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        嚴(yán)格偏好關(guān)系T-S-半傳遞性相關(guān)性質(zhì)的研究*

        2016-06-16 03:17:34劉雪琴武彩萍楊曉晨
        關(guān)鍵詞:傳遞性充分條件非對稱

        劉雪琴, 武彩萍, 楊曉晨

        (太原理工大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,山西 太原 030024)

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        嚴(yán)格偏好關(guān)系T-S-半傳遞性相關(guān)性質(zhì)的研究*

        劉雪琴, 武彩萍, 楊曉晨

        (太原理工大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,山西 太原 030024)

        摘要:基于可加的φ-模糊偏好結(jié)構(gòu),研究了嚴(yán)格偏好關(guān)系的T-S-半傳遞性相關(guān)性質(zhì).首先,給出了嚴(yán)格偏好關(guān)系的T-S-半傳遞性的一個充分條件; 其次,得出了P°TP°TI?P與(P°TP)∩T(I°TI)=?之間的一個等價命題; 最后,研究了(P°TP)∩T(I°TI)=?與S2條件之間的等價性.這些結(jié)論豐富了模糊偏好結(jié)構(gòu)的研究.

        關(guān)鍵詞:可加的φ-模糊偏好結(jié)構(gòu); T-S-半傳遞性; 嚴(yán)格偏好關(guān)系; 關(guān)于Nφ旋轉(zhuǎn)不變的t-模; 無零因子t-模

        0引言

        1971年,Chipman[1]首次提出“半傳遞性”概念. 關(guān)系Q滿足半傳遞性是指對于論域A中的備擇對象a,b,c,d,若a與b、b與c均具有關(guān)系Q,則或者a與d具有關(guān)系Q,或者d與c具有關(guān)系Q.關(guān)系的半傳遞性在生活生產(chǎn)中應(yīng)用廣泛,因此半傳遞性的研究是眾多研究者關(guān)心的問題之一[2-5].由于實(shí)際問題的復(fù)雜性及人的主觀性,精確的數(shù)據(jù)往往很難獲取.1994年,F(xiàn)odor[6]定義了模糊關(guān)系的T-S-半傳遞性.

        模糊關(guān)系性質(zhì)的研究對模糊偏好結(jié)構(gòu)的研究至關(guān)重要.1978年,Orlovsky[7]已提出了模糊偏好構(gòu)模理論.1997年,De Baets等[8]給出了可加的-模糊偏好結(jié)構(gòu)的定義.由于該結(jié)構(gòu)具有良好的性質(zhì),因而眾多學(xué)者在該結(jié)構(gòu)上進(jìn)行了研究[9-11]. 2011年,Diaz等[11]在該模糊偏好結(jié)構(gòu)下,首次研究了嚴(yán)格偏好關(guān)系的半傳遞性,在T為無零因子t-模下得到了一些結(jié)論. 2015年,劉等[12]在旋轉(zhuǎn)不變的模下給出了嚴(yán)格偏好關(guān)系T-S-半傳遞性的必要條件. 鑒于此,本文給出嚴(yán)格偏好關(guān)系T-S-半傳遞性的充分條件,并進(jìn)一步研究了嚴(yán)格偏好關(guān)系T-S-半傳遞性的相關(guān)性質(zhì).

        1預(yù)備知識

        首先給出自同構(gòu)、t-模、t-余模、 非等模糊邏輯聯(lián)結(jié)運(yùn)算的定義.

        定義 1[13]設(shè)φ:[a,b]→[a,b]是嚴(yán)格增的連續(xù)函數(shù),若其滿足φ(a)=a,φ(b)=b,則稱φ為[a,b]上的一個自同構(gòu).

        定義 2[14]設(shè)T:[0,1]×[0,1]→[0,1],若其滿足:

        1) 對稱性: ?x,y∈[0,1],T(x,y)=T(y,x);

        2) 單調(diào)性: ?x1≤x2,y1≤y2?T(x1,y1)≤T(x2,y2);

        3) 結(jié)合律: ?x,y,z∈[0,1],T(T(x,y),z)=T(x,T(y,z));

        4) 邊界條件: ?x∈[0,1],T(1,x)=x,則稱T是一個t-模.

        設(shè)S:[0,1]×[0,1]→[0,1]滿足對稱性、 單調(diào)性、 結(jié)合律且滿足: 4′) ?x∈[0,1],S(0,x)=x,則稱S是一個t-余模.

