黃艷清，張定宗，王友文，伍法美

(衡陽師范學(xué)院 物理與電子工程學(xué)院，湖南 衡陽 421002)

在靜電屏蔽效應(yīng)中，當(dāng)導(dǎo)體殼接地，殼內(nèi)電荷不影響殼外電場[3]，這是由于導(dǎo)體殼接地，電勢為零，無窮遠(yuǎn)處電勢也為零，因此殼內(nèi)電荷不能在導(dǎo)體殼表面產(chǎn)生感應(yīng)電荷和感應(yīng)電場,從而殼內(nèi)電荷不影響殼外電場，利用唯一性定理也比較容易證明(φ殼=φ無窮遠(yuǎn)=0)[4].此外，無論導(dǎo)體殼是否接地，殼外電場變化不會(huì)影響殼內(nèi)電場[3]，雖然由高斯定理在殼內(nèi)任意做高斯面，殼外電荷不影響殼內(nèi)高斯面上的總電場強(qiáng)度通量，但不能判斷殼內(nèi)任意位置的電場都不受殼外電荷的影響.利用唯一性定理的證明方法[1]，可以對該結(jié)論進(jìn)行證明.文獻(xiàn)[5]利用理論和數(shù)值方法，計(jì)算了點(diǎn)電荷在接地導(dǎo)體球表面激發(fā)的感應(yīng)電荷，得到靜電屏蔽的實(shí)質(zhì)是源電荷與感應(yīng)電荷在導(dǎo)體球內(nèi)的合電場為零.靜電屏蔽的物理原理與應(yīng)用在文獻(xiàn)[6,7]中展示，但只是進(jìn)行了半定量和定性的分析.

本文對導(dǎo)體殼的靜電屏蔽效應(yīng)進(jìn)行了嚴(yán)格的理論推導(dǎo)和證明，并利用數(shù)值模擬方法驗(yàn)證了靜電屏蔽效應(yīng)，并計(jì)算了外電場中接地金屬殼感應(yīng)電荷的分布.

1 物理模型

(1)

如計(jì)算區(qū)域沒有電荷，則用拉普拉斯方程描述

?2φ=0

(2)

如果電場具有面對稱、軸對稱或球?qū)ΨQ，且給定邊界條件和電荷分布，則可用理論方法在直角坐標(biāo)、柱坐標(biāo)或球坐標(biāo)系下求得電勢分布，從而得到靜電場[8,9]. 實(shí)際情形中，電場往往不具有對稱性，但容易獲得邊界條件，因此可用數(shù)值方法解方程式(1)和(2)得到電勢的分布，從而求得電場分布.此外，實(shí)際中也可利用特殊的實(shí)驗(yàn)裝置展示靜電場分布，從而驗(yàn)證靜電場的理論與模擬結(jié)果的正確性[10].

偏微分方程的通解一般包含無窮多解，需要根據(jù)邊界條件確定特解. 靜電勢的偏微分方程式(1)和(2)，可以根據(jù)邊界條件得到不同的特解，但這些特解僅相差一個(gè)常量，從而靜電場唯一確定，這就是靜電場的唯一性定理[1,2].下面利用唯一性定理，證明金屬殼的靜電屏蔽效應(yīng).

2 唯一性定理證明金屬殼的靜電屏蔽效應(yīng)

靜電屏蔽可利用高斯定理定性證明，但由電場的疊加原理，并不能直接證明殼內(nèi)任意位置電場都不受殼外電荷的影響.下面利用靜電場的唯一性定理，對接地金屬殼殼內(nèi)電荷不影響殼外電場、殼外電荷不影響殼內(nèi)任意位置電場進(jìn)行證明.

2.1 接地金屬殼屏蔽殼內(nèi)電場對殼外的影響

當(dāng)金屬殼接地后，殼內(nèi)電荷或電場變化不影響殼外電場，可以利用唯一性定理證明此結(jié)論[4].當(dāng)金屬殼內(nèi)電荷或電場發(fā)生變化，不會(huì)影響金屬殼的電勢，因?yàn)榻饘贇そ拥仉妱轂榱悖檬?1)和式(2)計(jì)算殼外電勢，以無窮遠(yuǎn)處為外邊界，金屬殼為內(nèi)邊界，則內(nèi)外邊界的電勢都為零，因此根據(jù)唯一性定理，邊界條件確定后，電場也是唯一確定的.即無論殼內(nèi)電荷或電場如何變化，不改變計(jì)算殼外電勢的邊界條件，從而無論殼內(nèi)電荷或電場如何變化，都不影響殼外電場.

