李 良， 黃廷祝， 程光輝

(電子科技大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，成都 611731)

1 引 言

線性代數(shù)是學(xué)生進(jìn)入大學(xué)最先接觸到的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程之一，是其他大部分?jǐn)?shù)學(xué)課程與工程類(lèi)課程的基礎(chǔ)和先修課程，其重要性毋庸置疑.但在教學(xué)實(shí)踐中常存在如下幾個(gè)問(wèn)題：(i)學(xué)生普遍學(xué)習(xí)困難.由于線性代數(shù)的課程的體系機(jī)構(gòu)與高中數(shù)學(xué)體系截然不同，具有較強(qiáng)的抽象性，與微積分注重計(jì)算不同，線性代數(shù)強(qiáng)調(diào)概念、性質(zhì)的解釋?zhuān)?ii)知識(shí)點(diǎn)相對(duì)比較零散，學(xué)生們難以融會(huì)貫通.線性方程組、特征值、線性空間等，看起來(lái)是相互獨(dú)立的概念，但實(shí)際上這些概念背后有著本質(zhì)的聯(lián)系，在實(shí)際應(yīng)用中不是單獨(dú)考慮的；(iii)更重要的是不知有何作用，導(dǎo)致學(xué)習(xí)興趣和熱情降低[1-3].

實(shí)際上，線性代數(shù)具有很強(qiáng)的應(yīng)用背景，幾乎所有的計(jì)算落實(shí)到計(jì)算機(jī)上時(shí)，都會(huì)涉及到線性代數(shù)的基本概念或方法，比如，大部分科學(xué)計(jì)算問(wèn)題(計(jì)算流體、計(jì)算電磁等)最后都?xì)w結(jié)到大規(guī)模線性方程組求解或其他線性代數(shù)的問(wèn)題，信息科學(xué)中廣泛應(yīng)用各種矩陣分解.用線性空間的觀點(diǎn)，其原因可歸結(jié)為：(i) 實(shí)際工程問(wèn)題所在空間形式各異，不易用計(jì)算機(jī)表示和運(yùn)算，通過(guò)坐標(biāo)映射，將其變化到列向量空間；(ii) 很多問(wèn)題都定義在一個(gè)很大甚至是無(wú)窮維的空間中，通過(guò)投影將其限制到一個(gè)有限維或低維空間上計(jì)算，以便更高效地計(jì)算.在文獻(xiàn)[4]中，作者以行列式計(jì)算為例，探討了計(jì)算思維及混合式教學(xué).本文著重探討線性代數(shù)對(duì)科學(xué)計(jì)算的重要性，并且舉例在教學(xué)過(guò)程中如何融入科學(xué)計(jì)算思維， 從計(jì)算的角度展開(kāi)研究型教學(xué)[5].

數(shù)值計(jì)算主要關(guān)心計(jì)算量、穩(wěn)定性、可并行性等方面.但在大一課程中很難講清楚穩(wěn)定性和并行，因此下面主要從計(jì)算量及相應(yīng)的計(jì)算技巧上，對(duì)矩陣運(yùn)算、高斯消元、特征值和特征向量等內(nèi)容的教學(xué)進(jìn)行探討.

2 計(jì)算思維舉例

2.1 矩陣運(yùn)算

矩陣運(yùn)算主要涉及線性運(yùn)算、矩陣乘法、轉(zhuǎn)置、逆矩陣，筆者將從線性運(yùn)算和矩陣乘法討論如何融入計(jì)算思維.

2.1.1 矩陣數(shù)乘

假設(shè)A，B均為m×n的實(shí)矩陣，r，s為任意實(shí)數(shù)，對(duì)于矩陣數(shù)乘有如下性質(zhì)：

r(sA)=(rs)A， (r+s)A=rA+sA，r(A+B)=rA+rB.

(1)

在數(shù)學(xué)上很容易證明(1)中各式兩端相等.在教學(xué)過(guò)程如何激發(fā)學(xué)生的興趣，讓同學(xué)們認(rèn)識(shí)到這些等式的意義呢？比如，可以通過(guò)設(shè)問(wèn)：在實(shí)際計(jì)算或編程實(shí)現(xiàn)的時(shí)候，你們會(huì)采用哪個(gè)式子呢？引起同學(xué)們的思考.