        常見的t-模和t-余模有:

        取小t-模:T(x,y)=x∧y,該t-模記為min或TM. 對?T,TM≥T;

        取大t-余模:S(x,y)=x∨y,該t-余模記為max.

        Lukasiewiczt-模:T(x,y)=max(0,x+y-1),該t-模記為W;

        Lukasiewiczt-余模:S(x,y)=min(1,x+y),該t-余模記為W′;

        定義 3[13]設(shè)n:[0,1]→[0,1],若n單調(diào)減且滿足n(0)=1,n(1)=0,則稱n是一個模糊非,簡稱為非. 若n嚴(yán)格減且連續(xù),則稱n是一個嚴(yán)格非. 若一個嚴(yán)格非n滿足復(fù)原律: ?x∈[0,1],n(n(x))=x,則稱n為一個強(qiáng)非.

        例如:N(x)=1-x是強(qiáng)非,我們稱之為標(biāo)準(zhǔn)非.

        命題 1[13]N:[0,1]→[0,1]為強(qiáng)非,當(dāng)且僅當(dāng)存在[0,1]上的自同構(gòu)φ使得

        這里,用Nφ表示由φ生成的強(qiáng)非.

        定義 4[13]設(shè)T,S分別為t-模和t-余模,n為強(qiáng)非,若T與S滿足n-De Morgan律:n(S(x,y))=T(n(x),n(y))或n(T(x,y))=S(n(x),n(y)),則稱(T,S,n)是De Morgan三元組.

        定義 5[13-14]設(shè)T是一個t-模,

        1) 若T對每個變量均左連續(xù),則稱T是左連續(xù)的;

        2) 若?x,y∈(0,1),T(x,y)≠0,則稱T是無零因子t-模;

        3) 若?x,y,z∈[0,1],T(x,y)≤z?T(x,Nφ(z))≤Nφ(y),則稱T是關(guān)于Nφ旋轉(zhuǎn)不變的t-模.

        如TM是無零因子t-模,W是關(guān)于標(biāo)準(zhǔn)非N旋轉(zhuǎn)不變的左連續(xù)的t-模.

        其次介紹模糊關(guān)系的有關(guān)定義以及相關(guān)結(jié)論.

        定義 7[14]設(shè)T,S分別為t-模和t-余模,Q是A上的模糊關(guān)系.

        1) 若?a,b,c,d∈A,T(Q(a,b),Q(b,c))≤S(Q(a,d),Q(d,c)),則稱Q滿足T-S-半傳遞性.

        2) 若?a,b,c∈A,T(Q(a,b),Q(b,c))≤Q(a,c),則稱Q滿足T-傳遞性.

        3) 若?a,b∈A,T(Q(a,b),Q(b,a))=0,則稱Q滿足T-非對稱.

        特殊地,?a,b∈A, Q(a,b)=0或Q(b,a)=0, 則稱Q非對稱.

        4) 若?a,b∈A, S(Q(a,b),Q(b,a))=1, 則稱Q滿足S-強(qiáng)完全.

        特殊地,?a,b∈A, Q(a,b)=1或Q(b,a)=1,則稱Q強(qiáng)完全.

        引理 1[10]若T關(guān)于Nφ滿足旋轉(zhuǎn)不變性,則?x,y∈[0,1],有

        引理 2[15]若T關(guān)于Nφ旋轉(zhuǎn)不變,則T是左連續(xù)的.

        引理 3[14]設(shè)Q1,Q2,Q3是A上的模糊關(guān)系,若T左連續(xù),則

        引理 4[11]設(shè)Q是A上的模糊關(guān)系,T為無零因子t-模,若Q滿足T-傳遞,則Q非對稱.

        引理 5[12]若T左連續(xù),I是任意指標(biāo)集,則?ai∈[0,1](i∈I),有

        注 1若T左連續(xù),Q,Q1,Q2,Q3是A上模糊關(guān)系,則

        2T-S-半傳遞性相關(guān)性質(zhì)研究

        本節(jié)首先介紹可加的φ-模糊偏好結(jié)構(gòu)的定義以及文獻(xiàn)中的相關(guān)結(jié)論,然后進(jìn)一步討論嚴(yán)格偏好關(guān)系的T-S-半傳遞性的相關(guān)性質(zhì).

        下面給出了可加的φ-模糊偏好結(jié)構(gòu)的定義及性質(zhì).

