舒美清

(長興縣龍山中學，浙江 長興 313100)

數(shù)學問題的解決過程可以有效促進學生掌握知識和方法，同時反饋學生的知識疑難點和方法疑難處.波利亞的《怎樣解題：數(shù)學思維的新方法》告訴我們：解題是一種實踐性的技能，我們可以通過模仿和實踐來學會任何一種實踐性技能.在學習解題方法時，我們首先應觀察和模仿別人解題時的做法，然后通過解題而學會解題.因此，要想提高學生的解題能力，必須給予其足夠的機會去模仿和實踐[1].

在“雙減”背景下，如何做到既能提升學生的解題能力，又能減輕學生過重的作業(yè)負擔，是教師們值得深入思考的問題.教師提供給學生完備的學習過程，引導學生進行知識歸納和方法梳理，設計符合學生認知特點的教學，這些都是提升學生學習能力和減輕課業(yè)負擔的有效方法.因此，巧借錯題揭示問題的本質，拓展學生解決問題的思路，才能構建有效課堂，從而提高學生的學習效率.

本文以一個數(shù)軸距離問題為例，從學生的錯誤點入手，幫助學生進一步理解數(shù)軸上兩點之間的距離，鞏固所學知識，并通過類型問題的歸納，幫助學生找到解決這類問題的有效方法，使其體驗不同問題解法過程的共性特點.

1 呈現(xiàn)原題解答錯誤，分析錯誤原因

原題如圖1，在數(shù)軸上，點B與點C到點A的距離相等，A、B兩點對應的實數(shù)分別是1和則點C對應的實數(shù)是________.

圖1 題圖Fig.1 Problem analysis diagram

關于該題，學生的解答錯誤比較多，主要體現(xiàn)在以下幾個方面：

(1) 沒有解題思路，無法對問題進行解答；

(3) 由于對符號的忽視，造成對距離與數(shù)的轉化不到位.

學生出現(xiàn)這一系列問題，說明其對數(shù)軸上的距離問題不理解，不能抓住數(shù)軸上的距離特征.通過錯誤結果的呈現(xiàn)，讓學生重新認識問題，這既符合學生的認知規(guī)律，又易發(fā)揮學生的主體參與意識.同時，引導學生分析錯誤的原因，并對錯誤結果進行再思考，從而提升再學習的效果.

2 理解數(shù)軸上的距離，歸納解題方法

數(shù)形結合是解決數(shù)學問題的一種重要手段和方法.數(shù)軸上點與實數(shù)一一對應的特征，很好地將數(shù)與形進行了完美的結合[2].數(shù)軸不僅能有效體現(xiàn)數(shù)與形的對應關系，還能直觀表示兩個實數(shù)點之間的距離.因此，解決數(shù)軸上的距離問題，首先要明確數(shù)軸上每一個數(shù)所表達的距離特點，其次要明確每一個距離所表示的數(shù).利用數(shù)軸的特征，不僅能幫助學生形成距離的概念，還能培養(yǎng)學生利用數(shù)形結合解決問題的思維[3-4].

理解數(shù)軸上距離的概念，是對知識的回顧和思考.只有回歸到學生的知識起點，激活學生對已有知識的再認知，才能發(fā)揮學生的主體意識，讓學生在探究活動中體現(xiàn)主動性，從而將學生的零散知識進行有效整合，使其達到知識全面化、方法統(tǒng)一化、思維系統(tǒng)化.

問題1(知識點)：如圖2中的①、②、③，根據(jù)圖中A、B兩點表示的數(shù)，說出這兩點之間的距離.

圖2 題圖Fig.2 Problem analysis diagram

在教學中，教師可通過利用數(shù)軸上點的具體數(shù)值，引導學生利用點A和點B的數(shù)值求出A、B之間的距離，并體會數(shù)軸上兩點之間距離的求解方法.問題的設計既關注了數(shù)的特征和相應點位置的變化，也注重了數(shù)與點位置變化的層次性.

在學生求解完畢后，教師可引導學生歸納求解方法，并將問題一般化，以達到方法的及時類比和遷移，從而使學生的學習邁向新臺階.

