賀素香， 周樹民

(武漢理工大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系，武漢 430070)

1 引 言

最優(yōu)化方法于19世紀(jì)40年代末形成一個(gè)數(shù)學(xué)分支，它是研究從眾多方案中選擇某方案以達(dá)到目標(biāo)最優(yōu)的學(xué)科.最優(yōu)化方法擁有比較完善的知識(shí)體系，課程內(nèi)容不僅涉及到?jīng)Q策問題的最優(yōu)解的理論特性，還涉及到尋求最優(yōu)解的計(jì)算方法及其在實(shí)際問題中的計(jì)算性能表現(xiàn)[1-2].伴隨著近代科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，特別是高速度大容量電子計(jì)算機(jī)的普及和優(yōu)化計(jì)算方法自身的發(fā)展，最優(yōu)化方法已滲透到航空航天、生命科學(xué)、工程技術(shù)等自然科學(xué)領(lǐng)域和經(jīng)濟(jì)金融等社會(huì)科學(xué)領(lǐng)域.因此，最優(yōu)化方法目前已成為許多高校為高年級(jí)本科生開設(shè)的一門十分重要的課程.

為了激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)最優(yōu)化方法課程的熱情，并且讓學(xué)生切實(shí)掌握這門課程的基本概念和方法，許多教育工作者從課堂教學(xué)模式、教學(xué)理念、教學(xué)方法等方面對(duì)這門課程開展了研究和探索.例如，參考文獻(xiàn)[3]提出了基于研究型教學(xué)理念的數(shù)學(xué)建模和最優(yōu)化課程建設(shè)設(shè)計(jì)，并取得了良好效果；參考文獻(xiàn)[4]對(duì)這門課程的教學(xué)方法進(jìn)行了研究與實(shí)踐，提出了相應(yīng)教學(xué)改革方案，并給出了相關(guān)教學(xué)方法在課程中的實(shí)踐模式；參考文獻(xiàn)[5]從這門課程的算法實(shí)現(xiàn)角度，探討了基于Matlab的微課設(shè)計(jì)教學(xué)形式, 從而滿足了不同學(xué)生的興趣和需求，達(dá)到了理想的教學(xué)效果；參考文獻(xiàn)[6]基于教學(xué)研究中的一些新理念和新方法，張襄松和馬元魁對(duì)這門課程的教學(xué)模式進(jìn)行了有益探索.

結(jié)合上述教研特性，筆者探索在這門課程中融入專題研究型教學(xué)方法.專題研究型教學(xué)方法是相對(duì)于傳統(tǒng)的以知識(shí)傳授為主的課堂教學(xué)而提出的一種教學(xué)方法，它倡導(dǎo)以課程內(nèi)容中的一些難點(diǎn)、重點(diǎn)或者學(xué)科前沿問題為研究主題，通過查閱資料、分析思考、課堂討論和撰寫研究報(bào)告以使學(xué)生最終深入理解和熟練掌握相應(yīng)專業(yè)知識(shí)點(diǎn)，同時(shí)提高學(xué)生的自主探究和獨(dú)立思考能力.作為一門蓬勃發(fā)展的年輕學(xué)科，最優(yōu)化方法的每一個(gè)分支都在不斷涌現(xiàn)新的理論、方法和應(yīng)用，因此在最優(yōu)化方法課程中融入專題研究型教學(xué)方法對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的科研意識(shí)和創(chuàng)新性思維等十分必要.

