孫云歡 ，白紅信

（1.保定學(xué)院 數(shù)據(jù)科學(xué)與軟件工程學(xué)院，河北 保定 071000；2.北京工業(yè)大學(xué) 理學(xué)部，北京 100124）

矩陣的克羅內(nèi)克積是一種特殊的矩陣乘積運算.矩陣的克羅內(nèi)克積不受普通矩陣乘積對行數(shù)和列數(shù)的影響，它是任意大小的兩個矩陣間的運算，雖然其運算較普通矩陣繁瑣，并沒有被充分、廣泛地了解，但是在矩陣理論中具有廣泛的應(yīng)用，比如對于求解矩陣方程[1]具有很大的幫助，而且在其他領(lǐng)域中也有非常廣泛的應(yīng)用，比如電信技術(shù)[2]、信息處理、圖像處理[3]等.

本文著重探究矩陣克羅內(nèi)克積的特征向量，以克羅內(nèi)克積基本運算性質(zhì)為基礎(chǔ)，利用矩陣理論的可對角化矩陣和相似矩陣作為橋梁，對一般矩陣的克羅內(nèi)克積的特征向量進行探究，為人們更好地理解克羅內(nèi)克積奠定基礎(chǔ).

1 預(yù)備知識

1.1 定義

定義2[5]設(shè)矩陣A、B為數(shù)域P上的2個n階矩陣，若存在可逆矩陣Q，使得Q-1AQ=B，則稱矩陣A與矩陣B相似，記作A≈B.

1.2 引理

引理2[6]設(shè)存在可逆矩陣Q，滿足Q-1AQ=B，μ是A與B的一個特征值.若β是矩陣B的屬于特征值μ的一個特征向量，則Qβ是矩陣A的屬于特征值μ的一個特征向量.

引理3[6]2個相似矩陣屬于同一特征值的特征子空間同構(gòu).

2 矩陣的克羅內(nèi)克積的特征向量

設(shè)矩陣A、B，已知矩陣A、B的特征向量，下面探究矩陣A、B的克羅內(nèi)克積A?B的特征向量的表示形式.

2.1 可對角化矩陣的克羅內(nèi)克積的特征向量

定理1 設(shè)矩陣A為n階方陣，矩陣B為m階方陣，且A、B為可對角化矩陣.設(shè)λ1、λ2、…、λn為矩陣A的特征值，μ1、μ2、…、μm為矩陣B的特征值，A的屬于特征值λi的特征向量為αi（i=1，2，…，n），B的屬于特征值μj的特征向量為βj（j=1，2，…，m），且α1、α2、…、αn線性無關(guān)，β1、β2、…、βm線性無關(guān).則A?B的特征向量為

證明 由于 A、B 為可對角化矩陣，則存在可逆矩陣 T=（α1，α2，…，αn），P=（β1，β2，…，βm）使得

且有（T-1AT）?（P-1BP）=（T-1?P-1）（A?B）（T?P）=（T?P）-1（A?B）（T?P），且A?B也是可對角化矩陣，T?P為可逆矩陣，由A?B的特征向量構(gòu)成.

所以A?B的特征向量為

2.2 不可對角化矩陣的克羅內(nèi)克積的特征向量

下面探究考慮當(dāng)矩陣A、B為不可對角化矩陣且只有一個特征值的情形.

在線性空間的一組基下，線性空間中的每一個線性變換都與Pn×n中矩陣唯一對應(yīng).設(shè)線性變換V1在一組基 ε1、ε2、…、εn下的矩陣為 A，線性變換 V2在一組基 δ1、δ2、…、δn下的矩陣為 B，線性變換 V 在基 η1、η2、…、ηn2下的矩陣為A?B，又每個n級的復(fù)數(shù)矩陣A都與一個若爾當(dāng)形矩陣相似.設(shè)n階矩陣A、B為不可對角化矩陣且只有一個特征值.

2.2.1 命題

證明 可以計算得知矩陣M2的特征向量在基ε1、ε2下的坐標(biāo)為e1=（0，1）T，N2的特征向量在基δ1、δ2下的坐標(biāo)為 e1=（0，1）T.

令 P=M2?N2.

我們知道矩陣A?B的特征值為λμ，且相似矩陣有相同的特征值，則P=M2?N2的特征值也為λμ.設(shè)矩陣 P 的特征向量在基 η1、η2、η3、η4下的坐標(biāo)為 X=（x1，x2，x3，x4）T.

1）若 λ=μ=0，則 x1=0，x2、x3、x4為任意常數(shù).故矩陣 P 的特征向量在基 η1、η2、η3、η4下的坐標(biāo)為（0，0，0，1）T，（0，1，0，0）T，即特征向量在基 η1，η2，η3，η4下的坐標(biāo)為 e1?e1，e1?e2，e2?e1.

2）若 λ=0，μ≠0，則 x1=0，x2=0，x3、x4為任意常數(shù).故矩陣 P 的特征向量在基 η1、η2、η3、η4下的坐標(biāo)為（0，0，0，1）T、（0，0，1，0）T，即特征向量在基 η1、η2、η3、η4下的坐標(biāo)為 e1?e1，e1?e2.

