顧燕聲

(江蘇省蘇州中學，江蘇蘇州，215007)

1 問題提出

回顧這三年全國新課程卷(2020年山東卷、海南卷，2021年新高考全國Ⅰ卷、Ⅱ卷和2022年新高考全國Ⅰ卷、Ⅱ卷)，不難發(fā)現(xiàn)高考數(shù)學全國卷徹底落實了立德樹人的根本任務，遵循德智體美勞全面發(fā)展要求，貫徹《深化新時代教育評價改革總體方案》，體現(xiàn)了高考改革的要求：一是設置實現(xiàn)情境，發(fā)揮育人作用；二是深化基礎性考查，發(fā)揮選拔功能；三是加強教考銜接，發(fā)揮引導作用[1].同時，這三份試卷試題的閱讀量都較大(以2020年山東卷為最，后兩年有所下降)，題目也很有新意，計算量與思維量也很大，很多學生考完之后都表示試卷難度較大，來不及做完， 那么如何在僅有的兩個小時答題時間內獲得盡可能多的分數(shù)，這就要求學生在考場上講究答題策略，盡可能多地做對基本題目.

高考試卷上的基本題目涉及的知識點有很多，比如集合、復數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列、直線和圓、概率統(tǒng)計等等. 讓筆者最在意的是近三年全國卷中對數(shù)列這個知識點的考查，題目似乎都不難，但是學生做下來的情況并不理想，很多學生沒有在這個知識點上得到應該有的高分. 我不禁疑惑：新課程卷上的數(shù)列究竟考了什么？學生為什么覺得數(shù)列難？如何幫助學生學好數(shù)列？

2 新高考全國卷數(shù)列分析

我們先來看看，新高考全國卷上的數(shù)列考了些什么.

年份題號分值題型知識點2020年山東卷145填空題等差數(shù)列、子數(shù)列問題1812解答題等比數(shù)列、數(shù)列求和2020海南卷145填空題等差數(shù)列、子數(shù)列問題1812解答題等比數(shù)列2021全國Ⅰ卷165填空題(雙空)數(shù)列的遞推關系、數(shù)列求和(錯位相減法)1710解答題數(shù)列的遞推關系、子數(shù)列問題、等差數(shù)列求和2021全國Ⅱ卷125多選題數(shù)列的遞推關系、等差數(shù)列、等比數(shù)列1710解答題等差數(shù)列的通項公式及前n項和2022全國Ⅰ卷1710解答題等差數(shù)列、數(shù)列的遞推關系、數(shù)列求和(裂項求和法)2022全國Ⅱ卷1710解答題等差數(shù)列、等比數(shù)列

新高考全國卷上主要考了這幾類問題：

2.1 源于生活實踐的問題

《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版2020年修訂)》(下簡稱《課標》)中提出，應引導學生通過具體實例，理解等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念、性質和應用.[2]可見，《課標》明確強調了數(shù)學與生活的聯(lián)系，突顯了數(shù)列的應用性.2021年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試Ⅰ卷第16題，就是一道生活中的數(shù)列問題，它是在一個剪紙活動的背景下生成了數(shù)列，需要學生通過理解題目的意思，明白這個折紙活動的實際規(guī)律.考生需要自己推導出數(shù)列中項的變化規(guī)律，進而得到數(shù)列的通項公式. 考查了學生抽象概括和數(shù)學建模的能力. 這道題目是一道雙空的填空題，在以前的江蘇高考卷上是沒有這種題型的，這種題型往往第一空簡單，理解題目意思之后就可以解決，而第二空則需要深入的探究. 比如這道題目，在學生構建出新數(shù)列之后，還需要進行數(shù)列求和運算，考查的是“錯位相減”求和法，這類求和問題是針對{anbn}結構(其中{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列)進行的，本身也是數(shù)列求和中的難點，對學生的計算能力有比較高的要求. 要做好做對這道題，既要有快速理解題意并建立數(shù)學模型的能力，又要有既快又對的數(shù)學計算能力，對學生解決數(shù)列能力的要求是極高的.

2.2 源于數(shù)學內部的問題

(2020·山東卷18)已知公比大于1的等比數(shù)列{an}滿足a2+a4=20，a3=8.