最優(yōu)化方法作為筆者學(xué)校信計(jì)專業(yè)大三學(xué)生的一門選修課程，不僅注重介紹優(yōu)化方法的基本思想和原理，還注重培養(yǎng)學(xué)生對(duì)所學(xué)優(yōu)化算法的實(shí)際應(yīng)用能力，相應(yīng)開設(shè)了上機(jī)實(shí)驗(yàn)課.在掌握最優(yōu)化基本方法的基礎(chǔ)上，通過上機(jī)實(shí)驗(yàn)課的實(shí)踐訓(xùn)練，學(xué)生可以充分運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行分析、歸納和提煉，從而建立相應(yīng)的最優(yōu)化模型，然后在選擇適當(dāng)?shù)膬?yōu)化算法的前提下，編寫計(jì)算機(jī)程序進(jìn)行實(shí)際問題的求解，最后對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行分析和總結(jié).這門課程的開設(shè)在提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)和數(shù)學(xué)修養(yǎng)方面起著重要作用.針對(duì)學(xué)生在最優(yōu)化方法課程學(xué)習(xí)中普遍反映的一些算法思想原理太抽象而難以深入理解，從而導(dǎo)致傳統(tǒng)的課堂講授很難達(dá)到預(yù)期的教學(xué)效果，筆者結(jié)合最優(yōu)化方法的特性和筆者學(xué)校開設(shè)最優(yōu)化方法課程的宗旨以及自身從事最優(yōu)化理論與方法領(lǐng)域的教學(xué)和科研經(jīng)歷，將從基于最優(yōu)化方法課程內(nèi)容的專題設(shè)計(jì)、專題研究型教學(xué)方法的實(shí)踐和教學(xué)效果等方面探討在這門課程的知識(shí)傳授中融入專題研究型教學(xué)方法.

2 基于最優(yōu)化方法課程內(nèi)容的專題研究設(shè)計(jì)

在最優(yōu)化方法課程中融入專題研究型教學(xué)方法旨在為學(xué)生構(gòu)建合理的優(yōu)化方法知識(shí)結(jié)構(gòu)，深入理解基本優(yōu)化方法思想，了解最優(yōu)化方法學(xué)科發(fā)展的前沿和實(shí)際應(yīng)用，激發(fā)學(xué)生對(duì)學(xué)科前沿存在的問題的研究熱情以及培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力，因此，如何從最優(yōu)化方法課程中提煉出具有代表性的專題研究是至關(guān)重要的.筆者學(xué)校為信計(jì)專業(yè)開設(shè)的最優(yōu)化方法課程內(nèi)容主要分為線搜索方法、無約束優(yōu)化方法、約束優(yōu)化方法和現(xiàn)代優(yōu)化方法四個(gè)部分.基于這些內(nèi)容，下面具體探討專題研究的設(shè)計(jì)思想.

在線搜索方法中，精確線搜索中的黃金分割法是一類很有重要意義的方法.黃金分割法的基本思想是通過選取試探點(diǎn)使包含極小點(diǎn)的搜索區(qū)間不斷縮短，直到區(qū)間長(zhǎng)度滿足一定的精度要求.具體地說，黃金分割法對(duì)兩個(gè)試探點(diǎn)的選取要求滿足兩個(gè)條件，即兩個(gè)試探點(diǎn)在區(qū)間中的位置是對(duì)稱的，為了減少計(jì)算量，在下次迭代中保留一個(gè)舊試探點(diǎn)，只增加一個(gè)試探點(diǎn).基于對(duì)試探點(diǎn)的這兩個(gè)要求，在每次迭代區(qū)間長(zhǎng)度的縮短率相同的條件下，黃金分割法中的區(qū)間長(zhǎng)度的縮短率恰是著名的黃金分割數(shù)，并由此得到兩個(gè)試探點(diǎn)的表達(dá)式.黃金分割法僅要求函數(shù)在搜索區(qū)間上為單峰函數(shù)即可，不要求可微，甚至不要求連續(xù)，在迭代中只用到函數(shù)值，要求的條件十分寬松，因此適用范圍很廣.黃金分割法中的黃金分割數(shù)蘊(yùn)含著神奇之美，它在建筑、文藝、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和科學(xué)實(shí)驗(yàn)中有著廣泛而重要的應(yīng)用.進(jìn)一步在發(fā)現(xiàn)相鄰兩個(gè)斐波那契數(shù)的比值隨序號(hào)的增加而逐漸趨于黃金分割數(shù)的基礎(chǔ)上，產(chǎn)生與黃金分割法緊密相關(guān)的斐波那契法，并且理論表明斐波那契法的收斂速度快于黃金分割法.鑒于黃金分割法的重要作用和黃金分割數(shù)的特殊意義，考慮設(shè)計(jì)黃金分割法的研究專題，研究?jī)?nèi)容包括黃金分割法的起源、黃金分割法的應(yīng)用和黃金分割法的計(jì)算實(shí)例，由此不僅讓學(xué)生欣賞到數(shù)學(xué)的魅力之處，還能夠培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)隱藏在數(shù)學(xué)奇妙背后的有價(jià)值的數(shù)學(xué)方法的洞察能力.