3）若 λ≠0，μ=0，則 x1=0，x3=0，x2、x4為任意常數(shù).故矩陣 P 的特征向量在基 η1、η2、η3、η4下的坐標(biāo)為（0，0，0，1）T、（0，1，0，0）T，即特征向量在基 η1、η2、η3、η4下的坐標(biāo)為 e1?e1，e2?e1.

證明 令P=M3?N3.

我們知道矩陣 M3、N3的特征向量分別在基 ε1、ε2、ε3和基 δ1、δ2、δ3下的坐標(biāo)都是 e1，矩陣 P 的特征值為 λμ，設(shè)特征向量在基 η1、η2、…、η9下的坐標(biāo)為 X=（x1，x2，…，x9）T.

1）若 λ=μ=0，矩陣 P 的特征向量在基 η1、η2、…、η9下的坐標(biāo)為

e1?e1，e1?e2，e1?e3，e2?e1，e3?e1；

2）若 λ=0，μ≠0，矩陣 P 的特征向量在基 η1、η2、…、η9下的坐標(biāo)為

e1?e1，e1?e2，e1?e3；

3）若 λ≠0，μ=0，矩陣 P 的特征向量在基 η1、η2、…、η9下的坐標(biāo)為

e1?e1，e2?e1，e3?e1；

4）若 λ≠0，μ≠0，矩陣 P 的特征向量在基 η1、η2、…、η9下的坐標(biāo)為

2.2.2 例題

例題1 考慮n階矩陣A、B，設(shè)

求解矩陣A?B的特征向量.

解 令矩陣P=Mn?Nn.

矩陣 Mn、Nn分別在基 ε1、ε2、…、εn和基 δ1、δ2、…、δn下的坐標(biāo)都為 e1，矩陣 P 的特征值為 λμ，設(shè) P在基 η1、η2、…、ηn2下的坐標(biāo)為 X=（x1，x2，…，xn2）T，則由歸納法得：

1）當(dāng) λ=μ=0 時，矩陣 P 的特征向量在基 η1、η2、…、ηn2下的坐標(biāo)為 e1?e1，e1?e2，…，e1?en，en?e1，en-1?e1，…，e2?e1，共有 2n-1 個特征向量.

2）當(dāng) λ=0，μ≠0 時，矩陣 P 的特征向量在基 η1、η2、…、ηn2下的坐標(biāo)為 e1?e1，e1?e2，…，e1?en，共有n個特征向量.

3）當(dāng) λ≠0，μ=0 時，矩陣 P 的特征向量在基 η1、η2、…、ηn2下的坐標(biāo)為 e1?e1，e2?e1，…，en?e1，共有n個特征向量.

4）當(dāng) λ≠0，μ≠0 時，矩陣 P 的特征向量在基 η1、η2、…、ηn2下的坐標(biāo)為

所以矩陣P的特征向量共有n個，可以給上述自由未知量賦n組值，令分別為（1，0，0，…，0），（0，1，0，…，0），（0，0，1，…，0），…，（0，0，0，…，1，0），（0，0，0，…，1）.

于是便得到矩陣P的特征向量，其中一個特征向量在基下的坐標(biāo)為e1?e1.

我們得知了2個若爾當(dāng)形矩陣的克羅內(nèi)克積的特征向量，因為矩陣A、B分別和若爾當(dāng)形矩陣相似，即A≈Mn，B≈Nn.故存在數(shù)域P上的可逆矩陣Q1和Q2，使得數(shù)域P上的矩陣A、B滿足

我們已經(jīng)知道了矩陣Mn?Nn的特征向量，并記特征向量為β，且

由引理2，則（Q1?Q2）β是A?B屬于特征值λμ的一個特征向量.

這樣我們就求得了矩陣A?B的特征向量.

3 結(jié)論

1）當(dāng)2個矩陣都為可對角化矩陣時，這兩個矩陣的克羅內(nèi)克積的特征向量就是它們的特征向量分別作克羅內(nèi)克積.

2）當(dāng)2個矩陣為不可對角化矩陣時，它們的特征向量分別作克羅內(nèi)克積一定是它們的克羅內(nèi)克積的特征向量.若這2個矩陣都為n階矩陣，可分為3種情況：如果這2個矩陣的特征值都為0，則它們的克羅內(nèi)克積的特征向量共有2n-1個；如果這2個矩陣的特征值其中一個為0，另一個不為0，則它們的克羅內(nèi)克積的特征向量共有n個；如果這2個矩陣的特征值都不為0，則它們的克羅內(nèi)克積的特征向量共有n個.

本文只研究了2個可對角化矩陣的克羅內(nèi)克積的特征向量和2個不可對角化且只有一個特征值的矩陣的克羅內(nèi)克積的特征向量，對于不可對角化有多個特征值的矩陣的克羅內(nèi)克積的特征向量還有待進一步研究.