(1) 求{an}的通項公式；

(2) 記bm為{an}在區(qū)間(0，m](m∈N*)中的項的個數(shù)，求數(shù)列{bm}的前100項和S100.

《課標》中還指出，應特別強調數(shù)列作為一類特殊函數(shù)在解決實際問題中的作用，突出等差數(shù)列、等比數(shù)列的本質，引導學生通過類比的方法探索等差數(shù)列與一元一次函數(shù)、等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的聯(lián)系.[2]數(shù)列是特殊的函數(shù)，它的自變量是項數(shù)n，因此通項或者前n項和都是關于正整數(shù)集(或它的有限真子集{1，2，3，…})的函數(shù). 在一些問題中，我們若能將數(shù)列與熟悉的函數(shù)掛鉤，就可以更好地理解問題，更快地解決問題. 例如2020年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試山東卷第18題，該題考查了等比數(shù)列的基本量運算，將已知條件轉化為首項與公比的方程式，從而求出首項與公比，即a1與q，繼而求得數(shù)列的通項公式為an=2n. 在做第(2)小題時，若將數(shù)列與指數(shù)函數(shù)y=2x相聯(lián)系，就能直觀地感覺出這個數(shù)列的增長速度，從而快速地求出區(qū)間(0，m](m∈N*)中的項，通過2的指數(shù)式分析出數(shù)列{bn}的規(guī)律，當2t≤m≤2t+1-1時，{an}在區(qū)間(0，m](m∈N*)中的項的個數(shù)bm=t.正是因為數(shù)列{an}是依附于指數(shù)函數(shù)y=2x這樣的增長結構，才能幫我們確定區(qū)間上限值m的取值情況.

2.3 源于教材內容的問題

(1) 求{an}的通項公式；

《課標》中對數(shù)列遞推關系與數(shù)列的前n項和的掌握也有具體明確的要求，它指出學生要能運用等差數(shù)列、等比數(shù)列解決簡單的實際問題和數(shù)學問題，感受數(shù)學建模的現(xiàn)實意義與應用；能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差(比)關系，并解決相應的問題.[2]例如，2022年普通高等學校招生全通統(tǒng)一考試Ⅰ卷第17題，考了好幾個數(shù)列中的知識點，有數(shù)列前n項和的定義，利用遞推關系求數(shù)列的通項公式以及裂項求和等. 雖然放在解答題的第一題，但是難度卻不低.需要學生在熟練掌握等差(比)數(shù)列的通項公式和前n項和的基礎上，熟練地解決數(shù)學問題，這類題目往往不是直接給出等差數(shù)列或者等比數(shù)列的條件，而是需要學生從數(shù)列的遞推關系中熟練地運用等差或者等比數(shù)列的定義以及性質、求和等. 同時考查了學生的邏輯思維能力、抽象推理能力和數(shù)學運算能力.

不難發(fā)現(xiàn)，以上的三個新課程全國卷的高考題有一個共同點，即都考查了數(shù)列的求和，但不同的是三個題目三種求和. 既有等差、等比數(shù)列求和，還有裂項求和以及錯位相減求和，以及通過枚舉對數(shù)列進行求和.

3 課堂教學的變革

高考數(shù)學從江蘇卷到全國卷在針對數(shù)列這個知識點的考查是有重大變化的，以前學生面對江蘇卷的數(shù)列多以放棄的態(tài)度面對，有時能夠完成第一小題已經(jīng)很不錯了.熟悉江蘇卷的老師都知道，數(shù)列往往安排在試卷的倒數(shù)第二題或者最后一題，學生本身對數(shù)列存在恐懼和畏難心理，加上2個小時答題時間的限制，往往不能很好地思考和完成數(shù)列題目. 但是數(shù)列在全國卷中的位置已經(jīng)被大大提前，常常出現(xiàn)在解答題的第一題或者第二題，與江蘇卷相比難度確實有所下降，但是不論是對數(shù)列知識點的考查，還是對學生思考數(shù)列問題的能力、解答數(shù)列問題技巧的考查都沒有非常簡單. 學生有時在數(shù)列問題上的得分仍舊不理想，這大概是因為數(shù)列本身變化形式巧妙、考點繁多，部分學生也因此在心理上對數(shù)列產(chǎn)生畏難情緒，學習興趣低，成績就很難得到提升.

