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        齊次化聯(lián)立解決高考中與斜率和積有關(guān)的定點(diǎn)問題

        2022-10-17 10:58:18廉換霞林新潮
        數(shù)學(xué)之友 2022年15期
        關(guān)鍵詞:定值斜率定點(diǎn)

        廉換霞,林新潮

        (福建省莆田第一中學(xué),福建莆田,351100)

        平面解析幾何是用代數(shù)的方法研究它們的幾何性質(zhì),體現(xiàn)了形與數(shù)的結(jié)合,重點(diǎn)提升學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng),可見其重要性.所以,在每年高考全國卷的六道解答題中必有一道是解析幾何.近幾年高考中,常出現(xiàn)以斜率和或積為定值來探究直線過定點(diǎn)的問題.本文以三道高考題為例進(jìn)行分析,并用齊次化聯(lián)立的方法進(jìn)行解答,以尋求此類問題統(tǒng)一的解決方法和思路.

        (1) 求橢圓C的方程;

        (2) 設(shè)直線l不經(jīng)過P2點(diǎn)且與C相交于A,B兩點(diǎn),若直線P2A,P2B的斜率之和為-1,證明:直線l過定點(diǎn).

        評注:本題利用齊次化聯(lián)立來求解,相對于常規(guī)解法,大大減少了計算量,且具有模式化的解答過程,可以提升學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).這里充分利用了直線經(jīng)過平移不改變斜率的特性.本題的特點(diǎn)是有圓錐曲線上一定點(diǎn)P2,若兩直線P2A,P2B的斜率和為定值,則直線AB過定點(diǎn).那么有無更一般的結(jié)論呢?具體可參考林炳宗[1]等人的論文.該幾何模型的特點(diǎn)是有圓錐曲線上一定點(diǎn),兩直線的斜率和或積為定值與直線過定點(diǎn)的等價關(guān)系.

        (1) 當(dāng)a2d-b2≠0時,

        (1) 求C的方程:

        (2) 點(diǎn)M,N在C上,且AM⊥AN,AD⊥MN,D為垂足.證明:存在定點(diǎn)Q,使得|DQ|為定值.

        思路分析:本題已知AM⊥AN,我們可將幾何關(guān)系代數(shù)化為kAM·kAN=-1.從而有橢圓上一定點(diǎn)(A),兩直線(AM,AN)的斜率積為定值,符合我們研究的幾何模型,解題思路就為推證直線MN過定點(diǎn),并求出定點(diǎn)P坐標(biāo),又AD⊥DP,所以D在以AP為直徑的圓上,得點(diǎn)Q為圓心,|DQ|為圓的半徑.

        即x2+2y2+4x+4y=0,點(diǎn)A、M、N平移后為A′(0,0),M′,N′.直線M′N′不經(jīng)過原點(diǎn),可設(shè)其方程為mx+ny=1,代入橢圓方程有x2+2y2+(4x+4y)(mx+ny)=0即(1+4m)x2+(2+4n)y2+4(m+n)xy=0.

        所以圓錐曲線平移后所得方程,對“x”是“左加右減”,對“y”是“下加上減”.

        (1) 求E的方程;

        (2) 證明:直線CD過定點(diǎn).

        思路分析:點(diǎn)C在橢圓上,A,B為左右頂點(diǎn),由橢圓第三定義,可得所以我們連接BC,從而有橢圓上一定點(diǎn)B,考慮兩直線BC,BD的斜率積是否為定值.驚喜地發(fā)現(xiàn)kPB=3kPA,通過kCA橋梁關(guān)系,可得BC與BD的斜率積為定值,符合我們研究的幾何模型,進(jìn)而推證直線CD過定點(diǎn).

        (2) 證明:點(diǎn)P在定直線x=6上,可設(shè)P(6,y0) .

        又A,B為x軸上定點(diǎn),A(-3,0),B(3,0)

        點(diǎn)C在橢圓上,A,B為左右頂點(diǎn),有

        評注:此種解題方法在于,先去思考是否符合我們的幾何模型,可以提升學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).以后在我們解答圓錐曲線定點(diǎn)問題時,可以考慮先找曲線上一定點(diǎn),若由其出發(fā)的兩直線的斜率和或積為定值,則可按此模型推證直線過定點(diǎn),為廣大考生提供一種解題的思路.

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