問題2(知識點)：如圖3中的④、⑤、⑥，根據(jù)圖中A、B兩點表示的數(shù)，說出這兩點之間的距離.

圖3 題圖Fig.3 Problem analysis diagram

將知識點的具體性問題，通過類比的方法給出一組字母類型的題組，從而轉化為一般性問題.讓學生經(jīng)歷由特殊性到一般性、由已知量到未知量的思維探究過程，并在探究過程中獲得解決問題方法的共性點，體驗解法的相通之處.在實際教學中，通過學生的探究和交流，得出數(shù)軸上任意兩點之間的距離為數(shù)軸上兩點所表示數(shù)的差的絕對值，即|AB|=|b-a|=|a-b|.

問題3(解決原題)：如圖4，在數(shù)軸上，點B與點C到點A的距離相等，A、B兩點對應的實數(shù)分別是1和則點C對應的實數(shù)是________.

圖4 題圖Fig.4 Problem analysis diagram

分析由題目條件又因為|AB|=|AC|，所以由此所以點C表示的實數(shù)是

學生借助數(shù)軸上兩點之間距離的計算方法AB=|b-a|=|a-b|，很容易求出A、B兩點之間的距離，從而得出A、C兩點之間的距離.在教學中，教師可進一步幫助學生形成 “如何將距離轉化到數(shù)”的思路，引導學生思考：①已知AC的距離，將點A怎樣移動才能得到點C？②向右移動可以利用什么運算？③得到怎樣的算式，點C表示的數(shù)是多少？學生在教師的引導下，借助數(shù)軸上的距離特點和加法運算，求出點C表示的數(shù)，并歸納方法：找距離、尋關系、列算式、得答案.由此，學生就有了明確的解題思路和方法，且在后續(xù)的學習中也能感悟不同問題的共性解法.

3 解決數(shù)軸上的距離問題，拓展解題方法

在前一環(huán)節(jié)，教師對學生求解數(shù)軸上兩點之間距離的方法進行了提煉，并幫助學生鞏固方法，提升其解決問題的能力.事實上，學生對知識的理解程度如何？方法的運用能力如何？正確率多高？都必須通過學生解決問題才能有效地反饋.學生及時進行模仿和操作，能有效地幫助其形成這一類問題的正確解法.

筆者設計以下3個問題，通過這一組題，一方面是為檢測學生的學習效果，及時了解學生對方法的理解程度；另一方面是為及時幫助學生掌握方法，并為后續(xù)方法的鞏固和思維的形成作鋪墊.

問題1如圖5，在數(shù)軸上，點B與點C到點A的距離相等，A、C兩點對應的實數(shù)分別是1和則點B對應的實數(shù)是________.

圖5 題圖Fig.5 Problem analysis diagram

分析由題目條件又因為|AB|=|AC|，所以由此所以點B表示的實數(shù)是

問題2如圖6，在數(shù)軸上，點A與點B表示的數(shù)分別是10和-2，在點A、B間插入點C和點D，使這4個點每相鄰的兩個點之間的距離相等，則點C、D對應的實數(shù)分別是________.

圖6 題圖Fig.6 Problem analysis diagram

分析由題目條件|AB|=|10-(-2)|=12，又因為|AD|=|DC|=|CB|，所以|AD|=4，|DC|=4，|CB|=4，所以點C、D表示的實數(shù)是2和6.

問題3如圖7，在數(shù)軸上，點A與點B表示的數(shù)分別是6和在點A、B間插入點C，使點C到點A的距離是點C到點B距離的2倍，則點C對應的實數(shù)是________.

圖7 題圖Fig.7 Problem analysis diagram

分析由題目條件又因為|AC|=2|BC|，|AC|+|BC|=|AB|,所以由此所以點C表示的實數(shù)是

問題類型的類比化，有助于幫助學生更好地思考問題、解決問題、鞏固方法，從而達到對問題解法的通性通法.