在無約束優(yōu)化方法中，Newton法是一種比較有代表性的方法，也是機(jī)器學(xué)習(xí)中常用的一種優(yōu)化算法.Newton法的核心在于牛頓方向，此方向可以從目標(biāo)函數(shù)的二階近似的角度去推導(dǎo).當(dāng)搜索步長(zhǎng)為1時(shí)，Newton法即為經(jīng)典Newton法.盡管經(jīng)典Newton法具有很好的二階局部收斂性，但是它對(duì)初始點(diǎn)的要求比較苛刻，如果初始點(diǎn)選擇不當(dāng)，則得到的迭代點(diǎn)序列可能會(huì)遠(yuǎn)離原問題的最優(yōu)解.為此，阻尼Newton法修正了經(jīng)典Newton法中步長(zhǎng)為 1的不足，在迭代中取步長(zhǎng)為最優(yōu)步長(zhǎng)或者非精確步長(zhǎng)，由此得到的阻尼Newton法具有很好的全局收斂性，甚至在一些較強(qiáng)的假設(shè)條件下具有至少二階的收斂速度.但是，在阻尼Newton法中仍然需要計(jì)算牛頓方向，牛頓方向中含有目標(biāo)函數(shù)的Hesse矩陣的逆矩陣，Hesse矩陣可能會(huì)非奇異或者病態(tài)，則會(huì)導(dǎo)致無法確定搜索方向或搜索方向不是下降方向.鑒于此缺陷，于是出現(xiàn)了若干種從不同角度考慮的修正Newton法，如對(duì)原Hesse矩陣添加修正項(xiàng)的修正Newton法.然而這些修正Newton法仍然涉及到計(jì)算目標(biāo)函數(shù)的Hesse矩陣及其逆矩陣，計(jì)算成本較高.針對(duì)這種計(jì)算量大的問題，擬Newton方法不考慮計(jì)算目標(biāo)函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，而僅需計(jì)算其一階導(dǎo)數(shù)，從而得到基于擬牛頓方程的近似目標(biāo)函數(shù)的Hesse矩陣或者其逆矩陣的矩陣迭代式.擬Newton法的Davidon-Fletcher-Powell(簡(jiǎn)寫為DFP)方法和Broyden-Fletcher-Goldforb-Shanno(簡(jiǎn)寫為BFGS)方法是擬Newton法的兩種代表性方法，并且相應(yīng)的BFGS公式在信賴域方法和序列二次規(guī)劃方法中起著重要的作用.之后優(yōu)化學(xué)者Broyden提出了涵蓋DFP方法和BFGS方法的Broyden族方法.因此，鑒于Newton法的特性與作用，考慮設(shè)計(jì)Newton法的研究專題，研究?jī)?nèi)容包括(擬)Newton法的產(chǎn)生、(擬)Newton法的發(fā)展、(擬)Newton法的應(yīng)用和(擬)Newton法的數(shù)值實(shí)驗(yàn)，從而培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)展性思維、獨(dú)立思辨能力及創(chuàng)新性意識(shí).

