舒美清

(長興縣龍山中學(xué)，浙江 長興 313100)

數(shù)學(xué)問題的解決過程可以有效促進(jìn)學(xué)生掌握知識和方法，同時反饋學(xué)生的知識疑難點(diǎn)和方法疑難處.波利亞的《怎樣解題：數(shù)學(xué)思維的新方法》告訴我們：解題是一種實(shí)踐性的技能，我們可以通過模仿和實(shí)踐來學(xué)會任何一種實(shí)踐性技能.在學(xué)習(xí)解題方法時，我們首先應(yīng)觀察和模仿別人解題時的做法，然后通過解題而學(xué)會解題.因此，要想提高學(xué)生的解題能力，必須給予其足夠的機(jī)會去模仿和實(shí)踐[1].

在“雙減”背景下，如何做到既能提升學(xué)生的解題能力，又能減輕學(xué)生過重的作業(yè)負(fù)擔(dān)，是教師們值得深入思考的問題.教師提供給學(xué)生完備的學(xué)習(xí)過程，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行知識歸納和方法梳理，設(shè)計符合學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)的教學(xué)，這些都是提升學(xué)生學(xué)習(xí)能力和減輕課業(yè)負(fù)擔(dān)的有效方法.因此，巧借錯題揭示問題的本質(zhì)，拓展學(xué)生解決問題的思路，才能構(gòu)建有效課堂，從而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率.

本文以一個數(shù)軸距離問題為例，從學(xué)生的錯誤點(diǎn)入手，幫助學(xué)生進(jìn)一步理解數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離，鞏固所學(xué)知識，并通過類型問題的歸納，幫助學(xué)生找到解決這類問題的有效方法，使其體驗(yàn)不同問題解法過程的共性特點(diǎn).

1 呈現(xiàn)原題解答錯誤，分析錯誤原因

原題如圖1，在數(shù)軸上，點(diǎn)B與點(diǎn)C到點(diǎn)A的距離相等，A、B兩點(diǎn)對應(yīng)的實(shí)數(shù)分別是1和則點(diǎn)C對應(yīng)的實(shí)數(shù)是________.

圖1 題圖Fig.1 Problem analysis diagram

關(guān)于該題，學(xué)生的解答錯誤比較多，主要體現(xiàn)在以下幾個方面：

(1) 沒有解題思路，無法對問題進(jìn)行解答；

(3) 由于對符號的忽視，造成對距離與數(shù)的轉(zhuǎn)化不到位.

學(xué)生出現(xiàn)這一系列問題，說明其對數(shù)軸上的距離問題不理解，不能抓住數(shù)軸上的距離特征.通過錯誤結(jié)果的呈現(xiàn)，讓學(xué)生重新認(rèn)識問題，這既符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，又易發(fā)揮學(xué)生的主體參與意識.同時，引導(dǎo)學(xué)生分析錯誤的原因，并對錯誤結(jié)果進(jìn)行再思考，從而提升再學(xué)習(xí)的效果.

2 理解數(shù)軸上的距離，歸納解題方法

數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要手段和方法.數(shù)軸上點(diǎn)與實(shí)數(shù)一一對應(yīng)的特征，很好地將數(shù)與形進(jìn)行了完美的結(jié)合[2].數(shù)軸不僅能有效體現(xiàn)數(shù)與形的對應(yīng)關(guān)系，還能直觀表示兩個實(shí)數(shù)點(diǎn)之間的距離.因此，解決數(shù)軸上的距離問題，首先要明確數(shù)軸上每一個數(shù)所表達(dá)的距離特點(diǎn)，其次要明確每一個距離所表示的數(shù).利用數(shù)軸的特征，不僅能幫助學(xué)生形成距離的概念，還能培養(yǎng)學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合解決問題的思維[3-4].

理解數(shù)軸上距離的概念，是對知識的回顧和思考.只有回歸到學(xué)生的知識起點(diǎn)，激活學(xué)生對已有知識的再認(rèn)知，才能發(fā)揮學(xué)生的主體意識，讓學(xué)生在探究活動中體現(xiàn)主動性，從而將學(xué)生的零散知識進(jìn)行有效整合，使其達(dá)到知識全面化、方法統(tǒng)一化、思維系統(tǒng)化.