2.2 金屬殼屏蔽殼外電場對殼內(nèi)的影響

圖1 導(dǎo)體殼(實(shí)線之間表示導(dǎo)體殼，q表示殼內(nèi)電荷，q′表示殼外電荷，S′表示導(dǎo)體殼的內(nèi)壁)

為了計(jì)算殼內(nèi)電場，在導(dǎo)體殼里做虛線的閉合曲面S，曲面S以內(nèi)區(qū)域?yàn)閂，如圖1所示.導(dǎo)體殼內(nèi)表面S′和V′區(qū)域帶電荷量分別為-q和q，這兩個(gè)區(qū)域的靜電勢滿足泊松方程[式(1)]，V內(nèi)其他區(qū)域的靜電勢滿足拉普拉斯方程[式(2)].靜電場中導(dǎo)體殼為等勢體，曲面S上的電勢為常量，即

φ|S=常量

(3)

當(dāng)外電荷q′或外電場發(fā)生變化時(shí)，這個(gè)常量也會(huì)發(fā)生變化，但這個(gè)常量變化不影響殼內(nèi)電場，下面利用證明唯一性定理的方法進(jìn)行證明[1,2].

假設(shè)外電場發(fā)生變化時(shí)，V內(nèi)電勢存在兩個(gè)解φ′和φ″，這兩個(gè)解在存在電荷的區(qū)域(S′和V′)滿足

(4)

(5)

在V內(nèi)沒有電荷的區(qū)域滿足拉普拉斯方程:

?2φ′=0,?2φ″=0

(6)

令

φ0=φ′-φ″

(7)

根據(jù)式(4)、式(5)、式(6)和式(7)，φ0在V內(nèi)滿足

?2φ0=0

(8)

導(dǎo)體殼為等勢體，φ′和φ″在導(dǎo)體殼上相差一個(gè)常量，因此

φ0|S=常量

(9)

式(9)中的常量不一定為零.根據(jù)式(8)和式(9)計(jì)算如下積分：

(10)

在導(dǎo)體殼中S面上φ0|S不一定為零，但導(dǎo)體殼為等勢體，導(dǎo)體殼內(nèi)電勢處處相等，因此導(dǎo)體殼內(nèi)電勢的梯度為零?φ0|S=0，因此式(10)左邊為0.另外根據(jù)式(8)，在V內(nèi)?2φ0=0，所以在式(10)中右邊第1項(xiàng)滿足

?φ0=0

(11)

式(11)意味著兩個(gè)解φ′和φ″僅相差一個(gè)常量，即

φ′-φ″=常量

(12)

從而可得兩種情形下電場不變(E=-?φ′=-?φ″)，即殼外電場改變不影響殼內(nèi)任意位置的電場，金屬殼的靜電屏蔽效應(yīng)得證.

3 數(shù)值模擬金屬殼的靜電屏蔽效應(yīng)

靜電屏蔽也可以利用數(shù)值模擬驗(yàn)證.理論證明靜電屏蔽效應(yīng)，利用了無窮遠(yuǎn)處電勢為零的邊界條件，但數(shù)值模擬不能取無窮遠(yuǎn)為邊界，只能取有限邊界處的電勢為零.可以認(rèn)為該邊界為接地導(dǎo)體，不影響用數(shù)值方法驗(yàn)證靜電屏蔽效應(yīng).

模擬中取較長(z方向)的均勻帶電體和金屬殼，使電勢、電場與軸向(z方向)近似無關(guān)，從而數(shù)值計(jì)算電勢與電場只需要取一個(gè)橫截面(兩端附近除外)，均勻帶電體的橫截面如圖2(a)的F2和F4區(qū)域，其中電荷體密度為ρ0=1.91×10-8C/m3.F1和F3表示真空區(qū)域，F(xiàn)3邊界表示導(dǎo)體殼，導(dǎo)體殼為等勢體，因此F3邊界的電勢為常量.F1邊界近似為無窮遠(yuǎn)處，或者表示接地金屬殼，電勢為零.另外，帶電體F4所示的圓形區(qū)域半徑5 cm，F(xiàn)1矩形區(qū)長為3 m，寬為2 m.