在約束優(yōu)化方法中，序列無約束極小化方法是一類求解約束問題的主要方法，其主要包括罰函數(shù)法和增廣Lagrange法.罰函數(shù)法是利用原問題的目標(biāo)函數(shù)和約束條件構(gòu)造新的目標(biāo)函數(shù)——罰函數(shù), 從而通過求解一系列以罰函數(shù)為目標(biāo)函數(shù)的無約束最優(yōu)化問題以獲得原問題的最優(yōu)解.罰函數(shù)法結(jié)構(gòu)上比較簡(jiǎn)單，易于操作，對(duì)初始點(diǎn)沒有要求，因此，罰函數(shù)法在數(shù)值計(jì)算中具有很廣泛的應(yīng)用.但是罰函數(shù)法的缺點(diǎn)在于收斂速度通常比較慢；它要求罰因子趨向于無窮大，這樣會(huì)使得罰函數(shù)的相應(yīng)Hesse矩陣的病態(tài)程度變得越來越嚴(yán)重；另外，或者需要求解以1范數(shù)為罰函數(shù)的不易求解的非光滑優(yōu)化問題.尤其內(nèi)罰函數(shù)法在具體實(shí)施時(shí)又必須要求初始點(diǎn)是嚴(yán)格可行的，而這需要耗費(fèi)相當(dāng)大的工作量.與罰函數(shù)法相比，由于引入了Lagrange乘子，增廣Lagrange法不需要罰參數(shù)趨向于無窮大，而是僅要求罰參數(shù)大于某一閥值即可.增廣Lagrange函數(shù)法的優(yōu)點(diǎn)還在于增廣Lagrange 函數(shù)具有與原問題中函數(shù)相同的光滑性，這使得它在數(shù)值實(shí)現(xiàn)時(shí)表現(xiàn)得相當(dāng)有效，因此，近幾十年來，它不僅在最優(yōu)化的傳統(tǒng)分支中得到了深入研究，而且在最優(yōu)化的新興分支中也得到了有效應(yīng)用.鑒于增廣Lagrange方法的蓬勃發(fā)展?jié)摿?，考慮設(shè)計(jì)包括增廣Lagrange方法的提出、增廣Lagrange方法的特性以及增廣Lagrange方法的應(yīng)用的研究專題.由此增強(qiáng)學(xué)生對(duì)最優(yōu)化方法課程的系統(tǒng)性認(rèn)識(shí)，即由約束問題的求解到無約束問題的求解，由不考慮乘子的罰函數(shù)法到考慮與約束問題的最優(yōu)性條件相關(guān)的乘子的增廣Lagrange法，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生對(duì)所學(xué)方法在實(shí)際應(yīng)用中的探究能力，深刻理解增廣Lagrange法在學(xué)科前沿問題中展現(xiàn)的有效性.

在現(xiàn)代優(yōu)化方法部分中，粒子群算法是基于對(duì)簡(jiǎn)化的社會(huì)模型的模擬而提出的，它被認(rèn)為是蟻群算法、魚群算法之外的一種群體智能的優(yōu)化算法.粒子群算法的基本原理可簡(jiǎn)單描述為：一個(gè)由若干個(gè)粒子組成的群體在搜索空間中以一定的速度飛行，每個(gè)粒子在進(jìn)行搜索時(shí)考慮到了自己搜索到的歷史最好點(diǎn)和群體內(nèi)其他粒子的歷史最好點(diǎn)，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行位置的更新和速度的調(diào)整；其中所有的粒子都有一個(gè)由被優(yōu)化的函數(shù)決定的適應(yīng)值，若所有粒子達(dá)到了預(yù)設(shè)的足夠好的適應(yīng)值或迭代次數(shù)，則停止搜索.與遺傳算法相比，盡管粒子群算法也是從一個(gè)隨機(jī)初始解開始進(jìn)行迭代，同樣采用適應(yīng)值以評(píng)價(jià)當(dāng)前解是否被接受，但它不采用交叉與變異操作，而是粒子們?cè)谒阉骺臻g中追隨其最優(yōu)粒子以搜索全局最優(yōu)解.粒子群算法由于其簡(jiǎn)單性、易于實(shí)現(xiàn)、無需梯度信息、參數(shù)少及其天然的實(shí)數(shù)編碼特點(diǎn)適合處理實(shí)際優(yōu)化問題等優(yōu)點(diǎn)，近年來它備受人工智能領(lǐng)域?qū)W者們的青睞.因此，鑒于粒子群算法的良好性能及其廣泛的實(shí)用性，考慮設(shè)計(jì)包括其研究背景、原理及其應(yīng)用的研究專題.由此讓學(xué)生理解與傳統(tǒng)優(yōu)化算法思想不同的現(xiàn)代智能優(yōu)化算法的特色與性能，培養(yǎng)學(xué)生善于觀察和思考的能力，激發(fā)學(xué)生敢于突破已有方法的束縛而勇于探索新方法的熱情.