問題1(知識點(diǎn))：如圖2中的①、②、③，根據(jù)圖中A、B兩點(diǎn)表示的數(shù)，說出這兩點(diǎn)之間的距離.

圖2 題圖Fig.2 Problem analysis diagram

在教學(xué)中，教師可通過利用數(shù)軸上點(diǎn)的具體數(shù)值，引導(dǎo)學(xué)生利用點(diǎn)A和點(diǎn)B的數(shù)值求出A、B之間的距離，并體會數(shù)軸上兩點(diǎn)之間距離的求解方法.問題的設(shè)計既關(guān)注了數(shù)的特征和相應(yīng)點(diǎn)位置的變化，也注重了數(shù)與點(diǎn)位置變化的層次性.

在學(xué)生求解完畢后，教師可引導(dǎo)學(xué)生歸納求解方法，并將問題一般化，以達(dá)到方法的及時類比和遷移，從而使學(xué)生的學(xué)習(xí)邁向新臺階.

問題2(知識點(diǎn))：如圖3中的④、⑤、⑥，根據(jù)圖中A、B兩點(diǎn)表示的數(shù)，說出這兩點(diǎn)之間的距離.

圖3 題圖Fig.3 Problem analysis diagram

將知識點(diǎn)的具體性問題，通過類比的方法給出一組字母類型的題組，從而轉(zhuǎn)化為一般性問題.讓學(xué)生經(jīng)歷由特殊性到一般性、由已知量到未知量的思維探究過程，并在探究過程中獲得解決問題方法的共性點(diǎn)，體驗(yàn)解法的相通之處.在實(shí)際教學(xué)中，通過學(xué)生的探究和交流，得出數(shù)軸上任意兩點(diǎn)之間的距離為數(shù)軸上兩點(diǎn)所表示數(shù)的差的絕對值，即|AB|=|b-a|=|a-b|.

問題3(解決原題)：如圖4，在數(shù)軸上，點(diǎn)B與點(diǎn)C到點(diǎn)A的距離相等，A、B兩點(diǎn)對應(yīng)的實(shí)數(shù)分別是1和則點(diǎn)C對應(yīng)的實(shí)數(shù)是________.

圖4 題圖Fig.4 Problem analysis diagram

分析由題目條件又因?yàn)閨AB|=|AC|，所以由此所以點(diǎn)C表示的實(shí)數(shù)是

學(xué)生借助數(shù)軸上兩點(diǎn)之間距離的計算方法AB=|b-a|=|a-b|，很容易求出A、B兩點(diǎn)之間的距離，從而得出A、C兩點(diǎn)之間的距離.在教學(xué)中，教師可進(jìn)一步幫助學(xué)生形成 “如何將距離轉(zhuǎn)化到數(shù)”的思路，引導(dǎo)學(xué)生思考：①已知AC的距離，將點(diǎn)A怎樣移動才能得到點(diǎn)C？②向右移動可以利用什么運(yùn)算？③得到怎樣的算式，點(diǎn)C表示的數(shù)是多少？學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，借助數(shù)軸上的距離特點(diǎn)和加法運(yùn)算，求出點(diǎn)C表示的數(shù)，并歸納方法：找距離、尋關(guān)系、列算式、得答案.由此，學(xué)生就有了明確的解題思路和方法，且在后續(xù)的學(xué)習(xí)中也能感悟不同問題的共性解法.

3 解決數(shù)軸上的距離問題，拓展解題方法

在前一環(huán)節(jié)，教師對學(xué)生求解數(shù)軸上兩點(diǎn)之間距離的方法進(jìn)行了提煉，并幫助學(xué)生鞏固方法，提升其解決問題的能力.事實(shí)上，學(xué)生對知識的理解程度如何？方法的運(yùn)用能力如何？正確率多高？都必須通過學(xué)生解決問題才能有效地反饋.學(xué)生及時進(jìn)行模仿和操作，能有效地幫助其形成這一類問題的正確解法.