式(1)中的第一個(gè)式子左端的計(jì)算量為2mn次實(shí)數(shù)乘法，右端的計(jì)算量為mn+1次實(shí)數(shù)乘法，在m，n很大的時(shí)候，右端的計(jì)算量近似為左端計(jì)算量的一半.顯然，在實(shí)際應(yīng)用中應(yīng)采用右端的式子進(jìn)行計(jì)算.第二、三個(gè)式子，左端的計(jì)算量更小，所以在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，應(yīng)注意采用左端的式子進(jìn)行計(jì)算.向量線性計(jì)算也可做類(lèi)似討論.

2.1.2 矩陣乘法

假設(shè)A，B分別為m×n和n×p的實(shí)矩陣，其計(jì)算量怎么估計(jì)或計(jì)算呢？若C=AB，有計(jì)算公式

(2)

每個(gè)元素的計(jì)算量為n次實(shí)數(shù)乘法，n-1次實(shí)數(shù)加法.由于矩陣C為m×p，總共需要計(jì)算mp個(gè)元素，容易得到該矩陣乘法的總計(jì)算量為：mpn次乘法，mp(n-1)次加法.若m=p=n，只考慮乘法次數(shù)，忽略掉低階量，則矩陣乘法的計(jì)算量(或稱為時(shí)間復(fù)雜度、計(jì)算復(fù)雜度)為O(n3)，其中大O表示“階”.

為同學(xué)們分析矩陣乘積的計(jì)算量后，可以設(shè)問(wèn)：矩陣乘法計(jì)算算法非常簡(jiǎn)單直接，有沒(méi)有辦法減少計(jì)算量呢？初看起來(lái)似乎沒(méi)有可能，無(wú)論怎么循環(huán)，計(jì)算量總是一樣.可以告訴同學(xué)們，通過(guò)后面要學(xué)習(xí)的矩陣分塊技術(shù)，有著名的Strassen算法，可將計(jì)算量降到O(n2.81).目前最快的矩陣乘法計(jì)算量已經(jīng)達(dá)到O(n2.37)，圖1展示了三種算法的計(jì)算量隨矩陣階數(shù)的變化情況.授課過(guò)程中，不展示這些算法的細(xì)節(jié)，希望通過(guò)該例子喚起學(xué)生對(duì)算法重要性的認(rèn)識(shí)，以及對(duì)高效神奇算法的向往.

2.2 高斯消元

矩陣初等變換是線性代數(shù)課程中最重要的計(jì)算技術(shù)，貫穿了線性方程組的解、行列式、特征向量、二次型等幾乎所有內(nèi)容.在課堂上或作業(yè)中，讓同學(xué)們手工計(jì)算了多次高斯消元，但應(yīng)指出高斯消元算法主要由計(jì)算機(jī)來(lái)運(yùn)行，進(jìn)而引出算法的概念，給出高斯消元約化矩陣為(簡(jiǎn)化)階梯形的算法，見(jiàn)算法1.

算法具有確定的步驟，適合計(jì)算機(jī)運(yùn)行.下面對(duì)初等變換的計(jì)算量作初步分析.假設(shè)A為m×n的實(shí)矩陣.行交換不涉及加減乘除運(yùn)算，運(yùn)算量幾乎可以忽略.用非零數(shù)乘以一行，若不考慮0元素，其計(jì)算量為n次乘法.若把第j行的k≠0倍加到第i行(倍加運(yùn)算)，即Ri←Ri+kRj，計(jì)算量為2n.

算法1 高斯消元算法

輸入：任意矩陣

輸出：矩陣的階梯形及簡(jiǎn)化階梯形

Step 1 確定主元列和主元位置.矩陣最左側(cè)的非零列為主元列，該列的頂端位置為主元位置.

Step 2 選擇主元.從主元列中選擇一個(gè)非零元為主元，如果需要，進(jìn)行行交換，將該元變換到主元位置.

Step 3 消元.將主元所在行的適當(dāng)倍數(shù)加到下面各行，把主元所在列下面的元素變?yōu)?.

Step 4 忽略主元所在行，以及所有上面的行，考慮余下的子矩陣，執(zhí)行Step1-Step3，直到?jīng)]有非零行剩下.至此得到矩陣的階梯形.

Step 5 從最右端的主元開(kāi)始，從下而上利用行加運(yùn)算將主元所在列上面的元全部變?yōu)?.利用行的數(shù)乘，將主元變?yōu)?.從右到左，對(duì)所有主元執(zhí)行往上消元運(yùn)算和數(shù)乘運(yùn)算.至此得到矩陣的簡(jiǎn)化階梯形.

