周群益，周麗麗，莫云飛，侯兆陽，劉天貴

(1. 廣州理工學(xué)院 通識教育學(xué)院，廣東 廣州 510540；2. 贛南醫(yī)學(xué)院 醫(yī)學(xué)信息工程學(xué)院，江西 贛州 341000；3. 長沙學(xué)院 電子信息與電氣工程學(xué)院，湖南 長沙 410022；4. 長安大學(xué) 理學(xué)院應(yīng)用物理系，陜西 西安 710064；5. 湖南大學(xué) 物理與微電子科學(xué)學(xué)院，湖南 長沙 410000)

文獻(xiàn)[1]研究了兩個平行接地大導(dǎo)體板間線電荷的電場問題，用保角變換求出了電勢函數(shù)，再求得電場線函數(shù)，并用MATLAB繪制了等勢線和電場線，顯示了他們的科研水平，也顯示了他們深厚的編程功底. 他們解決問題的思路十分清晰，手工圖形十分說明問題，大部分公式推導(dǎo)正確，只是有些地方需要改進(jìn)并糾錯. 本文結(jié)合文獻(xiàn)[1]說明了一些公式的改進(jìn)和糾錯之處，用圖形說明了糾錯結(jié)果. 本文還深入研究了兩板之間的電場和兩板表面電荷的分布規(guī)律.

1 公式的改進(jìn)和糾錯

設(shè)在相距為a的兩平行接地大導(dǎo)體板之間平行地放置有電荷線密度為λ(默認(rèn)λ>0)的線電荷，此線電荷到一導(dǎo)體板的距離為b(0

文獻(xiàn)[1]的手工圖，將z=x+iy平面通過變換

(1)

將上下兩個平面區(qū)域變換成上半平面. 由于ζ=ξ+ iη，解得

(2)

根據(jù)電像法可得電勢:

(3)

其中，ε0是真空介電常量. 將式(2)代入上式，可得

(4)

這個結(jié)果比較復(fù)雜. 式(4)可以化簡如下

(5)

(6)

電勢U(x,y)是x和y的二元函數(shù)，幾何上是一張曲面，b是可調(diào)節(jié)的參數(shù)，決定曲面的形狀. 當(dāng)U為常量時，上式就成為等勢線的隱函數(shù)方程.

文獻(xiàn)[1]利用電勢與場強的微分關(guān)系E=-▽U和式(4)求場強，卻得出了一個錯誤的電場強度公式. 利用式(6)，立即可得場強的兩個分量:

(7)

(8)

Ex和Ey都是x和y的二元函數(shù). 合場強為

(9)

合場強的方向為

(10)

(11)

(12)

利用不定積分的公式:

(13)

令c=ch(πx/a)，對式(12)積分后，還利用雙曲函數(shù)的公式:

(14)

化簡可得

(15)

設(shè)3個函數(shù):

(16)

利用公式:

(17)

式(15)還可以化為

(18)

這是用一個反正切函數(shù)表示的電通函數(shù). 對于反正切函數(shù)arctan(y/x)來說，如果不考慮y和x所在的象限，其值就在(-π/2,π/2)之間；如果要考慮y和x所在的象限，其值就在(-π,π)之間. 式(18)的反正切函數(shù)的值要取在(-π,π)之間，因此還是有水平間斷線.

利用式(17)將f1(y)和f2(y)展開，式(18)可化為

(19)

其中

(20)

將電通函數(shù)改進(jìn)為這種形式，當(dāng)反正切函數(shù)的值取在(-π,π)之間時，間斷線就僅存于x=0處，不影響二維電場線的連續(xù)性.當(dāng)V取常量時，式(19)就成為電場線的隱函數(shù)方程.電場線的起點往往取在電荷附近，一個起點坐標(biāo)決定一個常量，從而決定了一條電場線.

注意：直線電荷的電勢是用對數(shù)函數(shù)表示的，電場線是用反正切函數(shù)表示的.這兩個函數(shù)是共軛調(diào)和函數(shù)，總是成對出現(xiàn).由于文獻(xiàn)[1]中的電勢函數(shù)是對數(shù)函數(shù)，而電通函數(shù)不是反正切函數(shù)，就可懷疑其正確性.

2 導(dǎo)體板上電荷面密度的分布規(guī)律

利用式(7)和式(8)可以求得上下兩板表面電荷面密度的分布規(guī)律.

當(dāng)y=0時，由式(7)可得Ex(x,0)=0，即：下板的上表面場強的x分量為零，由式(8)可得y分量：

(21)

負(fù)號表示場強的方向與y軸的正方向相反.當(dāng)y=a時，由式(7)可得Ex(x,a)=0，即：上板的下表面場強的x分量為零，由式(8)可得y分量：

(22)

其方向與y軸的正方向相同.一般說來，兩板面表面的場強大小并不相等.但是當(dāng)b=a/2時，Ey(x,0)=-Ey(x,a)，兩個表面的場強大小相等，方向相反.這是因為場強對稱分布的緣故.