首先，模擬金屬殼(F3邊界)接地，殼內(nèi)電荷或電場的變化不影響殼外電場.計(jì)算殼外電場，其靜電勢滿足的方程：

(13)

?2φ=0,F1區(qū)域

(14)

模擬基于國際單位制，ε0為真空中的介電常量，國際單位制下其數(shù)值為8.85×10-12F/m.此外，殼外電場的模擬，不包括殼內(nèi)區(qū)域(F3).模擬結(jié)果如圖2(b)所示，無論殼內(nèi)電荷如何變化，殼(F3邊界)由于接地電勢總為零，即圖2(b)中的內(nèi)邊界條件不變，因此殼外電勢不因殼內(nèi)電場變化而變化.

模擬中均勻帶電體(F2和F4)、金屬殼(F3邊界)和真空區(qū)的分布

為金屬殼接地后殼外電勢的分布

其次，金屬殼(F3邊界)不接地，數(shù)值證明殼內(nèi)電場不受殼外電場的影響.當(dāng)計(jì)算殼內(nèi)電場時(shí)，金屬殼作為邊界，計(jì)算區(qū)域?yàn)镕3.外電場改變，金屬殼電勢會(huì)發(fā)生變化，但金屬殼為等勢體，電勢改變只相差一個(gè)常量.電勢在均勻帶電區(qū)域(F4)滿足式(13)，非帶電區(qū)域用式(14)模擬，模擬結(jié)果如圖3所示.圖3(a)金屬殼(F3邊界)電勢為零，即邊界電勢為零，圖3(b)金屬殼電勢為100 V.由于邊界條件改變，情形2的電勢整體高于情形1，但是電場不發(fā)生變化，如圖3(c)所示.因此，殼外電場發(fā)生變化，使殼邊界電勢改變一個(gè)常量，導(dǎo)致殼內(nèi)電勢整體發(fā)生變化，但殼內(nèi)電場不變.

圖3 (a)和(b)為F3邊界電勢分別為0 V和100 V的模擬結(jié)果，(c)為這2種情形在y=0的電場

4 靜電屏蔽中金屬殼的感應(yīng)電荷分布

為了研究靜電屏蔽中金屬殼對電場的影響，以及接地金屬殼感應(yīng)電荷的分布，數(shù)值計(jì)算金屬殼外的電勢和電場分布，模擬結(jié)果如圖4所示.其中帶電體仍然為圖2(a)中的F2區(qū)域，該區(qū)域電荷分布均勻且電荷體密度仍為ρ0=1.91×10-8C/m3，金屬殼接地電勢為零，外邊界近似為無窮遠(yuǎn)處，電勢也為零.為了研究接地金屬殼對電場的影響，添加未加金屬殼的情形，如圖4(a)所示.

均勻帶電體的總電場E分布，邊界電勢為零

6 總結(jié)

本文利用唯一性定理，以及證明唯一性定理的方法，對靜電屏蔽效應(yīng)進(jìn)行了嚴(yán)格的理論證明，尤其是殼外電荷(無論金屬殼是否接地)對殼內(nèi)局域電場沒有影響的證明. 此外，利用數(shù)值模擬對靜電屏蔽效應(yīng)進(jìn)行了驗(yàn)證：1) 金屬殼接地，殼外電場由殼外電荷、金屬殼電勢和無窮遠(yuǎn)處電勢決定，無論殼內(nèi)電荷如何變化，金屬殼接地電勢始終為零，從而不影響殼外電場；2) 無論金屬殼是否接地，殼外電荷的變化，可能會(huì)改變金屬殼的電勢，但不會(huì)改變金屬殼殼內(nèi)任意位置的電場.

此外，數(shù)值模擬清晰的展示金屬殼尖端靠近帶電體時(shí)，會(huì)形成很強(qiáng)的局域電場，靠的越近，該局域電場越大，且比原電場大很多. 另外金屬殼表面電場垂直金屬表面，金屬殼表面的感應(yīng)電荷可通過該感應(yīng)電場得到(En=σ/ε0),感應(yīng)電場越強(qiáng)，感應(yīng)電荷越多，因此靠近帶電體的金屬尖端會(huì)聚集大量的感應(yīng)電荷.

總之，本文得到的數(shù)值模擬結(jié)果與理論一致，為深入理解靜電場性質(zhì)、唯一性定理和靜電屏蔽效應(yīng)提供參考.