筆者設(shè)計以下3個問題，通過這一組題，一方面是為檢測學(xué)生的學(xué)習(xí)效果，及時了解學(xué)生對方法的理解程度；另一方面是為及時幫助學(xué)生掌握方法，并為后續(xù)方法的鞏固和思維的形成作鋪墊.

問題1如圖5，在數(shù)軸上，點(diǎn)B與點(diǎn)C到點(diǎn)A的距離相等，A、C兩點(diǎn)對應(yīng)的實(shí)數(shù)分別是1和則點(diǎn)B對應(yīng)的實(shí)數(shù)是________.

圖5 題圖Fig.5 Problem analysis diagram

分析由題目條件又因?yàn)閨AB|=|AC|，所以由此所以點(diǎn)B表示的實(shí)數(shù)是

問題2如圖6，在數(shù)軸上，點(diǎn)A與點(diǎn)B表示的數(shù)分別是10和-2，在點(diǎn)A、B間插入點(diǎn)C和點(diǎn)D，使這4個點(diǎn)每相鄰的兩個點(diǎn)之間的距離相等，則點(diǎn)C、D對應(yīng)的實(shí)數(shù)分別是________.

圖6 題圖Fig.6 Problem analysis diagram

分析由題目條件|AB|=|10-(-2)|=12，又因?yàn)閨AD|=|DC|=|CB|，所以|AD|=4，|DC|=4，|CB|=4，所以點(diǎn)C、D表示的實(shí)數(shù)是2和6.

問題3如圖7，在數(shù)軸上，點(diǎn)A與點(diǎn)B表示的數(shù)分別是6和在點(diǎn)A、B間插入點(diǎn)C，使點(diǎn)C到點(diǎn)A的距離是點(diǎn)C到點(diǎn)B距離的2倍，則點(diǎn)C對應(yīng)的實(shí)數(shù)是________.

圖7 題圖Fig.7 Problem analysis diagram

分析由題目條件又因?yàn)閨AC|=2|BC|，|AC|+|BC|=|AB|,所以由此所以點(diǎn)C表示的實(shí)數(shù)是

問題類型的類比化，有助于幫助學(xué)生更好地思考問題、解決問題、鞏固方法，從而達(dá)到對問題解法的通性通法.

針對問題1，教師可要求學(xué)生在解決原題的基礎(chǔ)上直接求解.針對問題2和問題3，教師在課堂上并不是讓學(xué)生直接求解，而是要學(xué)生將其與問題1進(jìn)行類比，引導(dǎo)學(xué)生找到這兩個問題與問題1的不同之處和相同之處.問題1是距離的2等分，問題2是距離的3等分，如何將2等分問題轉(zhuǎn)化為3等分問題，其實(shí)質(zhì)是將點(diǎn)向右(或向左)進(jìn)行2次等距離的移動，這樣可使學(xué)生利用已掌握的方法求出結(jié)果.將問題3與問題2進(jìn)行類比，引導(dǎo)學(xué)生理解距離的2倍關(guān)系，讓學(xué)生根據(jù)已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)將AC等分，從而轉(zhuǎn)化為類似問題2的問題，進(jìn)一步感受解法的共性美.

4 拓展數(shù)軸上的距離，方法類比遷移

數(shù)學(xué)問題的解決在于能將問題進(jìn)行有效拓展，使學(xué)生通過模仿解題形成良性的思維拓展.學(xué)生通過類比解決問題，還需具有“跳一跳”再解決問題的思路.在教學(xué)中，教師應(yīng)拓展學(xué)生思維的廣度和深度，讓學(xué)生在思維拓展中有效地解決問題，并感悟得一法通一類，從而體現(xiàn)解法在類型問題解決上的優(yōu)勢.