除了上面具體探討的研究專題的設(shè)計(jì)外，其他還有很多研究專題可以考慮設(shè)計(jì)，如約束優(yōu)化問題的最優(yōu)性條件專題、最小二乘問題的專題、信賴域方法的專題、共軛梯度方法的專題和可行方向法的專題等等.

3 專題研究型教學(xué)方法的實(shí)踐

基于設(shè)計(jì)好的有待研究的專題，為了充分發(fā)揮專題研究型教學(xué)方法在最優(yōu)化方法課程中的實(shí)施效果，筆者學(xué)校最優(yōu)化方法課程組從組建專題研究小組、制定專題研究計(jì)劃、組織專題研究討論、撰寫專題研究報(bào)告以及設(shè)定專題研究考核方式等五個(gè)方面對(duì)其進(jìn)行具體探討和實(shí)踐.

3.1 組建專題研究小組

為了培養(yǎng)學(xué)生的良好合作學(xué)習(xí)能力，為了集思廣益，讓學(xué)生從專題研究中真正領(lǐng)會(huì)最優(yōu)化方法的學(xué)科內(nèi)涵以及取得更好的研究效果，任課教師在第一次課時(shí)就闡明分組原則.教師首先根據(jù)選課的人數(shù)確定好由2～3人組成的小組數(shù)目，結(jié)合學(xué)生所在班級(jí)的班委意見，選出組織能力強(qiáng)、有責(zé)任心、學(xué)習(xí)成績(jī)好的同學(xué)擔(dān)任小組組長(zhǎng)，負(fù)責(zé)開展小組的專題研究活動(dòng).然后小組組長(zhǎng)根據(jù)同學(xué)的學(xué)習(xí)情況和個(gè)人特長(zhǎng)組建小組成員后，小組選擇感興趣的專題，要求組員明確自己的任務(wù)，發(fā)揮自身的優(yōu)勢(shì)，組員間更要相互信任、支持和配合.教師通過組建小組展開專題研究，有利于學(xué)生之間的溝通、激勵(lì)、啟發(fā)和理解，培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)精神、學(xué)習(xí)動(dòng)力和創(chuàng)新能力，增強(qiáng)學(xué)生的凝聚力，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，促進(jìn)學(xué)生素質(zhì)的共同提高，最終達(dá)到完成專題研究的有效結(jié)果.

3.2 制定專題研究計(jì)劃

在專題研究小組及其選題確定好后，小組成員則需要根據(jù)選題的基本內(nèi)容查閱相關(guān)文獻(xiàn)資料，進(jìn)一步細(xì)化研究?jī)?nèi)容和明確研究目標(biāo).授課教師根據(jù)教學(xué)基本要求及教學(xué)進(jìn)度安排，組織各小組討論專題研究課題的具體計(jì)劃細(xì)節(jié)，包括課題的研究背景與意義、國內(nèi)外研究現(xiàn)狀分析、研究?jī)?nèi)容與目標(biāo)、研究方案、時(shí)間進(jìn)度安排、預(yù)期研究結(jié)果以及各組員的任務(wù)分工，然后小組選出一位思維縝密、擅長(zhǎng)寫作的組員負(fù)責(zé)寫出一份相應(yīng)的課題實(shí)施計(jì)劃書.通過制定專題研究計(jì)劃，各小組則會(huì)對(duì)所選的專題研究現(xiàn)狀有廣泛的認(rèn)識(shí)、對(duì)研究?jī)?nèi)容有更清楚的理解、對(duì)研究目標(biāo)有更準(zhǔn)確的把握及對(duì)專題研究的完成有更細(xì)致的時(shí)間安排等，從而為專題研究任務(wù)的順利完成奠定基礎(chǔ)，進(jìn)一步也為學(xué)生今后申報(bào)大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)項(xiàng)目及撰寫畢業(yè)設(shè)計(jì)論文的開題報(bào)告等積累經(jīng)驗(yàn).

