(xué)生更牢固地掌握矩形的判定方法——“對角線相等的平行四邊形是矩形”.

二、“猜想”在數(shù)學(xué)教學(xué)中有不可忽視的作用

1.“猜想”有助于調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主動性和積極性.通過做實驗產(chǎn)生的“猜想”，是有根由的，不是無緣無故的“瞎猜”.在做實驗的過程中絕大多數(shù)學(xué)生都主動參與了活動，促進了獨立思考、合作交流、反思質(zhì)疑的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣的形成.

2.“猜想”有助于幫助學(xué)生尋求解題的有效途徑，有助于提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，激發(fā)他們的求知欲.很多學(xué)生認為數(shù)學(xué)太難了，枯燥無味.“猜想”可以讓他們在“玩”中“學(xué)”，在“學(xué)”中“玩”，積極參與學(xué)習(xí)活動，讓他們感受到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣，從而激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.通過“猜想”的四個環(huán)節(jié)的層層遞進，教師不僅讓學(xué)生尋找到解題的有效途徑，還激發(fā)了他們的求知欲望.

3.“猜想”有一個主要的環(huán)節(jié)，那就是驗證.驗證時，學(xué)生需要去分析問題、解決問題，親自驗證“猜想”的正確與否.這就讓學(xué)生有了成功的體驗，他們會覺得自己還“行”，從而增強了他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心.

4.“猜想”有助于學(xué)生辨析知識，提高他們的識別能力，增強在學(xué)習(xí)和生活中的判斷能力.在案例3中，雖然有的“猜想”被否決了，但是學(xué)生“牢固”地掌握了矩形的判定方法，從另一個角度幫助他們識別對錯，從而提高了他們的識別能力，讓他們體驗成功與失敗，分享發(fā)現(xiàn)和成果.

5.“猜想”不但有助于提高學(xué)生的邏輯思維能力和空間想象能力，還有助于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)造能力.