江蘇省太湖高級中學 周德明 丁強 （郵編：214125）

高中數(shù)學課程內容突出函數(shù)、幾何與代數(shù)、概率與統(tǒng)計、數(shù)學建?；顒优c數(shù)學探究活動四條主線【1】，函數(shù)圖象及其性質（對稱性）既是重要的知識點，又是重要的考點，也是歷年各類?？?、高考的熱點，倍受命題者的青睞，為突出對學生直觀想象、數(shù)學建模、數(shù)學運算、邏輯推理等核心素養(yǎng)的考查，命題者往往將函數(shù)的一些性質隱藏于函數(shù)的解析式或是方程、不等式中，要求學生能夠通過建立數(shù)與形的聯(lián)系，借助函數(shù)圖象理解問題，構建對稱化的直觀模型，探索解決問題方法.

1 借助函數(shù)圖象建立數(shù)與形的聯(lián)系，構建對稱化直觀模型，讓代數(shù)問題可視化

圖1

分析函數(shù)，關于(0,2) 中心對稱，函數(shù)g(x)=sin πx+2關于(0,2)中心對稱且周期為2，如圖1，由函數(shù)g(x)的周期 性，x∈(2k,2k+2).k=1,2,…,1010，每一個區(qū)間內函數(shù)f(x)與g(x)圖象均有兩個交點，共2020 個交點，由f(x)與g(x)均關于(0,2)中心對稱，則x∈(-2022,-2)也存在2020 個交點，所以n=4040，又函數(shù)f(x)與g(x)圖象在x∈(0,2022)內任一交點P(a,b)關于(0,2)中心對稱點P′(c,d)仍是函數(shù)f(x)與g(x)的圖象交點，x∈(-2022,0)，所以即

評注題1 將兩函數(shù)圖象均關于（0,2）對稱隱藏于各自的函數(shù)解析式中，看穿這一點，并據(jù)此作出函數(shù)圖象，根據(jù)圖象分析兩函數(shù)在區(qū)間(0,2022]交點的個數(shù)，建立數(shù)與形的聯(lián)系是問題解決的前提（理解問題），再由對稱化直觀模型（如圖1），解決問題.

2 借助互為反函數(shù)的圖象間關系，構建對稱化直觀模型，給數(shù)學運算找出路

題2已知log3m+4m-10=0,(m>0)，2×32n+n-5=0，則_____.

分析5?log9m=-2m+5.

圖2

令f(x)=log9x，g(x)=-2x+5，函數(shù)f(x)與g(x)圖象交于點M(m,-2m+5)，則f-1(x)=9x,g-1(x)=函數(shù)f-1(x)與g-1(x)圖象交于點，則M、N兩點關于直線y=x對稱（如圖2），則n=-2m+5=log9m，即

題3已知函數(shù)f(x)=ex-aln(ax-a)+a(a>0)，若關于x的不等式f(x)>0 恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為（ ）

分析函數(shù)f(x)的定義域為x∈(1,+∞)，由f(x)=ex-aln(ax-a)+a>0在x∈(1,+∞)恒成立，ex+a>aln(ax-a)，因為a>0，所以，構造函數(shù)易求得g(x)的反函數(shù)g-1(x)=ln(ax-a)，問題轉化為g(x)>g-1(x)在x∈(1,+∞)上恒成立，借助函數(shù)與其反函數(shù)圖象之間關系（關于直線y=x對稱），（如圖3），只須函數(shù)g(x)的圖象全部在直線y=x上方，即在x∈(1,+∞)恒成立，所以h(x)在(1,2)減，在(2,+∞)增，所以h(x)min=h(2)=e2，所以0

圖3

評注題2、題3 分別將函數(shù)及其反函數(shù)隱藏于方程log3m+4m-10=0,(m>0)，2×32n+n-5=0，不等式ex-aln(ax-a)+a>0,(a>0)中，借助函數(shù)與其反函數(shù)圖象關于直線y=x對稱.構建關于直線y=x對稱的直觀模型.問題2中M、N兩點關于直線y=x對稱，則M的橫坐標等于N的縱坐標（M的縱坐標等于N的橫坐標）（如圖2）；問題3由1)=0，要使g(x)>g-1(x)在x∈(1,+∞)上恒成立，必須g(x)的圖象全部在y=x的上方，即g(x)>x恒成立（如 圖3），否則若g(x)與y=x在(1,+∞)上有交點，設交點M(x0,y0)，根據(jù)函數(shù)及其反函數(shù)對稱性，g-1(x)也必定過M點，即存在x0使g(x0)=g-1(x0)（如 圖4），與g(x0)>g-1(x0)恒成立矛盾，所以在x∈(1,+∞)上恒成立，給后繼運算找到出路.

圖4

3 借助已知函數(shù)圖象及與其關于直線或點對稱函數(shù)圖象間的關聯(lián)，構建對稱化直觀模型，為邏輯推理尋依據(jù)

題4（2013年湖南卷21題）

（1）求f(x)的單調區(qū)間；

（2）證明：當f(x1)=f(x2)(x1≠x2)時，x1+x2<0.

分析，f(x)在(-∞,0)增，在(0,+∞)減，（如圖5），

圖5

圖6

題5（2021年新高考1 卷22題）

已知函數(shù)f(x)=x(1-lnx),

（1）討論f(x)的單調性；

（2）設a、b為兩個不相等的正數(shù)，且blnaalnb=a-b，證明：

分析由blna-alnb=a-b，因為a>0,b>0，

圖7

令F(x)=f(x)-g(x)=x(1-lnx)-(2-x)[1-ln(2-x)],x∈(1.2)，則

F′(x)=-ln(-x2+2x)>0，所以函數(shù)F(x)在(1,2)單調遞增，又F(1)=0，所以F(x)>0，即f(x)>g(x)，所以x1+x2>2.

圖8

圖9

評注若函數(shù)y=f(x)的極值點x0，求出函數(shù)y=f(x)關于直線x=x0對稱的函數(shù)g(x)并作出圖象，構建對稱化幾何模型，如圖6、8，若函數(shù)f(x)的零點a、b（含虛零點即當求出函數(shù)y=f(x)關于直線對稱函數(shù)y=g(x)并作出圖象，構建對稱化幾何模型如圖9，為比較x2與2x0-x1（x1與2x0-x2）的大小，尋找邏輯推理的依據(jù).極值點偏移問題多年來一直是高考壓軸題的高頻考點，題型面廣，巧思巧妙，解法繁多，但考生每次遇到仍是一頭霧水，如何幫學生找準切入點，是解決問題的關鍵.

史寧中認為：直觀不是“教”出來，而是自己“悟”出來的.這就需要在學習、交流、研討過程中不斷積累數(shù)學活動經(jīng)驗，借助函數(shù)圖象，利用函數(shù)的對稱性以及兩函數(shù)圖象之間的對稱關系，理解問題，構建對稱化直觀模型，建立數(shù)與形之間的聯(lián)系，探尋運算出路及邏輯推理依據(jù)，從而解決問題.讓學生在探究過程中主動建構，從本質上理解“要證××，只要證××，只要證××，…”，由學生被動學習走向主動學習正是新一輪課程改革的關鍵所在.誠然，數(shù)學活動經(jīng)驗的積累并不是學生的專利，青年教師更應走在前沿，俗話說：“教師一桶水，學生一滴水”，只有這樣，才能做到潤物細無聲，讓學生漸漸“悟”出來.