針對問題1，教師可要求學生在解決原題的基礎上直接求解.針對問題2和問題3，教師在課堂上并不是讓學生直接求解，而是要學生將其與問題1進行類比，引導學生找到這兩個問題與問題1的不同之處和相同之處.問題1是距離的2等分，問題2是距離的3等分，如何將2等分問題轉化為3等分問題，其實質是將點向右(或向左)進行2次等距離的移動，這樣可使學生利用已掌握的方法求出結果.將問題3與問題2進行類比，引導學生理解距離的2倍關系，讓學生根據(jù)已有的學習經(jīng)驗將AC等分，從而轉化為類似問題2的問題，進一步感受解法的共性美.

4 拓展數(shù)軸上的距離，方法類比遷移

數(shù)學問題的解決在于能將問題進行有效拓展，使學生通過模仿解題形成良性的思維拓展.學生通過類比解決問題，還需具有“跳一跳”再解決問題的思路.在教學中，教師應拓展學生思維的廣度和深度，讓學生在思維拓展中有效地解決問題，并感悟得一法通一類，從而體現(xiàn)解法在類型問題解決上的優(yōu)勢.

問題1如圖8，點A在數(shù)軸上表示的數(shù)是一個邊長為1的正方形的頂點與點A重合，開始沿著數(shù)軸向左無滑動的滾動一周到達點B，則點B表示的數(shù)是________.

圖8 題圖Fig.8 Problem analysis diagram

分析由題目條件正方形向左無滑動滾動一周，即點A向左平移正方形周長的距離，所以|AB|=4，由此所以點B表示的實數(shù)是

問題2如圖9，在半徑為2的圓上，點A與表示數(shù)5的點重合，從點A開始沿著數(shù)軸向左無滑動地滾動一周，滾動一周后到達點B，則點B表示的數(shù)是________(用含π的代數(shù)式表示).

圖9 題圖Fig.9 Problem analysis diagram

分析本題類似上一題，相當于向左平移的距離是圓的周長.所以點B表示的實數(shù)是5-4π.

問題的提升，需考慮到學生思維的立足點和問題的關聯(lián)度.針對問題1和問題2，學生應先尋找移動的距離，然后根據(jù)距離列出相應的算式，最終求出正確結果.這兩個問題雖然難度不大，但仍需要一個思維的形成和轉變的過程.

問題3如圖10，在半徑為2的圓上，點A與表示數(shù)3的點重合，從點A開始沿著數(shù)軸向左無滑動滾動一周，滾動一周后與數(shù)軸上點B的距離為2，則點B表示的數(shù)是________(用含π的代數(shù)式表示).

圖10 題圖Fig.10 Problem analysis diagram

分析由題目條件,向左滾動1周相當于向左平移的距離是圓的周長，而點A運動后的終點可能在點B的左側或右側,因而對點A的情況要分類求解.若點A的終點在點B的右側，則點B表示的數(shù)是1-4π；若點A的終點在點B的左側，則點B表示的數(shù)是5-4π.

問題3與問題1和問題2類似，但由于點B的不確定性，因此需要進行分類討論.考慮運動后點A的最終位置在點B的左側還是右側，進而根據(jù)距離關系的共性解法求得點B表示的數(shù).

以上這組題涉及：直線型和曲線型運動產(chǎn)生的距離；圖形滾動的路程與移動距離的關系；圖形的周長與兩點間距離的關系.在教學中，教師可引導學生將此題與前一組問題進行類比，讓學生發(fā)現(xiàn)在距離上表述的不同之處，感悟解法的共性之處.

5 結 語

本文從學生的錯題入手，在知識梳理中體現(xiàn)學生探究結論的思維過程，在問題解決中體現(xiàn)解法共性的探究.教師在設計小專題課時，對知識點的再梳理和再探究尤為重要.教師應重視學生在知識理解上的困難和在問題解決上的方法不足，重視學生的障礙點，做到由淺入深、由易到難，重視方法的類比和遷移，既要做到對方法的鞏固和運用，又要讓學生感悟題變而法不變.通過問題的層層遞進和解法的靈活運用，體現(xiàn)同一解法在不同問題中的運用，精準有效地培養(yǎng)學生的解題能力，強化學生的思維能力.