問題1如圖8，點(diǎn)A在數(shù)軸上表示的數(shù)是一個邊長為1的正方形的頂點(diǎn)與點(diǎn)A重合，開始沿著數(shù)軸向左無滑動的滾動一周到達(dá)點(diǎn)B，則點(diǎn)B表示的數(shù)是________.

圖8 題圖Fig.8 Problem analysis diagram

分析由題目條件正方形向左無滑動滾動一周，即點(diǎn)A向左平移正方形周長的距離，所以|AB|=4，由此所以點(diǎn)B表示的實(shí)數(shù)是

問題2如圖9，在半徑為2的圓上，點(diǎn)A與表示數(shù)5的點(diǎn)重合，從點(diǎn)A開始沿著數(shù)軸向左無滑動地滾動一周，滾動一周后到達(dá)點(diǎn)B，則點(diǎn)B表示的數(shù)是________(用含π的代數(shù)式表示).

圖9 題圖Fig.9 Problem analysis diagram

分析本題類似上一題，相當(dāng)于向左平移的距離是圓的周長.所以點(diǎn)B表示的實(shí)數(shù)是5-4π.

問題的提升，需考慮到學(xué)生思維的立足點(diǎn)和問題的關(guān)聯(lián)度.針對問題1和問題2，學(xué)生應(yīng)先尋找移動的距離，然后根據(jù)距離列出相應(yīng)的算式，最終求出正確結(jié)果.這兩個問題雖然難度不大，但仍需要一個思維的形成和轉(zhuǎn)變的過程.

問題3如圖10，在半徑為2的圓上，點(diǎn)A與表示數(shù)3的點(diǎn)重合，從點(diǎn)A開始沿著數(shù)軸向左無滑動滾動一周，滾動一周后與數(shù)軸上點(diǎn)B的距離為2，則點(diǎn)B表示的數(shù)是________(用含π的代數(shù)式表示).

圖10 題圖Fig.10 Problem analysis diagram

分析由題目條件,向左滾動1周相當(dāng)于向左平移的距離是圓的周長，而點(diǎn)A運(yùn)動后的終點(diǎn)可能在點(diǎn)B的左側(cè)或右側(cè),因而對點(diǎn)A的情況要分類求解.若點(diǎn)A的終點(diǎn)在點(diǎn)B的右側(cè)，則點(diǎn)B表示的數(shù)是1-4π；若點(diǎn)A的終點(diǎn)在點(diǎn)B的左側(cè)，則點(diǎn)B表示的數(shù)是5-4π.

問題3與問題1和問題2類似，但由于點(diǎn)B的不確定性，因此需要進(jìn)行分類討論.考慮運(yùn)動后點(diǎn)A的最終位置在點(diǎn)B的左側(cè)還是右側(cè)，進(jìn)而根據(jù)距離關(guān)系的共性解法求得點(diǎn)B表示的數(shù).

以上這組題涉及：直線型和曲線型運(yùn)動產(chǎn)生的距離；圖形滾動的路程與移動距離的關(guān)系；圖形的周長與兩點(diǎn)間距離的關(guān)系.在教學(xué)中，教師可引導(dǎo)學(xué)生將此題與前一組問題進(jìn)行類比，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)在距離上表述的不同之處，感悟解法的共性之處.

5 結(jié) 語

本文從學(xué)生的錯題入手，在知識梳理中體現(xiàn)學(xué)生探究結(jié)論的思維過程，在問題解決中體現(xiàn)解法共性的探究.教師在設(shè)計小專題課時，對知識點(diǎn)的再梳理和再探究尤為重要.教師應(yīng)重視學(xué)生在知識理解上的困難和在問題解決上的方法不足，重視學(xué)生的障礙點(diǎn)，做到由淺入深、由易到難，重視方法的類比和遷移，既要做到對方法的鞏固和運(yùn)用，又要讓學(xué)生感悟題變而法不變.通過問題的層層遞進(jìn)和解法的靈活運(yùn)用，體現(xiàn)同一解法在不同問題中的運(yùn)用，精準(zhǔn)有效地培養(yǎng)學(xué)生的解題能力，強(qiáng)化學(xué)生的思維能力.