山東省淄博市萬杰朝陽學(xué)校 李 哲 （郵編：255213）

山東省壽光市教育科學(xué)研究中心 張明同 （郵編：262700）

由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求曲線的切線，切線與曲線在切點附近的局部區(qū)間內(nèi)只有切點這一個公共點，真可謂“瞬間的相遇”卻只能唱“一世的離歌”.

切線問題，有時單獨考查，有時卻會間接地考查.“直曲問題”一直是高考考查的重點，是函數(shù)導(dǎo)數(shù)內(nèi)容中的一類經(jīng)典問題，如何利用好曲線的切線解決問題？現(xiàn)借助一道?？碱}對這一類問題進行分析、探源和研究，希望能對高考備考和導(dǎo)數(shù)題的研究提供方向和借鑒，進一步開拓考生的解題思路，豐富考生的解題手段.

1 經(jīng)典題呈現(xiàn)

（2022年淄博市第二次模擬考試22題，以下簡稱淄博模考題）已知m∈R，函數(shù)f(x)=(xm)sinx+cosx的定義域是

（2）若m=-π，且f (x)≥ax+1 恒成立，求實數(shù)a 的值.

對淄博?？碱}的研究發(fā)現(xiàn)，如果能充分利用題目提供的有效信息，對第（2）問可以有更巧更妙的解法.

審題要津首先，條件“f (x)≥ax+1 恒成立”給了一個明顯的暗示：y=f (x)與y=ax+1 的圖象存在特定的位置關(guān)系；其次，直線y=ax+1 過定點(0,1)，而該點也在曲線y=f(x)上.鑒于以上特點，可以考慮從曲線的切線角度求解.

解析（1）略；

（2）當(dāng)m=-π 時，f(x)=(x+π)sinx+cosx，“f(x)≥ax+1 恒成立”等價于“y=f(x)恒在直線y=ax+1 的上方（公共點除外）”，又y=f(x)與y=ax+1 有公共點(0,1)，所以，可先求出y=f(x)在點(0,1)處的切線.

f′(x)=(x+π)cosx，k=f′(0)=π，曲線y=f(x)在點(0,1)處的切線方程為y=πx+1，

下面證明：(x+π)sinx+cosx≥πx+1 恒成立.

設(shè)g(x)=(x+π)sinx+cosx-(πx+1)，

當(dāng)x=-π 時，g(-π)=π2-2>0，

記h(x)=cosx-

當(dāng)x∈(-π,0) 時，y=cosx與均單調(diào)遞增，又h(0)=0，

所以當(dāng)x∈(-π,0)時，h(x)<0，g′(x)<0，函數(shù)g(x)單調(diào)遞減，又因為g(0)=0，所以當(dāng)x∈(-π,0]時，g(x)≥0；

綜上，(x+π)sinx+cosx≥πx+1恒成立，所以a=π.

解題反思(1)準(zhǔn)確抓住題目暗示的信息：“曲線y=f(x)與直線y=ax+1 的位置關(guān)系”“直線y=ax+1過y=f(x)上的點(0,1)”，是正確找到巧妙解題方向的關(guān)鍵所在；（2）三角函數(shù)同對數(shù)函數(shù)一樣，喜歡“獨處”，因此把g′(x)=(x+π)cosx-π 改寫成的形式，更有利于問題的求解.

2 試題探源

其實，早在2005年高考遼寧卷、2013年高考北京卷中就已經(jīng)出現(xiàn)過這種題型，只不過當(dāng)時問題的呈現(xiàn)方式非常直接，明確要求考查曲線與直線的位置關(guān)系，十七年后的今天，問題的呈現(xiàn)方式略作變化，因此，解題的方法也就豐富了許多，但如果抓住“f(x)≥ax+1”這個式子的幾何特征，利用曲線的切線求解，不失為一種比較好的處理手法.下面回顧當(dāng)年的高考真題.

（1）（2005年遼寧高考第22題）函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)可導(dǎo)，導(dǎo)函數(shù)f′(x)是減函數(shù)，且f′(x)>0，設(shè)x0∈(0,+∞),y=kx+m是曲線y=f(x)在點(x0,f(x0))處的切線方程，并設(shè)函數(shù)g(x)=kx+m.

（1）用x0、f(x0)、f′(x0)表示m；

（2）證明：當(dāng)x0∈(0,+∞)時,g(x)≥f(x)；

（3）若關(guān)于x的不等式在[0,+∞)上恒成立，其中a、b為實數(shù)，求b的取值范圍及a與b所滿足的關(guān)系式.

簡析題目明確給出了曲線以及曲線在該點處的切線，第（2）問則用代數(shù)的方法證明這種位置關(guān)系;淄博?？碱}則變成已知直線與曲線的位置關(guān)系，求參數(shù)，這是一個問題的兩個方面.解答方法同上，只不過高考題中f′(x)為單調(diào)函數(shù)，相對簡單；而淄博市?？碱}為有三個單調(diào)區(qū)間的函數(shù)，復(fù)雜一些，但解題思路是完全一樣的.

（2）（2013年北京高考第18題）設(shè)L為曲線C:在點(1,0)處的切線.

（1）求L的方程；

（2）證明：除切點(1,0)外，曲線C恒在直線L的下方.

簡析距離2005年的遼寧高考，時隔八年，2013年的北京高考也驚現(xiàn)“神似”題，只不過北京卷使用的函數(shù)為先增后減的函數(shù)，問題也更直白、更簡潔.

十七年后的今天，這類經(jīng)典題又一次以嶄新的面貌出現(xiàn)在各地的模擬試題中，可謂精彩紛呈，只不過同淄博模考題一樣，題目更加婉約細(xì)膩，處理手法更加多樣，對考生思維的考查力度更大.

3 未來走向

以淄博?？碱}作為代表的這一類經(jīng)典題，不可能就此止步，肯定會在訓(xùn)練學(xué)生思維、發(fā)展學(xué)生素養(yǎng)等方面繼續(xù)大踏步前行.

例如，可以讓切線的呈現(xiàn)方式更加含蓄：在淄博?？碱}把條件“f(x)≥ax+1 恒成立”加強為“(x+π)sinx-2 sin2-πx≥0 恒成立”，這樣，考生在審題時對于切線的出現(xiàn)可能就不再那么直接，在解題過程中也就需要更加靈活的思維，對學(xué)生分析問題的能力提出了更高的要求，對于學(xué)生素養(yǎng)的提升會有更大的幫助.

波利亞說過，好問題如同蘑菇,它們大都成堆地生長.找到一個以后,應(yīng)當(dāng)在周圍再找找,很可能在附近就有好幾個.筆者認(rèn)為：（1）淄博?？碱}給考生的解題提示是一定要充分挖掘題目提供的信息，并充分利用這些信息設(shè)計合理的解題途徑；（2）淄博?？碱}作為今年一類經(jīng)典題的代表，它是一個“好蘑菇”，大家一起來找一找，相信定能找到更多的“好蘑菇”.例如：已知f(x)=ex-sinxcosx,g(x)=ex+sinx+cosx.

（2）若g(x)≥2+ax,求a的值.（本題請讀者自行解答）