廉換霞,林新潮
(福建省莆田第一中學(xué),福建莆田,351100)
平面解析幾何是用代數(shù)的方法研究它們的幾何性質(zhì),體現(xiàn)了形與數(shù)的結(jié)合,重點提升學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng),可見其重要性.所以,在每年高考全國卷的六道解答題中必有一道是解析幾何.近幾年高考中,常出現(xiàn)以斜率和或積為定值來探究直線過定點的問題.本文以三道高考題為例進行分析,并用齊次化聯(lián)立的方法進行解答,以尋求此類問題統(tǒng)一的解決方法和思路.
(1) 求橢圓C的方程;
(2) 設(shè)直線l不經(jīng)過P2點且與C相交于A,B兩點,若直線P2A,P2B的斜率之和為-1,證明:直線l過定點.
評注:本題利用齊次化聯(lián)立來求解,相對于常規(guī)解法,大大減少了計算量,且具有模式化的解答過程,可以提升學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).這里充分利用了直線經(jīng)過平移不改變斜率的特性.本題的特點是有圓錐曲線上一定點P2,若兩直線P2A,P2B的斜率和為定值,則直線AB過定點.那么有無更一般的結(jié)論呢?具體可參考林炳宗[1]等人的論文.該幾何模型的特點是有圓錐曲線上一定點,兩直線的斜率和或積為定值與直線過定點的等價關(guān)系.
(1) 當a2d-b2≠0時,
(1) 求C的方程:
(2) 點M,N在C上,且AM⊥AN,AD⊥MN,D為垂足.證明:存在定點Q,使得|DQ|為定值.
思路分析:本題已知AM⊥AN,我們可將幾何關(guān)系代數(shù)化為kAM·kAN=-1.從而有橢圓上一定點(A),兩直線(AM,AN)的斜率積為定值,符合我們研究的幾何模型,解題思路就為推證直線MN過定點,并求出定點P坐標,又AD⊥DP,所以D在以AP為直徑的圓上,得點Q為圓心,|DQ|為圓的半徑.
即x2+2y2+4x+4y=0,點A、M、N平移后為A′(0,0),M′,N′.直線M′N′不經(jīng)過原點,可設(shè)其方程為mx+ny=1,代入橢圓方程有x2+2y2+(4x+4y)(mx+ny)=0即(1+4m)x2+(2+4n)y2+4(m+n)xy=0.
所以圓錐曲線平移后所得方程,對“x”是“左加右減”,對“y”是“下加上減”.
(1) 求E的方程;
(2) 證明:直線CD過定點.
思路分析:點C在橢圓上,A,B為左右頂點,由橢圓第三定義,可得所以我們連接BC,從而有橢圓上一定點B,考慮兩直線BC,BD的斜率積是否為定值.驚喜地發(fā)現(xiàn)kPB=3kPA,通過kCA橋梁關(guān)系,可得BC與BD的斜率積為定值,符合我們研究的幾何模型,進而推證直線CD過定點.
(2) 證明:點P在定直線x=6上,可設(shè)P(6,y0) .
又A,B為x軸上定點,A(-3,0),B(3,0)
點C在橢圓上,A,B為左右頂點,有
評注:此種解題方法在于,先去思考是否符合我們的幾何模型,可以提升學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).以后在我們解答圓錐曲線定點問題時,可以考慮先找曲線上一定點,若由其出發(fā)的兩直線的斜率和或積為定值,則可按此模型推證直線過定點,為廣大考生提供一種解題的思路.