馬 躍， 黃曉芬,2

(1.海南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,?？?571158；2.海南師范大學(xué)數(shù)據(jù)科學(xué)與智慧教育教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,?？?571158)

1 引 言

矩陣是數(shù)學(xué)中一種基本的工具, 對于數(shù)學(xué)學(xué)科的重要性不言而喻, 而且在計(jì)算機(jī)學(xué)科和物理學(xué)科中也有著廣泛的運(yùn)用. 例如, 在計(jì)算機(jī)學(xué)科中, 矩陣會被用到三維動畫的制作. 在物理學(xué)科中, 電路學(xué)的電路方程的矩陣形式可以更好的被用來研究割集電壓方程、列表方程回路、電流方程和結(jié)點(diǎn)電路方程的矩陣形式. 另外Hermite矩陣因其特征值為實(shí)數(shù)通常用于量子物理中. 因此對Hermite矩陣及其相關(guān)矩陣進(jìn)行研究討論是非常必要的. 目前人們對于Hermite矩陣方程、反Hermite矩陣方程、次Hermite矩陣方程均已得到求解[1-3]，且得到相應(yīng)解的表達(dá)式. 本文針對一種反次Hermite矩陣方程解的表達(dá)式以及解的存在性條件進(jìn)行了討論.

2 預(yù)備知識

定義1[2-4]如果復(fù)矩陣A滿足A*=A,則復(fù)矩陣A叫做Hermite矩陣,A*表示A的共軛轉(zhuǎn)置矩陣.

定義2[2-4]如果復(fù)矩陣A滿足A*=-A,則復(fù)矩陣A叫做反Hermite矩陣,A*表示A的共軛轉(zhuǎn)置矩陣.

注 (AS)S=A， (A-1)S=(AS)-1， (A+B)S=AS+BS， (AB)S=BSAS.

引理1[2-5]已知矩陣方程

XAY=A,

(1)

其中A為可逆矩陣,P為任意矩陣，使A+P和A-P均為可逆矩陣,則X=(A+P)(A-P)-1和Y=(A+P)-1(A-P)是方程(1)的解.

引理2[2-5]已知復(fù)數(shù)域上矩陣方程

X*AX=A,

(2)

這里A為非退化復(fù)Hermite矩陣,P為任一反Hermite矩陣, 且使A+P和A-P均為可逆矩陣, 則K=(A+P)-1(A-P)為方程(2)的解.

引理3[1-5]已知復(fù)數(shù)域上矩陣方程

X*AX=A,

(3)

這里A為非退化復(fù)反Hermite矩陣,P為任一Hermite矩陣, 且使A+P和A-P均為可逆矩陣,則K=(A+P)-1(A-P)為方程(3)的解.

引理4[2-5]已知矩陣方程

(4)

其中A為非退化復(fù)次Hermite矩陣,P為任一反次Hermite矩陣, 且使A+P和A-P均為可逆矩陣, 則K=(A+P)-1(A-P)為方程(4)的解.

3 主要結(jié)果

定理1已知復(fù)數(shù)域上矩陣方程

(5)

證由于

實(shí)際上，定理1的逆命題也是正確的，即有下面的結(jié)論.

定理2A為非退化的復(fù)反次Hermite矩陣,K為方程(5)的非退化解, 且E-K和(E+K)-1均為非退化矩陣, 則K=(A+P)-1(A-P), 其中P為一個次Hermite矩陣.

A+P=A+A(E-K)(E+K)-1=A(E+(E-K)(E+K)-1)

=A((E+K)(E+K)-1+(E-K)(E+K)-1)

=A(E+K+E-K)(E+K)-1

=2A(E+K)-1.

故A+P為非退化矩陣.又因?yàn)镻=A(E-K)(E+K)-1, 易得P(E+K)=A(E-K).所以

P+PK=A-AK, (A+P)K=A-P,K=(A+P)-1(A-P).

因此K=(A+P)-1(A-P).再來證明P是一個次Hermite矩陣,由于

又因?yàn)?/p>

(K+E)-1(K+E)(K-E)=K-E，

(6)

且

(K+E)(K-E)=K2-E=(K-E)(K+E).

易知(6)式可變?yōu)?/p>

(K+E)-1(K-E)(K+E)=K-E，

(K+E)-1(K-E)=(K-E)(K+E)-1.

故P為次Hermite矩陣.綜上所述,K=(A+P)-1(A-P), 且P為次Hermite矩陣.

下面將定理1進(jìn)行推廣, 給出一類特殊的反次Hermite矩陣方程的求解.

定理3已知方程

XAX=A,

(7)

設(shè)A為非退化復(fù)反次Hermite矩陣,P為任一次Hermite矩陣, 且使A+P和A-P均為可逆矩陣, 滿足AP+PA=O, 則K=(A+P)-1(A-P)為方程(7)的解.

A2+AP+PA+P2=A2-AP-PA+P2,

從而有

(A+P)2=(A-P)2,

(A+P)-1(A-P)=(A+P)(A-P)-1.

(8)

根據(jù)方程(8)和定理1可得

由于定理3的逆命題也是正確的,我們有下面的定理.

定理4設(shè)A為非退化的復(fù)反次Hermite矩陣,K為方程(7)的非退化次Hermite解,E-K和(E+K)-1均為非退化矩陣, 且K=(A+P)-1(A-P)， 則有AP+PA=O.

K=(A+P)-1(A-P)，

(A+P)-1(A-P)=(A+P)(A-P)-1,

化簡可得

(A+P)2=(A-P)2，

即

A2+AP+PA+P2=A2-AP-PA+P2

AP+PA=O.

4 結(jié) 論

致謝作者非常感謝相關(guān)文獻(xiàn)對本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見.