利用電荷面密度與場強的公式σ=ε0E·n，其中，n為導(dǎo)體表面的單位法向矢量.下板上表面的場強方向與法向方向相反，電荷面密度為

σ(x,0)=-ε0|Ey(x,0)|=

(23)

上板下表面的場強方向也與法向方向相反，電荷面密度為

σ(x,a)=-ε0|Ey(x,a)|=

(24)

兩式中，負(fù)號表示感應(yīng)電荷是負(fù)電荷.σ(x,0)和σ(x,a)都是關(guān)于x的偶函數(shù)，b是可調(diào)節(jié)的參數(shù).如果b=a/2，則

(25)

說明線電荷位于中間時在上下兩板表面產(chǎn)生的電荷面密度是相同的.如果將b改為a-b，則式(23)與式(24)互換，說明兩板的電荷面密度的分布規(guī)律正好相反.

利用公式：

(26)

(27)

同理可得上板單位長度的帶電荷量：

(28)

可見：b越大，線電荷離下板越遠(yuǎn)，在下表面感應(yīng)的負(fù)電荷就越少，在上表面感應(yīng)的負(fù)電荷就越多.由于λ1+λ2=-λ，說明線電荷λ在兩板上感應(yīng)出等量異號的負(fù)電荷.

3 公式的無量綱化

取a為坐標(biāo)單位，取U0=kλ為電勢函數(shù)的單位，則無量綱的電勢函數(shù)為

其中x*=x/a，y*=y/a，b*=b/a.x*和y*是相對的無量綱的坐標(biāo)，b*是無量綱的可調(diào)節(jié)的參數(shù).取kλ為電通函數(shù)的單位，則無量綱的電通函數(shù)為

其中有

取E0=U0/2πa=kλ/2πa為電場強度的單位，就能將電場強度的兩個分量無量綱化.取σ0=ε0E0=ε0kλ/2πa為電荷面密度的單位，則上下兩板的電荷面密度分別為

此后，杜亞泉所主張的“調(diào)和主義”明顯受辯證矛盾影響。在與《新青年》進(jìn)行東西文化論戰(zhàn)過程中，他撰寫了《矛盾之調(diào)和》一文。該文指出矛盾“排斥”“對峙”的一面，同時也強調(diào)非極端矛盾的“協(xié)同”“調(diào)節(jié)”“吸引”的一面，而且認(rèn)為“世界進(jìn)化”是“矛盾”“對抗進(jìn)行”的結(jié)果。[注]杜亞泉：《矛盾之調(diào)和》，《東方雜志》1918年第15卷第2號。 杜亞泉“矛盾調(diào)和”思想雖與馬克思主義辯證矛盾旨趣相異，卻在中國較早明確提出矛盾的統(tǒng)一、協(xié)調(diào)，并且認(rèn)識到矛盾在人類社會發(fā)展中的動力作用，這在當(dāng)時的思想界已是一大進(jìn)步。隨著中西文化論戰(zhàn)的進(jìn)行，“矛盾調(diào)和”思想得以在知識分子中擴散，這在客觀上促進(jìn)了辯證矛盾話語的傳播與認(rèn)同。

4 公式的可視化

將公式無量綱化之后即可用MATLAB做純數(shù)值計算.反正切函數(shù)的值取在(-π,π)時，要用第二反正切函數(shù)atan2求函數(shù)值.MATLAB用曲面指令surf分別畫電勢和電場線曲面，用三維等高線指令contour3分別畫等勢線和電場線，用等高線指令contour可畫二維等勢線和電場線[2].

1) 當(dāng)b取0.4a時，電勢函數(shù)曲面和三維等勢線如圖1所示，電荷所在處形成一個尖銳的“峰”，表示直線電荷所在處的電勢是無窮大；三維等勢線分布在曲面上.俯視曲面，三維等勢線就變成二維等勢線.

圖1 直線電荷的電勢函數(shù)和三維等勢線(b=0.4a)

2) 當(dāng)b取0.4a時，由式(15)和式(18)繪制的電通函數(shù)和三維電場線如圖2所示，曲面螺旋式下降.在x=0且0

圖2 式(15)和式(18)的電通函數(shù)曲面和三維電場線(b=0.4a)

由式(19)繪制的電通函數(shù)和三維電場線如圖3所示，曲面仍然螺旋式下降.x=0處是一條間斷線，形成豎直面；(0,b)處有一條“縫”，表示電荷所在處，其前后的豎直面的高低有所不同.三維電場線都繞過“縫”分布在曲面上，包括豎直面.