        定義 8[8]設(shè)P,I,J是A上的模糊關(guān)系,若

        1)I是自反,對稱的;

        2)

        (1)

        命題 2[16](P,I,J)是一個A上可加的φ-模糊偏好結(jié)構(gòu),則下列結(jié)論成立:

        1)R強(qiáng)完全?J=?且P非對稱.

        2)J=?.

        許多文獻(xiàn)在可加φ-模糊偏好結(jié)構(gòu)下研究了嚴(yán)格偏好關(guān)系的T-S-半傳遞性,并得出一些結(jié)論.

        命題 3[11]設(shè)(P,I,J)是A上可加的φ-模糊偏好結(jié)構(gòu),若P滿足P°TP°TI?P或I°TP°TP?P或P°TI°TP?P,則P是T-傳遞的.

        命題 4[12]設(shè)(P,I,J)是A上可加的φ-模糊偏好結(jié)構(gòu),R強(qiáng)完全,T關(guān)于Nφ旋轉(zhuǎn)不變,則下列說法等價:

        1)P滿足T-S-半傳遞;

        2)R°TP°TP?P;

        3)P°TP°TR?P.

        命題 5[12]設(shè)(P,I,J)是A上可加的φ-模糊偏好結(jié)構(gòu),(T,S,Nφ)是De-Morgan三元組,且T關(guān)于Nφ旋轉(zhuǎn)不變,考慮下列陳述:

        1)P滿足T-S-半傳遞性;

        2)P°TP°TI?P;

        3)I°TP°TP?P;

        4)P°TP∩TI°TI=?;

        5)S2條件: ?a,b,c,d∈A,T(T(P(a,b),P(b,c)),I(b,d))≤S(Nφ(I(a,d)),Nφ(I(d,c))), 則1)?2)?4)?5); 1)?3)?4)?5).

        注 3文獻(xiàn)[12]中已舉出反例說明命題5中結(jié)論不可逆.

        由命題5,注3知,在普通情況下嚴(yán)格偏好關(guān)系的半傳遞性一些等價結(jié)論在模糊情況下已不再不成立.因此下面對嚴(yán)格偏好關(guān)系T-S-半傳遞性相關(guān)性質(zhì)作進(jìn)一步研究.

        首先,給出了嚴(yán)格偏好關(guān)系的T-S-半傳遞性的一個充分條件.

        命題 6設(shè)(P,I,J)是A上可加的φ-模糊偏好結(jié)構(gòu),R強(qiáng)完全,(T,S,Nφ)是De-Morgan三元組,T關(guān)于Nφ旋轉(zhuǎn)不變,若P°T(P°TMI)?P,則P滿足T-S-半傳遞性.

        證明T關(guān)于Nφ旋轉(zhuǎn)不變且R強(qiáng)完全,故由命題4只需證P°TP°TR?P.

        由引理2及注1知: 要證P°TP°TR?P,即證?a,b,c,d∈A,

        (2)

        由P°T(P°TMI)?P,即對a,b,c,d∈A有

        (3)

        下面分1)和2)兩種情況進(jìn)行分類討論.

        1) 當(dāng)I(c,d)≥P(b,c),則TM(P(b,c)

        2) 當(dāng)

        (4)

        則TM(P(b,c),I(c,d)=I(c,d), 式(3)即為

        (5)

        由R強(qiáng)完全得R(c,d)=1或R(d,c)=1.

        ① 若R(d,c)=1,則由命題2知:P(c,d)=0,所以I(c,d)=R(c,d), 則又由式(5)知

        ② 若R(c,d)=1,則由命題2知:P(d,c)=0,故

        (6)

        故要證式(2)即證

        (7)

        若P(a,b)=0或P(b,c)=0,則顯然式(7)成立. 下面設(shè)P(a,b)>0且P(b,c)>0,則由命題 2(1) 以及Q強(qiáng)完全知P非對稱, 所以,P(c,b)=0且P(b,a)=0. 由P°T(P°TMI)?P知a,b,c,d∈A,

        (8)

        下面分a)和b)兩種情況進(jìn)行分類討論.

        a) 若P(c,d)≤I(d,a),此時TM(P(c,d),I(d,a))=P(c,d),式(8)即為T(P(b,c),P(c,d))≤0. 由T關(guān)于Nφ旋轉(zhuǎn)不變得T(P(b,c),Nφ(0))≤Nφ(P(c,d)),即P(b,c)≤Nφ(P(c,d))=R(d,c). 又由式(6)知:P(b,c)≤I(c,d),與式(4)矛盾,故這種情況不存在.

