王卿文， 楊建生， 張崇權(quán)

(上海大學(xué) 數(shù)學(xué)系，上海 200444)

1 引 言

矩陣的相抵標(biāo)準(zhǔn)形定理和Sylvester慣性定律是線性代數(shù)中的兩個(gè)最基本的重要定理， 發(fā)揮著極其重要的作用， 譬如， 可用矩陣相抵標(biāo)準(zhǔn)形中數(shù)字1的個(gè)數(shù)定義矩陣的秩， 通過矩陣相抵標(biāo)準(zhǔn)形給出齊次線性方程組解空間基的簡(jiǎn)便求法和廣義Sylvester矩陣方程可解的實(shí)用判定條件等; Sylvester慣性定律則表明幾何中的二次曲面經(jīng)過可逆線性變換不改變曲面原本的類別. 游宏和朱廣俊教授首次利用矩陣分塊的方法給出了唯一性的直接證明[1]. 關(guān)于Sylvester慣性定律， 傳統(tǒng)的證明[2]是假定二次型的規(guī)范形不唯一， 構(gòu)造具有非零解的線性方程組， 利用反證法給予證明; 文獻(xiàn)[3]利用生成子空間和維數(shù)公式給出了一種證法; 文獻(xiàn)[4]借助Courant-Fischer定理給出了一種變型后的Sylvester慣性定律的簡(jiǎn)化證明.

中國(guó)現(xiàn)代數(shù)學(xué)之父華羅庚曾說: 國(guó)外把我說成是玩矩陣的魔鬼……表面上你看我搞的是多復(fù)變函數(shù)、典型群、自守函數(shù)、偏微分方程等， 實(shí)際上骨子里還是我的矩陣技巧[5]. 矩陣的分塊是以華羅庚為代表的中國(guó)代數(shù)學(xué)家從事科學(xué)研究的殺手锏. 矩陣的分塊在其它領(lǐng)域也有重要的應(yīng)用， 例如計(jì)算科學(xué)中， 對(duì)矩陣進(jìn)行適當(dāng)分塊可顯著減少計(jì)算的復(fù)雜度. 本文利用這一思想和方法， 給出了矩陣相抵標(biāo)準(zhǔn)形唯一性的一種直接證明. 較文獻(xiàn)[1]， 筆者利用了矩陣相抵的傳遞性及矩陣分塊技巧， 所給證明更為簡(jiǎn)潔. 同時(shí)， 基于矩陣的不同分塊， 本文從不同角度給出了Sylvester慣性定律的非常簡(jiǎn)單的證明.

以下約定: r(A)表示矩陣A的秩.

2 矩陣相抵標(biāo)準(zhǔn)形唯一性與Sylvester慣性定律證明注記

2.1 矩陣相抵標(biāo)準(zhǔn)形唯一性的證明

定理1(矩陣的相抵標(biāo)準(zhǔn)形定理) 設(shè)A為m×n矩陣， 則A可以經(jīng)過一系列初等變換化為

(1)

其中r是滿足0≤r≤min{m，n}的整數(shù)， 且唯一.(1)稱為A的相抵標(biāo)準(zhǔn)形 (或等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形).

證僅證唯一性.若矩陣A的相抵標(biāo)準(zhǔn)形(1)不唯一， 即還有一個(gè)相抵標(biāo)準(zhǔn)形

不妨設(shè)r≥s， 由相抵的傳遞性， 則必有可逆矩陣P，Q使得

(2)

對(duì)P，Q作適當(dāng)?shù)胤謮K

其中P1，Q1均為s階方陣.將上式代入(2)得

于是

由于P1可逆， 故由P1Q2=O得Q2=O， 從而P3Q2=O， 所以r=s.

2.2 Sylvester慣性定律的證明

先回顧一下齊次線性方程組的一個(gè)常用結(jié)果:

引理[1]設(shè)A為n×m矩陣， 則齊次線性方程組xA=0有非零解的充分必要條件是r(A)

定理2(Sylvester慣性定律) 設(shè)任意n階實(shí)對(duì)稱矩陣A分別相合于

其中r=r(A)， 則p=q.

證用反證法， 不妨設(shè)p

PUPT=V.

(3)

根據(jù)對(duì)P的不同分塊， 可產(chǎn)生如下證法:

法1設(shè)

其中P1為q×p矩陣， 則r(P1)≤p

同時(shí)又有

由此得

矛盾.

法2對(duì)(3)中的P作如下分塊:P=(P1，P2)， 其中P1為n×p階矩陣.令

則有r(Q)≤p+(n-q)

x0P1=0，c2=0，c1≠0.

于是

注意到

矛盾.

若令(Iq，O)P∶=(P1，P2，P3)， 其中P1，P2的階數(shù)分別為q×p，q×(r-p)， 則可得另外一種簡(jiǎn)單證明， 請(qǐng)讀者自行完成.

3 結(jié) 論

矩陣的分塊是線性代數(shù)中的一個(gè)重要工具， 但一般線性代數(shù)教材未能充分用其處理相關(guān)重要問題. 本文給出了矩陣相抵標(biāo)準(zhǔn)形唯一性定理和Sylvester慣性定律的非常簡(jiǎn)捷的證明， 進(jìn)一步凸顯了矩陣分塊思想的強(qiáng)大威力.

致謝作者感謝相關(guān)文獻(xiàn)對(duì)本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見.