搞清楚了行初等變換的計(jì)算量，現(xiàn)假設(shè)A為n×n的可逆矩陣，讓同學(xué)們嘗試分析將A約化為上三角矩陣的計(jì)算量.若不考慮倍乘運(yùn)算，消元過(guò)程只涉及行交換和倍加運(yùn)算，而行交換不涉及浮點(diǎn)運(yùn)算(也需要消耗一定的CPU時(shí)間)，因此只考慮倍加運(yùn)算帶來(lái)的計(jì)算量.如下式考慮消元的第i步每消去aii下面一個(gè)元素的計(jì)算量為2(n-i+1)，總共需要消去n-i個(gè)元素，所以第i步的計(jì)算量為2(n-i+1)(n-i)，完成整個(gè)消元過(guò)程，需要i從1到n-1循環(huán)，那么總共的計(jì)算量為

對(duì)上式化簡(jiǎn)，去掉低階項(xiàng)，可得高斯消元算法的計(jì)算量為O(n3).

2.3 特征值和特征向量

特征值、特征向量在信息科學(xué)、控制科學(xué)等方面有廣泛的應(yīng)用.在線性代數(shù)課程中，主要介紹了其定義、性質(zhì)、計(jì)算，以及矩陣相似.相似矩陣這部分知識(shí)，由于比較抽象，學(xué)生在學(xué)習(xí)的時(shí)候往往不知道學(xué)習(xí)這些定義有什么用，導(dǎo)致教學(xué)效果降低.從計(jì)算的角度，可以做如下引導(dǎo)，能激起學(xué)生的好奇心，提高教學(xué)效果.

特征值和特征向量的計(jì)算法方式：先構(gòu)造特征多項(xiàng)式，然后求根得到特征值，最后求解齊次線性方程組得到各個(gè)特征子空間的一組基.當(dāng)矩陣階數(shù)增大時(shí)，用這種方法會(huì)遇到很大困難.學(xué)生對(duì)此已有體會(huì)，比如，對(duì)一個(gè)三階矩陣，就要用一整張紙才能得到答案：(i)產(chǎn)生特征多項(xiàng)式困難，計(jì)算多項(xiàng)式的各個(gè)系數(shù)，需要很大的計(jì)算量；(ii)求解特征值多項(xiàng)式困難，n階矩陣的特征多項(xiàng)式是一個(gè)首項(xiàng)系數(shù)為1的n次多項(xiàng)式，眾所周知，對(duì)大于4階的多項(xiàng)式?jīng)]有解析解，只能借助數(shù)值方法求解，但也需要大量計(jì)算，而且一般情況下高階多項(xiàng)式的穩(wěn)定性差.

因此，求解特征值問(wèn)題的策略是，通過(guò)相似變換將一個(gè)矩陣變換為容易求解特征值問(wèn)題的矩陣，比如對(duì)角矩陣或上三角矩陣.這也是學(xué)習(xí)矩陣相似的目的之一.需要注意的是，課程里面講的是通過(guò)特征值、特征向量來(lái)作矩陣的相似變換，這是因?yàn)橹挥性诟唠A的課程中才會(huì)介紹特征值問(wèn)題的求解算法，比如，最經(jīng)典的QR迭代算法.應(yīng)該認(rèn)識(shí)到，課程中學(xué)習(xí)的內(nèi)容，是以后去解決實(shí)際問(wèn)題的基礎(chǔ).

3 結(jié) 論

本文從計(jì)算量和簡(jiǎn)單計(jì)算技巧上討論了如何在線性代數(shù)教學(xué)中引入科學(xué)計(jì)算思維，主要目的是希望通過(guò)這部分內(nèi)容的講解，讓學(xué)生明白線性代數(shù)對(duì)科學(xué)計(jì)算的重要性，也了解到簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)公式背后，還有更深的東西值得去研究，從而喚起學(xué)生的好奇心，激發(fā)科研志趣.

致謝非常感謝高等學(xué)校大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究與發(fā)展中心的支持，非常感謝相關(guān)文獻(xiàn)對(duì)本文的啟發(fā)以及審稿專(zhuān)家提出的寶貴意見(jiàn)，感謝編輯老師的幫助.