        b) 若P(c,d)>I(d,a),則TM(P(c,d),I(d,a))=I(d,a). 故式(8)即為T(P(b,c),I(d,a))=0,由T關(guān)于Nφ旋轉(zhuǎn)不變得:T(P(b,c),Nφ(0))=Nφ(I(d,a)),即P(b,c)≤Nφ(I(d,a))=φ-1(1-φ(I(d,a))). 又由式(1)知

        (9)

        由R強(qiáng)完全知R(a,d)=1或R(d,a)=1.

        b1) 若R(a,d)=1,則由命題2知:P(d,a)=0,式(9)即為φ(P(b,c))≤φ(P(a,d)),故

        (10)

        由于TM是最大的t-模及P°T(P°TMI)?P,故對于任意的關(guān)于Nφ旋轉(zhuǎn)不變的t-模均有

        由引理2,引理3知:P°TP°TI=P°T(P°TI)?P.

        由命題3知P滿足T-傳遞性,故對a,b,c∈A,T(P(a,b),P(b,c))≤P(b,c). 又由式(10)知:T(P(a,b),P(b,c))≤P(b,c)≤P(a,d),即式 (7)成立.

        b2) 若R(d,a)=1,則由命題2知:P(a,d)=0.

        式(9)即為φ(P(b,c))≤φ(P(d,a)),故

        (11)

        (反證)若式(7)不成立,即T(P(a,b),P(b,c))>P(a,d)=0, 則由P滿足T-傳遞性知: 對a,b,d∈A,P(d,b)≥T(P(d,a),P(a,b)), 又由式(11) 得,P(d,b)≥T(P(d,a),P(a,b))≥T(P(b,c),P(a,b))>P(a,d)=0, 即

        (12)

        又由式(4)且R(c,d)=1及φ(R(c,d))=φ(P(c,d))+φ(I(c,d)) 知

        故由引理1及P的T-傳遞性知b,c,d∈A,P(c,d)≥T(P(b,c),P(c,d))>0.

        故P(b,d)>0.

        由P的非對稱性知P(d,b)=0與式(12)矛盾. 所以假設(shè)不成立,即式(7)成立.

        綜上:P滿足T-S-半傳遞性.

        下面我們通過兩個例子來說明條件P°T(P°TMI)?P確實(shí)是P滿足T-S-半傳遞性的充分條件,但不是必要條件.

        例 1設(shè)A={a,b,c,d},定義A上的模糊關(guān)系P,I,J為

        當(dāng)φ(x)=x時,容易驗(yàn)證(P,I,J)是A上可加的φ-模糊偏好結(jié)構(gòu),且R強(qiáng)完全. 令T=W,顯而易見,

        由命題4知:P滿足T-S-半傳遞性.

        例1說明若條件P°T(P°TMI)?P成立,則P滿足T-S-半傳遞性.

        例 2設(shè)A={a,b,c,d},定義A上的模糊關(guān)系P,I,J為

        當(dāng)φ(x)=x時,容易驗(yàn)證(P,I,J)是A上可加的φ-模糊偏好結(jié)構(gòu),且R強(qiáng)完全.

        令T=W,顯而易見,

        然而,

        由命題4知:P滿足T-S-半傳遞性.

        例2說明即使不滿足條件P°T(P°TMI)?P,P也有可能滿足T-S-半傳遞性.

        其次,研究P°TP°TI?P與P°TP∩TI°TI=?之間的等價性.

        命題 7設(shè)(P,I,J)是A上可加的φ-模糊偏好結(jié)構(gòu),R強(qiáng)完全,T關(guān)于Nφ旋轉(zhuǎn)不變,T1為無零因子t-模,若P滿足T-傳遞且P°T1P∩T1I°T1I=?,則P°TP°TI?P.

        證明由引理2及注1知: 要證P°TP°TI?P,即證

        (13)

        1) 若P(a,b)=0或P(b,c)=0,則T(T(P(a,b),P(b,c)),I(c,d))=0≤P(a,d),即式(13)成立.