當數(shù)列成為高考試卷的得分重頭時，我們老師就必須幫助學生學好數(shù)列，拿到高考試卷上數(shù)列知識點的分數(shù). 我覺得可以從以下幾方面著手：

3.1 把握課改方向，培養(yǎng)學生學習興趣

新課改下，教師應立足于整體構建多元化的評價體系，并促使學生自身綜合素養(yǎng)提升，奠定夯實的基礎. 在高中數(shù)學的課堂教學中，教師需將新高考當做探究方向，依據(jù)《課標》和新教材，引導學生全面深入地學習教材中的各個知識點. 課本中對數(shù)列的研究多源于現(xiàn)實生產(chǎn)、生活的需要，教師在課堂中引導學生從具體事例出發(fā)，可以直觀地幫助學生理解數(shù)列的概念，等差、等比數(shù)列，數(shù)列的前n項和等具體知識點. 在獲得了這些知識以后，老師還可以帶領學生研究稍微復雜一些的經(jīng)典數(shù)列，例如在斐波那契數(shù)列中體會遞推的精妙，在“分形”問題中感受圖形美妙的同時體會特殊數(shù)列的趣味. 與之前蘇教版課本不同，人教版課本中提出了“垛積術”的問題，這是中國古代許多著名的數(shù)學家推導高階等差數(shù)列作出的研究貢獻. 在這樣的學習環(huán)境下，學生感受到了數(shù)列知識的豐富與美妙，并自主完了一場又一場數(shù)學建模，實現(xiàn)了《課標》中數(shù)列與實際生活的聯(lián)系，提升了學生的數(shù)學抽象、數(shù)學運算和邏輯推理能力.

筆者在此以“科赫雪花曲線”為例，與大家共同感受一下“分形”與數(shù)列的結合的魅力.

例1如圖是瑞典數(shù)學家科赫在1904年構造的能夠描述雪花形狀的圖案，如圖1有一個正三角形，按如下規(guī)則可以作出一個新的圖形：將每邊三等分，然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形，再去掉底邊，得到一個六角星，如圖2所示. 然后反復進行這一過程，就得到一條“雪花”狀的曲線. 若圖1中正三角形的邊長為1，則圖n中的曲線的周長為(用n表示)；若圖1中正三角形面積為1，則圖n中的曲線的面積為(用n表示).

圖1

圖2

圖3

圖4

【思路分析】 設“雪花曲線”第n張圖的邊長為an，邊數(shù)為bn(b1=3)，周長為cn，面積為Sn.

第n張圖的邊數(shù)是第n-1張圖邊數(shù)的4倍，即bn=4bn-1，

所以數(shù)列{bn}是首項為3，公比為4的等比數(shù)列，bn=3×4n-1.

(2) 第n張圖的面積是在第n-1張圖的基礎上增加，增加了若干個正三角形，這些正三角形的邊長為an，增加的正三角形個數(shù)是第n-1張圖的邊數(shù)，即bn-1，

累加求和得，

Sn=S1+(S2-S1)+(S3-S2)+…+(Sn-1-Sn-2)+(Sn-Sn-1)

【素養(yǎng)回顧】 本題旨在研究著名的“科赫雪花曲線”，這組圖形每次的變化主要是邊長與邊數(shù)的變化，并且這個變化中蘊含著等比數(shù)列的關系.教師如能在課堂上多與學生一同探討著名的數(shù)學問題，必定能激發(fā)起學生學習的興趣，讓學生感受到學有所用.在解決這個問題的過程中，提升了學生的等比數(shù)列通項與求和知識的掌握與運用，考查了學生抽象思維能力和推理演算能力.最后，教師還可以進一步引導學生歸納總結:隨著分形的深入，曲線的周長越來越大，其面積也趨向一個定值，使學生感悟到極限思想，提升他們的歸納推理這一理性思維品質.

