北京市順義牛欄山第一中學 李啟超 劉愛軍 (郵編:101300)
丟番圖恒等式表明,如果兩個正整數(shù)分別為兩個平方數(shù)之和,那么這兩個正整數(shù)的乘積也能寫成兩個平方數(shù)之和,即:
其中a、b、c、d可以取任意實數(shù).
這個恒等式最早可以追溯到公元3 世紀丟番圖(Diophantus)的著作《算術》中[1].公元7 世紀,婆羅摩笈多(Brahmagupta)把這個恒等式推廣到更一般的情形(我們?nèi)苑Q之為丟番圖恒等式):
其中a、b、c、d和n可以取任意實數(shù),通過兩邊展開,容易驗證上面恒等式成立.當n=-1 時,有:
這些恒等式形式簡單結(jié)構優(yōu)美,在數(shù)學史上曾啟發(fā)了一系列重要發(fā)現(xiàn).它們不僅在初等數(shù)論和多項式問題中有重要應用,還經(jīng)常出現(xiàn)在各類高中數(shù)學試題中.以下詳細介紹丟番圖恒等式在兩類創(chuàng)新題中的應用
例1設A是兩個整數(shù)平方和的集合,即A={x|x=m2+n2,m、n∈Z}.
(1)證明:若s、t∈A,則st∈A;
(2)證明:若s、t∈A,t≠0,則,其中p、q是有理數(shù).
分析本題要求驗證集合A具有乘法封閉性,即兩個平方和的乘積仍然可以寫成平方和的形式.要證st∈A,只需借助丟番圖恒等式證明其是兩個整式的平方和即可.
即st是兩個整數(shù)的平方和,所以st∈A.
(2)由于s、t∈A,由(1)可知,st∈A.于是可以設st=m2+n2,m、n是整數(shù).又因為t≠0,因此
例2設A是兩個整數(shù)平方差的集合,即A={x|x=m2-n2,m、n∈Z}.
(1)證明:若s、t∈A,則st∈A;
(2)證明:若s、t∈A,t≠0,則,其中p、q是有理數(shù).
分析與上一個例題類似,要證st∈A,只需借助丟番圖恒等式證明其是兩個整式的平方差即可.
即st是兩個整數(shù)的平方差,所以st∈A.
(2)由于s、t∈A,由(1)可知,st∈A.于是可以設st=m2-n2,m、n是整數(shù).
又因為t≠0,因此
例3已知a2+b2=1,c2+d2=1,ac+bd=0.求證:a2+c2=1,b2+d2=1,ab+cd=0.
分析這道題有明顯的線性代數(shù)背景:如果2×2 矩陣中,兩個行向量是單位正交向量,則這個矩陣是正交矩陣,從而兩個列向量也是單位正交向量.本題的常規(guī)方法是三角換元,或者比值代換,其實借助丟番圖恒等式也可解決.
證明根據(jù)丟番圖恒等式(a2+b2)(c2+d2)=(ac+bd)2+(ad-bc)2,可知1=0+(ad-bc)2,從而ad-bc=±1.
(1)當ad-bc=1 時,將視為關于(c,d)的二元一次方程組,
代回條件a2+b2=1,c2+d2=1,ac+bd=0,可得a2+c2=1,b2+d2=1,ab+cd=0;
(2)當ad-bc=-1 時,將視為關于(c,d)的二元一次方程組,
代回條件a2+b2=1,c2+d2=1,ac+bd=0,可得a2+c2=1,b2+d2=1,ab+cd=0.證畢.
丟番圖恒等式還可以用于解決一些與平方和(差)有關的競賽最值問題,試看幾例:
例4(2021年全國高中數(shù)學聯(lián)賽A1 卷一試第8題) 已知正實數(shù)x、y滿足如下條件:存在a∈[0,x],b∈[0,y],使得a2+y2=2,b2+x2=1,ax+by=1.則x+y的最大值為______.
分析題目給出的等式條件中有好幾處平方和的結(jié)構,這啟發(fā)我們不妨試試丟番圖恒等式.
解答根據(jù)丟番圖恒等式(a2+y2)(x2+b2)=(ax+by)2+(ab-xy)2,可知(ab-xy)2=1.又因為x≥a≥0,y≥b≥0,可知xy-ab=1.
說明以上題目,主試委員會提供的標準答案是使用三角換元法.上面借助丟番圖恒等式,解題過程更加簡潔.
例5(2017年全國高中數(shù)學聯(lián)賽一試第10題 第(1)問) 設復數(shù)z1、z2滿足Re(z1)>0,Re(z2)>0,且(其中Re(z)表示復數(shù)z的實部).求Re(z1z2)的最小值.
分析將復數(shù)z1、z2寫成實數(shù)分量形式,容易發(fā)現(xiàn)條件Re(z1)>0,Re(z2)>0,且等價于復數(shù)z1、z2對應的點在雙曲線x2-y2=2 的右半支上.接下來,根據(jù)丟番圖恒等式不難解決問題.
完全類似的方法,還可以解決下面的2006年北京市高考理科數(shù)學解析幾何問題,將其視為例5 的變式練習題.
例6已知點M(-2,0)、N(2,0),動點P滿足條件.記動點P的軌跡為W.
(1)求W的方程;
(2)若A、B是W上的不同兩點,O是坐標原點,求的最小值.
解答(1)根據(jù)雙曲線定義,可知動點P的軌跡為雙曲線的右半支,軌跡W的方程為x2-y2=2(x>0);
說明這是一道解析幾何問題,常規(guī)解法是先聯(lián)立直線AB和曲線W的方程,然后借助韋達定理將寫成關于直線AB斜率和截距的函數(shù)再求最值.以上解法借助推廣的丟番圖恒等式,形式緊湊,思路清晰,而且不必分類討論直線AB斜率不存在的特殊情形.
丟番圖恒等式結(jié)構簡潔,應用廣泛.有意識地借助丟番圖恒等式解決問題,可以提高學生的代數(shù)運算能力和知識遷移能力.對于學有余力的高中生,我們不妨在選修課上適當介紹這類恒等式在各類問題中的應用.