3.3 組織專題研究討論

根據(jù)各小組的專題研究計(jì)劃安排，當(dāng)與某組專題研究相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)授課結(jié)束后，授課教師在后續(xù)課堂上組織學(xué)生進(jìn)行十分鐘的專題研究討論.首先，該組對(duì)開展的專題研究進(jìn)展情況做出匯報(bào)，包括已經(jīng)取得的結(jié)果、目前遇到了哪些問題和預(yù)計(jì)采取的措施以及下一步的工作計(jì)劃等.每次一人匯報(bào)，組員可做補(bǔ)充，其他組的組員提出疑問或建議，鼓勵(lì)全體學(xué)生積極參與討論，從而發(fā)現(xiàn)新問題和新想法.最后，教師對(duì)本次討論做出點(diǎn)評(píng).專題研究討論的模式為學(xué)生的學(xué)習(xí)積極主動(dòng)性的調(diào)動(dòng)、學(xué)生自主學(xué)習(xí)最優(yōu)化方法熱情的激發(fā)、語言表達(dá)和溝通能力的提高及各組間共同學(xué)習(xí)、共同分享研究成果氛圍的促進(jìn)等提供良好平臺(tái)，更為學(xué)生今后順利通過職場(chǎng)面試提供技能儲(chǔ)備.

3.4 匯報(bào)專題研究成果

專題研究完成后，授課教師指導(dǎo)各小組對(duì)研究成果進(jìn)行分析總結(jié)和認(rèn)真梳理，并按照學(xué)術(shù)規(guī)范撰寫專題研究結(jié)題報(bào)告，包括研究目標(biāo)和執(zhí)行情況概述、研究工作主要進(jìn)展和取得的主要成果、存在的問題和建議及需要說明的情況.然后，教師把各組完成的結(jié)題報(bào)告放在QQ群中供各小組互相交流學(xué)習(xí)，尤其不同選題的小組間可分享到最優(yōu)化方法課程中的不同方法的原理、數(shù)值計(jì)算性能及應(yīng)用的實(shí)質(zhì)，甚至相同選題的組間可領(lǐng)會(huì)到各組的研究水平、思維深度與廣度和創(chuàng)新能力的差異.最后，教師組織各組進(jìn)行五分鐘的專題研究答辯，即通過提煉專題研究結(jié)題報(bào)告，將研究成果以幻燈片的形式匯報(bào)給大家，同時(shí)接受教師和同學(xué)的提問.通過專題研究成果的匯報(bào)過程，學(xué)生對(duì)最優(yōu)化方法課程中的基本思想原理的理解得到夯實(shí)，學(xué)生的邏輯思維、歸納分析、提煉總結(jié)等能力得到提升，而且學(xué)生的公眾場(chǎng)合的演講能力和水平也會(huì)得到提高.

3.5 設(shè)置專題研究考核方式

為了切實(shí)發(fā)揮專題研究教學(xué)方法的作用，提高專題研究教學(xué)方法的成效，促進(jìn)學(xué)生積極參與專題研究的教學(xué)活動(dòng)，有必要設(shè)置專題研究考核方式細(xì)則.根據(jù)前述的專題研究實(shí)踐方式，最優(yōu)化方法課程組將專題研究的考核內(nèi)容細(xì)分為四部分：

(i) 專題研究計(jì)劃考核 (20%)：此部分主要考核學(xué)生對(duì)最優(yōu)化方法課程專題研究的工作態(tài)度、對(duì)教材與相關(guān)文獻(xiàn)資料的閱讀與綜述能力、對(duì)研究?jī)?nèi)容與方案的明確度、對(duì)時(shí)間進(jìn)度安排的合理性等；

(ii) 專題研究討論考核(20%)：此部分主要考核學(xué)生對(duì)專題研究討論的參與度，即是否熱心參與討論？是否積極發(fā)表意見？是否勇于提出問題？

(iii)專題研究結(jié)題報(bào)告的考核(40%)：此部分主要考核學(xué)生的研究能力、寫作與總結(jié)提煉能力及撰寫規(guī)范性等；

(iv) 專題研究答辯的考核(20%)：此部分主要考核學(xué)生的答辯態(tài)度、對(duì)研究?jī)?nèi)容的講解、觀點(diǎn)的表達(dá)及對(duì)所提問題的反應(yīng)等.