3.2 立足課本內容，夯實基本概念與基礎知識

高中數(shù)學課程應該返璞歸真，努力揭示數(shù)學概念、定理的發(fā)展過程和本質.[3]在數(shù)列新授課的教學中，老師一定要多關注概念的解讀與概念的結果.在數(shù)列知識點中涉及以下幾個概念：數(shù)列的定義、數(shù)列的通項公式、數(shù)列的遞推關系以及數(shù)列的前n項和. 教學時，我們不能圖快，直接將概念和定義拋給學生，而是最好要讓學生自己從具體的問題中進行總結歸納，自動生成，老師要做的是引導和補充完善，這樣形成的概念是鮮活的，容易理解和記憶的. 概念形成之后，用好課本例題也很重要，這個可以幫助學生鞏固所學知識點. 教師要用好課本中的引入和例題，充分理解課本呈現(xiàn)的邏輯線索，幫助學生把握核心概念產(chǎn)生的順序，讓概念從合理變?yōu)樽匀?，學生的學習體驗感才強，概念學習的興趣才濃.[4]筆者在此處與大家分享一道著重考查數(shù)列概念的題目.

A.an=n

C.b1+b2+…+b100=5 050

D.c1+c2+c3+…+c1 000=1 893

由于bn=(-1)nn2，所以b2k-1+b2k=(2k)2-(2k-1)2=4k-1，所以b1+b2+…+b100=(b1+b2)+(b3+b4)+…+(b99+b100)=4(1+2+…+50)-50=5 050，故C正確；

因為cn=[lgn]，所以當1≤n≤9時，cn=0；當10≤n≤99時，cn=1；當100≤n≤999時，cn=2;當n=1 000時，c1 000=3，因此c1+c2+…+c1 000=9×0+90×1+900×2+3=1 893，故D正確.

【素養(yǎng)回顧】 本題考查了等差數(shù)列的通項公式、前n項和以及數(shù)列的奇偶問題、高斯函數(shù)在數(shù)列上的應用等方面，知識充分體現(xiàn)了多選題一個題目多個考點的特色，選項難度層層遞進，要做好這類問題必須循序漸進，一個選項一個選項地完成好才能拿到多選題的全分. 這就要求學生必須牢固掌握每一個所學知識點，不管題目從哪個方面考查，都能得心應手. 像這樣遞進式地練習，可以培養(yǎng)學生思維的深刻性和廣闊性，從而能做到舉一反三，“百變不驚”.

3.3 進行有效訓練，善于利用變式訓練的功能

在掌握好數(shù)列的概念之后，教師才可以帶領學生進行解題訓練，在解題訓練的過程中，采用變式訓練的形式可以幫助學生深入理解問題. 變式訓練，可以是變換題目的一個或者多個條件、可以是變換題目的問題、可以將具體問題變成特殊問題、還可以引入字母參數(shù)等方式. 進行變式訓練可以幫助學生全方位地分析知識點，在不斷強化學生思維水平的同時開闊學生的解題思路，使得學生能夠自覺主動地進行知識點遷移. 學生在考試遇到問題時，可以自然地從多角度思考和解決問題. 變題訓練是對學生發(fā)散性思維的培養(yǎng)，可以使思維的深刻性、廣闊性和嚴謹性得到提升.

比如針對例3，2022·全國Ⅰ卷第17題，我們可以用以下變式幫助學生進行鞏固：

例3已知正項數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1=3，a2n+1=4(Sn+n).

(1) 求數(shù)列{an}的通項公式；

由于a2-a1=1≠2，所以數(shù)列{an}從第二項開始是公差為2的等差數(shù)列，當n≥2時，an=4+(n-2)×2=2n，

【素養(yǎng)回顧】本題與2022年全國Ⅰ卷的第17題有極大的相似性，都考察了數(shù)列的遞推求通項和數(shù)列的裂項求和內容，不同的是本題中數(shù)列{an}的第一項不符合n≥2時的通項公式，這需要我們在解題時格外小心，因為這會影響到第(2)小題中數(shù)列{bn}的求和，要注意到首相是需要單獨考慮的. 本題在考查學生邏輯推理與數(shù)學計算能力的同時，考查了分類討論思想與理性思維方式.

隨著越來越多的省份參與到新高考全國卷中來，我們的課堂教學必須更有針對性，充分指導好學生，用正確的方法面對新高考，加深對知識點的認識，提升解決問題的能力，增強突破困難的決心.