北京市順義牛欄山第一中學 李啟超 劉愛軍 （郵編：101300）

丟番圖恒等式表明，如果兩個正整數(shù)分別為兩個平方數(shù)之和，那么這兩個正整數(shù)的乘積也能寫成兩個平方數(shù)之和，即：

其中a、b、c、d可以取任意實數(shù).

這個恒等式最早可以追溯到公元3 世紀丟番圖（Diophantus）的著作《算術》中[1].公元7 世紀，婆羅摩笈多（Brahmagupta）把這個恒等式推廣到更一般的情形（我們?nèi)苑Q之為丟番圖恒等式）：

其中a、b、c、d和n可以取任意實數(shù)，通過兩邊展開，容易驗證上面恒等式成立.當n=-1 時，有：

這些恒等式形式簡單結(jié)構優(yōu)美，在數(shù)學史上曾啟發(fā)了一系列重要發(fā)現(xiàn).它們不僅在初等數(shù)論和多項式問題中有重要應用，還經(jīng)常出現(xiàn)在各類高中數(shù)學試題中.以下詳細介紹丟番圖恒等式在兩類創(chuàng)新題中的應用

1 在集合問題和代數(shù)式變形問題中的應用

例1設A是兩個整數(shù)平方和的集合，即A={x|x=m2+n2，m、n∈Z}.

（1）證明：若s、t∈A，則st∈A；

（2）證明：若s、t∈A，t≠0，則，其中p、q是有理數(shù).

分析本題要求驗證集合A具有乘法封閉性，即兩個平方和的乘積仍然可以寫成平方和的形式.要證st∈A，只需借助丟番圖恒等式證明其是兩個整式的平方和即可.

即st是兩個整數(shù)的平方和，所以st∈A.

（2）由于s、t∈A，由（1）可知，st∈A.于是可以設st=m2+n2，m、n是整數(shù).又因為t≠0，因此

例2設A是兩個整數(shù)平方差的集合，即A={x|x=m2-n2，m、n∈Z}.

（1）證明：若s、t∈A，則st∈A；

（2）證明：若s、t∈A，t≠0，則，其中p、q是有理數(shù).

分析與上一個例題類似，要證st∈A，只需借助丟番圖恒等式證明其是兩個整式的平方差即可.

即st是兩個整數(shù)的平方差，所以st∈A.

（2）由于s、t∈A，由（1）可知，st∈A.于是可以設st=m2-n2，m、n是整數(shù).

又因為t≠0，因此

例3已知a2+b2=1,c2+d2=1,ac+bd=0.求證：a2+c2=1,b2+d2=1,ab+cd=0.

分析這道題有明顯的線性代數(shù)背景：如果2×2 矩陣中，兩個行向量是單位正交向量，則這個矩陣是正交矩陣，從而兩個列向量也是單位正交向量.本題的常規(guī)方法是三角換元，或者比值代換，其實借助丟番圖恒等式也可解決.

證明根據(jù)丟番圖恒等式(a2+b2)(c2+d2)=(ac+bd)2+(ad-bc)2，可知1=0+(ad-bc)2，從而ad-bc=±1.

（1）當ad-bc=1 時，將視為關于(c,d)的二元一次方程組，

代回條件a2+b2=1,c2+d2=1,ac+bd=0，可得a2+c2=1,b2+d2=1,ab+cd=0；

（2）當ad-bc=-1 時，將視為關于(c,d)的二元一次方程組，

代回條件a2+b2=1,c2+d2=1,ac+bd=0，可得a2+c2=1,b2+d2=1,ab+cd=0.證畢.

2 在高中數(shù)學聯(lián)賽試題中的應用

丟番圖恒等式還可以用于解決一些與平方和（差）有關的競賽最值問題，試看幾例：

例4(2021年全國高中數(shù)學聯(lián)賽A1 卷一試第8題) 已知正實數(shù)x、y滿足如下條件：存在a∈[0,x]，b∈[0,y]，使得a2+y2=2,b2+x2=1,ax+by=1.則x+y的最大值為______.

分析題目給出的等式條件中有好幾處平方和的結(jié)構，這啟發(fā)我們不妨試試丟番圖恒等式.

解答根據(jù)丟番圖恒等式(a2+y2)(x2+b2)=(ax+by)2+(ab-xy)2，可知(ab-xy)2=1.又因為x≥a≥0,y≥b≥0，可知xy-ab=1.

說明以上題目，主試委員會提供的標準答案是使用三角換元法.上面借助丟番圖恒等式，解題過程更加簡潔.

例5(2017年全國高中數(shù)學聯(lián)賽一試第10題 第（1）問) 設復數(shù)z1、z2滿足Re(z1)>0，Re(z2)>0，且（其中Re(z)表示復數(shù)z的實部）.求Re(z1z2)的最小值.

分析將復數(shù)z1、z2寫成實數(shù)分量形式，容易發(fā)現(xiàn)條件Re(z1)>0，Re(z2)>0，且等價于復數(shù)z1、z2對應的點在雙曲線x2-y2=2 的右半支上.接下來，根據(jù)丟番圖恒等式不難解決問題.

完全類似的方法，還可以解決下面的2006年北京市高考理科數(shù)學解析幾何問題，將其視為例5 的變式練習題.

例6已知點M(-2,0)、N(2,0)，動點P滿足條件.記動點P的軌跡為W.

（1）求W的方程；

（2）若A、B是W上的不同兩點，O是坐標原點，求的最小值.

解答(1)根據(jù)雙曲線定義，可知動點P的軌跡為雙曲線的右半支，軌跡W的方程為x2-y2=2(x>0)；

說明這是一道解析幾何問題，常規(guī)解法是先聯(lián)立直線AB和曲線W的方程，然后借助韋達定理將寫成關于直線AB斜率和截距的函數(shù)再求最值.以上解法借助推廣的丟番圖恒等式，形式緊湊，思路清晰，而且不必分類討論直線AB斜率不存在的特殊情形.

3 總結(jié)

丟番圖恒等式結(jié)構簡潔，應用廣泛.有意識地借助丟番圖恒等式解決問題，可以提高學生的代數(shù)運算能力和知識遷移能力.對于學有余力的高中生，我們不妨在選修課上適當介紹這類恒等式在各類問題中的應用.