4 專題研究型教學(xué)方法的教學(xué)效果

課程組從2016年在最優(yōu)化方法課程中開始實(shí)施專題研究型教學(xué)方法以來，共進(jìn)行了四輪次教學(xué)實(shí)踐.每次教學(xué)實(shí)踐結(jié)束后，課程組都會(huì)對(duì)各小組進(jìn)行問卷調(diào)查，內(nèi)容主要涉及對(duì)專題研究教學(xué)方法、專題研究選題、專題研究實(shí)踐方式方面的滿意度以及組員的心得體會(huì).下表給出了2016年至2019年期間課程組對(duì)開展的專題研究型教學(xué)方法實(shí)踐過程中選課學(xué)生進(jìn)行的滿意比(滿意人數(shù)/選課人數(shù)×100%)問卷調(diào)查的反饋匯總表：

表1 2016年至2019年期間專題研究型教學(xué)方法的滿意比調(diào)查表

從反饋結(jié)果看，大部分學(xué)生對(duì)在最優(yōu)化方法課程中實(shí)施專題研究教學(xué)方法比較滿意，并且學(xué)生普遍反映他們不僅深刻理解了最優(yōu)化方法的思想原理，了解了最優(yōu)化方法的發(fā)展前沿，還獲得了傳統(tǒng)授課方法所不能培養(yǎng)的諸多能力.例如，一個(gè)小組選擇了關(guān)于Newton法的專題研究，為了驗(yàn)證阻尼Newton法優(yōu)于傳統(tǒng)Newton法的理論結(jié)果，小組不滿足于教材中例子給出的對(duì)比數(shù)值結(jié)果，他們還查閱了最優(yōu)化方法經(jīng)典算例集，對(duì)其中的四個(gè)算例進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算，并在阻尼Newton法的數(shù)值實(shí)驗(yàn)中還采用了不同的線搜索技巧，給出了更詳細(xì)的對(duì)比數(shù)值結(jié)果，結(jié)果進(jìn)一步說明了阻尼Newton法的全局收斂性的優(yōu)越性以及阻尼Newton法中線搜索技巧選取的重要性.再如，一個(gè)小組選擇了增廣Lagrange乘子法的專題研究，為了理解罰函數(shù)方法的病態(tài)問題，他們還查閱了罰函數(shù)方法的文獻(xiàn)，從理論上深刻理解罰函數(shù)方法的這種不足，然后根據(jù)對(duì)比數(shù)值試驗(yàn)，加強(qiáng)了對(duì)增廣Lagrange乘子法的優(yōu)越性認(rèn)識(shí).

學(xué)生們普遍認(rèn)為通過這樣的專題研究實(shí)踐過程，他們的學(xué)習(xí)積極性與科研探索性得到了激發(fā)，動(dòng)手實(shí)踐、合作交流、論文寫作及靈敏應(yīng)變等能力得到了提升，為將來的進(jìn)一步深造或者走向工作崗位奠定了基礎(chǔ).

5 結(jié) 論

專題研究型教學(xué)方法為筆者學(xué)校最優(yōu)化方法課程的教與學(xué)已初步注入了活力，很好地體現(xiàn)了“學(xué)生為主體，教師為主導(dǎo)”的教育理念，它的實(shí)踐不僅使學(xué)生受益，也對(duì)教師不斷更新知識(shí)、提升業(yè)務(wù)能力提出了更高的要求.因此，為了讓學(xué)生今后更好地在最優(yōu)化方法的課程學(xué)習(xí)中享受到獲取知識(shí)與提高能力的樂趣，課程組仍需要不斷提升自身的專業(yè)素養(yǎng)和探索新的實(shí)踐方式及更豐富的專題設(shè)計(jì)以充分發(fā)揮專題研究型教學(xué)方法的優(yōu)越性.

致謝作者非常感謝相關(guān)文獻(xiàn)對(duì)本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見.