        2) 若P(a,b)>0且P(b,c)>0,所以T1(P(a,b),P(b,c))>0.由P°T1P∩T1I°T1I=?,即對a,b,c,d∈A有

        又T1(P(a,b),P(b,c))>0,所以T1(I(a,d),I(d,c))=0,所以I(a,d)=0或I(d,c)=0.

        a) 若I(d,c)=0,由I的自反性得I=(c,d)=0. 所以T(T(P(a,b),P(b,c),I(c,d))=0≤P(a,d),即式(13)成立.

        b) 若I(a,d)=0,由命題2知:P非對稱. 所以P(a,d)=0或P(d,a)=0. 若P(d,a)=0,則又由式(1)知:P(a,d)=1,則顯然T(T(P(a,b),P(b,c)),I(c,d))≤1=P(a,d),即式(13)成立. 若P(a,d)=0,則又由式(1)知:P(d,a)=1,由P滿足T-傳遞得:P(d,c)≥T(P(d,a),P(a,c))=T(1,P(a,c))=P(a,c), 即

        (14)

        又由式(1)知: 對c,d∈A,φ(P(d,c))+φ(I(c,d)))≤1,即φ(P(d,c))≤1-φ(I(c,d)). 由φ是[0,1]上的自同構(gòu)得:P(d,c)≤φ-1(1-φ(I(c,d)))=Nφ(I(c,d)), 即T(P(d,c),1)≤Nφ(I(c,d)). 故由T關(guān)于Nφ旋轉(zhuǎn)不變得

        (15)

        由式(14)和式(15)知

        故式(13)成立.

        由命題3,命題5及命題7易得下面的定理.

        定理 1設(shè)(P,I,J)是A上可加的φ-模糊偏好結(jié)構(gòu),R強(qiáng)完全,T關(guān)于Nφ旋轉(zhuǎn)不變,T1為無零因子t-模,且T1≤T,則下列說法等價:

        1)P滿足T-傳遞且P°T1P∩T1I°T1I=?,

        2)P°TP°TI?P.

        最后,研究S2條件與P°TP∩TI°TI=?之間的等價性.

        命題 8設(shè)(P,I)是A上可加的φ-模糊偏好結(jié)構(gòu),T1為無零因子t-模,P°T1I°T1P?P,若T關(guān)于Nφ旋轉(zhuǎn)不變且S2條件成立,則P°TP∩TI°TI=?.

        證明由引理2及注1知: 要證P°TP∩TI°TI=?,即證

        (16)

        1) 若P(a,b)=0或P(b,c)=0,則T(T(P(a,b),P(b,c)),T(I(a,d),I(d,c)))=0,即式(16)成立.

        2) 若P(a,b)>0且P(b,c)>0,則T1(P(a,b),P(b,c))>0.

        由P°T1I°T1P?P及命題3知:P是T1-傳遞.

        對a,b,c∈A,P(a,c)≥T1(P(a,b),P(b,c))>0,由引理4知:P非對稱,故

        (17)

        由P°T1I°T1P?P即對a,b,d∈A有0=P(a,a)≥T1(T1(P(a,b),I(b,d)),P(d,a)). 因P(a,b)>0且P(b,c)>0知P(a,c)=1. 又由式(1)及式(17)知

        (18)

        由P°T1I°T1P?P即對a,b,d∈A有0=P(a,a)≥T1(T1(P(a,b),I(b,d),P(d,a)). 因P(a,b)>0,所以I(b,d)=0或P(b,d)=0.

        ① 當(dāng)I(b,d)=0,由P非對稱及式(1)得P(b,d)=1 或P(d,b)=1.

        A) 若P(b,d)=1,由P是T1-傳遞得:P(a,b)=T1(P(a,b),P(b,d))≤P(a,d),即

        (19)

        又由式(1)知:φ(P(a,d))+φ(I(a,d)))≤1,即P(a,d)=T(P(a,d),1)≤Nφ(I(a,d)). 故由T關(guān)于Nφ旋轉(zhuǎn)不變得

        (20)

        由式(19),式(20)及t-模的結(jié)合對稱性有

        故式(16)成立.

        B) 若P(d,b)=1,由P°T1I°T1P?P即對b,c,d∈A有0=P(b,b)≥T1(T1(P(b,c),I(c,d)),P(d,b)).

        由P(d,b)=1及P(b,c)>0得I(c,d)=0.

        又由I的對稱性得I(d,c)=0.

        故T(T(P(a,b),P(b,c)),T(I(a,d),I(d,c)))=T(T(P(a,b),P(b,c)),T(I(a,d),0))=0.

        故式(16)成立.

        ② 當(dāng)P(b,d)=0,由P°T1I°T1P?P即對a,c,d∈A有0=P(c,c)≥T1(T1(P(c,d),I(d,a)),P(a,c)). 又由式(18)得:I(a,d)=0或P(c,d)=0.