圖3 式(19)的電通函數(shù)曲面和三維電場線(b=0.4a)

兩種電通函數(shù)在yb-a的曲面并不相同，這是因為兩個反正切函數(shù)的值域并不完全相同，間斷線也有部分不相同.俯視曲面，三維電場線就變成二維電場線.

3) 當(dāng)b取0.4a時，二維等勢線和式(19)的電場線如圖4所示.等勢線是包圍直線電荷的閉合的左右對稱的曲線，電勢從外到內(nèi)依次是(0.1,0.4,…,4)kλ.越靠近帶電直線，電勢越高，等勢線也越密.電場線的起點坐標(biāo)取在電荷附近，因而電場線從線電荷附近向兩邊延伸，終止于上下兩板，并與上下兩板垂直.電場線與等勢線處處正交.

圖4 二維等勢線和式(19)的電場線(b=0.4a)

二維等勢線和式(15)或式(18)的電場線如圖5所示，在y=b-a處有一條水平線，上下電場線發(fā)生錯位，可見用式(15)和式(18)所畫的電場線并不理想.

圖5 二維等勢線和式(15)與式(18)的電場線(b=0.4a)

相比而言，用式(19)所畫電場線十分理想.當(dāng)b取其他值時，電場線和等勢線都與此圖類似(圖略).

文獻(xiàn)[1]畫出了類似的正確等勢線和電場線，應(yīng)該是電場強度公式出現(xiàn)了筆誤，請作者仔細(xì)檢查.

將電場強度的兩個分量Ex和Ey無量綱化，利用MATLAB的流線指令streamline也可以畫二維電場線，與式(19)所畫的二維電場線基本重合(在起點可能產(chǎn)生誤差)，說明電場強度的公式和電通函數(shù)都是正確的(圖略).

當(dāng)電勢函數(shù)U取常量時，由式(6)可得等勢線的隱函數(shù)方程：

(29)

其中，C1=exp(U/kλ).當(dāng)U取常量時，可計算常數(shù)C1.將式(29)無量綱化，在相同參數(shù)的情況下也可以畫出同樣的等勢線.

當(dāng)電通函數(shù)V取常量時，由式(19)可得電場線的隱函數(shù)方程：

(30)

其中，C2=tan(V/2kλ).C2可根據(jù)直線附近的坐標(biāo)計算.將式(30)無量綱化，在相同參數(shù)的情況下也可以畫出圖4中同樣的電場線(圖略).

4) 下板上表面的電荷面密度σ(x,0)如圖6之上圖所示，當(dāng)b比較小時，例如b=0.1a，則“谷”比較深，隨著|x|的增加，σ(x,0)迅速減??；b越大，“谷”越淺；當(dāng)b=0.9a時，σ(x,0)幾乎成了水平線.上板下表面的電荷面密度σ(x,a)如圖6之下圖所示，顯然，σ(x,a)與b改為a-b的σ(x,0)曲線相同.

圖6 上下極板面電荷密度的分布規(guī)律

繪制Ex和Ey以及E和α的曲面，還能顯示場強變化規(guī)律(圖略).

5 結(jié)束語

經(jīng)過保角變換，有些函數(shù)會變得十分復(fù)雜，采用適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，可以化簡復(fù)雜的函數(shù).文獻(xiàn)[1]中第2個問題的復(fù)勢的公式(12)特別長，由于式(12)中包含有相同函數(shù)的復(fù)合函數(shù)，將復(fù)合函數(shù)分解為簡單的函數(shù)就能大大簡化公式.

通過作圖，可以檢驗公式正確性.例如，根據(jù)文獻(xiàn)[1]的電場強度的公式，畫不出正確的電場線，就可以斷定公式錯了；根據(jù)文獻(xiàn)[1]的電場線函數(shù)也畫不出正確的電場線，也可以斷定公式錯了.本文的公式都通過了圖形檢驗，以保證其正確性.

通過作圖往往有意外的發(fā)現(xiàn).例如式(15)和式(18)的曲面是相同的，它們與式(19)的曲面有一部分不相同，這是因為不同的反正切函數(shù)有一部分的值域不同，并且還有不同的間斷線，也導(dǎo)致二維電場線有所不同.通過作圖發(fā)現(xiàn)：根據(jù)場強的兩個分量Ex和Ey并利用streamline指令畫電場線更好，也可以驗證電場公式的正確性.

在已經(jīng)發(fā)表的文獻(xiàn)中包含了前人豐富的研究成果，解析這些文獻(xiàn)，吸取知識，對缺陷加以完善，對差錯加以更正，這是研究問題的一條捷徑.掌握MATLAB程序設(shè)計方法，可發(fā)現(xiàn)和解決很多問題.