問(wèn)題

問(wèn)題18(供題者:北京大學(xué) 馮榮權(quán)、許地生) 用Mn()表示所有n階實(shí)方陣構(gòu)成的集合,則在矩陣加法和數(shù)乘下,Mn()為實(shí)數(shù)域上的n2維線(xiàn)性空間.證明:Mn()的任一超平面(即n2-1維子空間)中都存在正交矩陣.

解答

問(wèn)題9(供題者:東南大學(xué) 陳建龍) 設(shè)A為3階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，它的3個(gè)特征值為λi(i=1,2,3)，滿(mǎn)足λ1=λ2≠λ3，α1，α2為屬于特征值λ1的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量.證明A由λ1，λ3，α1，α2唯一確定.

我們提供兩個(gè)解答，分別由楊雪和賈經(jīng)緯給出.提供本題正確解答的還有讀者(以姓名拼音為序):彭凱軍(合肥工業(yè)大學(xué)，E-mail:kaijunpeng@hfut.edu.cn)；張偉(蘭州大學(xué)，E-mail:zhangw@lzu.edu.cn).

解答1以下解答由楊雪(北京科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院研究生，E-mail：s20200729@xs.ustb.edu.cn)給出.

解答2以下解答由賈經(jīng)緯(內(nèi)蒙古大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,E-mail:jialixin203@163.com)提供.

證問(wèn)題9可推廣如下：

設(shè)A是一個(gè)n階(n≥2)實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，1個(gè)n-1重特征值λ1，1個(gè)單特征值λ2，α1，…，αn-1為屬于特征值λ1的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量，則A由λ1，λ2，α1，…，αn-1唯一確定.

事實(shí)上，將α1，…，αn-1采用施密特正交規(guī)范化過(guò)程后得到的向量組記作e1，…，en-1，則U=(e1，…，en-1,αn)是一個(gè)n階正交陣，

因此

供題者點(diǎn)評(píng)本題是一個(gè)經(jīng)典的反問(wèn)題，即已知實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的特征值與部分特征向量，求出原矩陣.一般教材只給出具體例子的求法，但讀者應(yīng)思考為何那里的解法決定的矩陣是唯一的.此題本來(lái)是想面向非數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)學(xué)生練習(xí)的，現(xiàn)提供的兩種解法均是正確的，特別是解法2給出了推廣情形，并得到了一個(gè)具體表達(dá)式，這是出題者更喜歡的.當(dāng)n=3時(shí)，此表達(dá)式還可進(jìn)一步化簡(jiǎn)，只與已知條件有關(guān)，讀者可再思考一下.

問(wèn)題12(供題者:國(guó)防科技大學(xué) 王銀坤) 證明:對(duì)于n≥1且n為整數(shù),等式

成立.

我們提供兩個(gè)解答,分別由張偉和曹子昂給出.提供本題正確解答的還有讀者(以姓名拼音為序):陳超平(河南理工大學(xué)，E-mail:chenchaoping@sohu.com)；石勇國(guó)(內(nèi)江師范學(xué)院E-mail:matshi@126.com)；吳發(fā)乾(廣西科技師范學(xué)院,E-mail:903477542@qq.com)；楊宇明(電子科技大學(xué),E-mail:yangym@uestc.edu.cn).

解答1以下解答由張偉(蘭州大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,E-mail:zhangw@lzu.edu.cn)提供.

解答2以下解答由曹子昂(湖南農(nóng)業(yè)大學(xué)信息與智能科學(xué)技術(shù)學(xué)院2021級(jí)本科生,E-mail:1940545459@qq.com)提供.

(1)

而

代入(1)式得到

即證等式當(dāng)n=m+1時(shí)也成立.由數(shù)學(xué)歸納法，原等式對(duì)所有正整數(shù)n成立.