        A) 若I(a,d)=0,T(T(P(a,b),P(b,c)),T(I(a,d),I(d,c)))=T(T(P(a,b),P(b,c)),T(0,I(d,c)))=0. 即式(16)成立.

        B) 若P(c,d)=0,由P°T1I°T1P?P即對a,b,d∈A, 0=P(b,b)=T1(T1(P(b,d),I(d,a)),P(a,b)). 由P(a,b)>0得I(d,a)=0或P(b,d)=0.

        a) 若I(d,a)=0,由I的對稱性I(a,d)=0.

        故T(T(P(a,b),P(b,c)),T(I(a,d),I(d,c)))=T(T(P(a,b),P(b,c)),T(0,I(d,c)))=0.

        故式(16)成立.

        b) 若

        (21)

        由P°T1I°T1P?P即對b,c,d∈A有P(b,b)≥T1(T1(P(b,c),I(c,d)),P(d,b)).又P(b,c)>0 得I(c,d)=0或P(d,b)=0.

        b1) 若I(c,d)=0,由I的對稱性I(d,c)=0. 得

        (22)

        即式(16)成立.

        b2) 若P(d,b)=0,則由式(1)及式(21)知:I(b,d)=1,S2條件成立得

        由T關(guān)于Nφ旋轉(zhuǎn)不變得

        即式(16)成立.

        由命題5和命題8易得下面的定理.

        定理 2設(shè)(P,I)是A上可加的φ-模糊偏好結(jié)構(gòu),T1為無零因子t-模,P°T1I°T1P?P,若T關(guān)于Nφ滿足旋轉(zhuǎn)不變性,則下列說法等價:

        1)P°TP∩TI°TI=?,

        2)S2條件成立.

        3結(jié)束語

        我們知道,在普通情況下,嚴(yán)格偏好關(guān)系的半傳遞性、P°P°I?P以及(P°P)∩(I°I)=?是等價的,但是由命題5可以看出,在模糊情況下這些等價性已不再成立.其中,嚴(yán)格偏好關(guān)系的T-S-半傳遞性強(qiáng)于P°TP°TI∩P,P°TP°TI∩P強(qiáng)于(P°TP)∩T(I°TI)=?, (P°TP)∩T(I°TI)=?強(qiáng)于S2條件.有鑒于此,本文首先給出嚴(yán)格偏好關(guān)系的T-S-半傳遞性的一個充分條件(命題6); 其次對P°TP°TI?P進(jìn)行了研究,給出了它的一個充分條件(命題7),并且得到了它與(P°TP)∩T(I°TI)=?之間的關(guān)系(命題8,定理1); 最后研究了(P°TP)∩T(I°TI)=?與S2條件之間的等價性(定理2). 從本文的研究中得到P°T(P°TMI)?P是嚴(yán)格偏好關(guān)系的T-S-半傳遞性的一個充分條件,那么,I°TMP°TP?P是否也是嚴(yán)格偏好關(guān)系的T-S-半傳遞性的充分條件還有待進(jìn)一步研究.

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        Study on theT-S-Semitransitivity Properties of Strict Preference Relation

        LIU Xue-qin, WU Cai-ping,YANG Xiao-chen

        (College of Mathematics, Taiyuan University of Technology, Taiyuan 030024, China)

        Abstract:Based on additive φ-fuzzy preference structures, the T-S-Semi-transitivity properties of the strict preference relation was studied. Firstly, a sufficient condition of the T-S-Semi-transitivity of the strict preference relation was given. Secondly, an equivalent conclusion between P°TP°TI?P and (P°TP)∩T(I°TI)=? was presented. Finally, the equivalence between (P°TP)∩T(I°TI)=? and the condition S2 was investigated. The results enrich the research of the fuzzy preference structures.

        Key words:additive φ-fuzzy preference structure; T-S-Semitransitivity; strict preference relation; rotation invariance t-norm; t-norm without zero divisor

        文章編號:1673-3193(2016)02-0097-07

        *收稿日期:2015-07-15

        基金項(xiàng)目:山西省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2013011004-1); 山西省留學(xué)回國人員科研資助項(xiàng)目(2013052); 山西省研究生教育改革研究課題(20142028)

        作者簡介:劉雪琴(1989-),女,碩士生,主要從事模糊偏好研究.通信作者: 武彩萍(1967-),女,副教授,碩士,主要從事模糊決策的研究.

        中圖分類號:O159

        文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A

        doi:10.3969/j.issn.1673-3193.2016.02.001

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