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        線電荷的電力線和等勢(shì)線的MATLAB 作圖

        2022-07-21 05:31:58易學(xué)華郭俊廣曹人平
        關(guān)鍵詞:等勢(shì)線電力線等量

        易學(xué)華,郭俊廣,曹人平

        (嘉應(yīng)學(xué)院 物理與電子工程學(xué)院,廣東 梅州 514015)

        0 引言

        在電磁學(xué)[1]和數(shù)學(xué)物理方法[2]的教學(xué)過程中,往往要畫電力線和等勢(shì)線.等量異號(hào)和等量同號(hào)的點(diǎn)電荷電力線[3-4]和直線電荷[5]以及帶電球體[6]的電力線和等勢(shì)線都比較好畫,不等量的直線電荷對(duì)的電力線和等勢(shì)線則比較麻煩,而用MATLAB[7]中函數(shù)則簡單得多.將圖形制成文件,插在教案中,對(duì)電磁學(xué)和數(shù)學(xué)物理方法教學(xué)很有幫助.

        1 無限長直線電荷

        1.1 直線電荷的電力線

        真空中無限長帶電直線的場(chǎng)強(qiáng)大小為

        其中λ是線電荷密度,ε0是真空介電常數(shù),r是場(chǎng)點(diǎn)P(x,y)到軸線的距離.電場(chǎng)呈軸對(duì)稱分布.取λ>0,電力線是以軸線為起點(diǎn)的射線簇,各射線之間的夾角相同.

        1.2 無限長線電荷的等勢(shì)線

        以某點(diǎn)為零勢(shì)點(diǎn),該點(diǎn)與軸線的相距為a,則場(chǎng)點(diǎn)P的電勢(shì)為

        等勢(shì)面是以軸線為中心的圓柱面.取一個(gè)垂直于軸線的垂面,等勢(shì)線就是一簇簇的同心圓.

        設(shè)k=λ/(2πε0),取r0為第一條等勢(shì)線的半徑,其電勢(shì)為

        取ΔU為電勢(shì)的增量,則相鄰等勢(shì)線的電勢(shì)為U=U0+ΔU,該等勢(shì)線的半徑為

        重復(fù)上述步驟,就能決定其他等勢(shì)線的半徑,相鄰兩條等勢(shì)線的電勢(shì)差都是相同的.圖 1 表示正的直線電荷的電力線和等勢(shì)線,電荷的線密度為λ=10-9C/m,a=1 m 處為電勢(shì)零點(diǎn);越往中心,電勢(shì)越高,等勢(shì)線也越密.

        圖1 帶正電的直線電荷的電力線和等勢(shì)線示意圖

        2 等量異號(hào)無限長直線電荷

        2.1 電力線

        C是由起角決定的常數(shù).由于電力線起始于正電荷,終止于負(fù)電荷,所以每條電力線都是一段圓弧,而上下兩條對(duì)應(yīng)的電力線形成一個(gè)圓.

        圖2 等量異號(hào)無限長線電荷的電力線示意圖

        2.2 等勢(shì)線

        還可以證明,等量異號(hào)無限長線電荷的等勢(shì)線方程為[5]

        這也是一個(gè)圓,圓心在(C,0),其半徑為

        C是由電勢(shì)或起始點(diǎn)決定的常數(shù).

        如圖3 所示,第一條經(jīng)過點(diǎn)P0(x0,0)的等勢(shì)線的常數(shù)為

        圖3 等量異號(hào)無限長線電荷的等勢(shì)線的起點(diǎn)示意圖

        由此可計(jì)算圓的半徑,畫出一條包圍右邊電荷的等勢(shì)線.根據(jù)對(duì)稱性,又能畫出包圍左邊電荷的等勢(shì)線.為了決定其他等勢(shì)線的位置,先要計(jì)算第一條等勢(shì)線的電勢(shì).取o點(diǎn)為零勢(shì)點(diǎn),由(2)式可知,兩線電荷在場(chǎng)點(diǎn)P產(chǎn)生的電勢(shì)為

        將x代入(10)式就能計(jì)算新的常數(shù)C,然后由(9)式計(jì)算圓的半徑R,從而畫出新的等勢(shì)線.其他等勢(shì)線經(jīng)過x軸的位置都能用這種步驟求出.等量異號(hào)無限長帶電直線的電力線和等勢(shì)線如圖 4 所示,電荷的線密度為,兩線相距2a=0.04 m.這些曲線是關(guān)于x軸和y軸對(duì)稱的,中間的豎線是零勢(shì)線,圖例表示正電荷周圍等勢(shì)線的電勢(shì).

        圖4 等量異號(hào)無限長直線電荷電力線和等勢(shì)線

        3 等量同號(hào)無限長直線電荷

        3.1 電力線

        兩無限長帶電直線,電荷線密度λ1=λ2=λ>0,相距為2a.如圖5 所示坐標(biāo)系,可以證明,等量同號(hào)無限長直線電荷的電力線方程為

        圖5 等量同號(hào)線電荷的電力線起點(diǎn)示意圖

        3.2 等勢(shì)線

        等量同號(hào)無限長帶電直線的電力線和等勢(shì)線如圖6 所示,這些曲線也是關(guān)于x軸和y軸對(duì)稱的,經(jīng)過原點(diǎn)的等勢(shì)線是零勢(shì)線.(x,0)就是新的等勢(shì)線的起點(diǎn)坐標(biāo),用上述方法可以計(jì)算和畫出新的等勢(shì)線.

        圖6 等量同號(hào)線電荷的電力線和等勢(shì)線

        4 不等量無限長直線電荷

        4.1 電力線

        如圖7 所示,兩線電荷的線密度λ1和λ2不一定相等,相距2a,它們?cè)趫?chǎng)點(diǎn)P產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)分別為

        圖7 線電荷對(duì)的電場(chǎng)

        4.2 等勢(shì)線

        圖8 不等量同號(hào)線電荷的電力線和等勢(shì)線

        圖9 不等量同號(hào)線電荷的電力線和等勢(shì)線

        5 結(jié)語

        如果電力線或者等勢(shì)線能用為x或y的顯式表示(包括圓),直接用表達(dá)式就能計(jì)算函數(shù)值法并畫曲線.如果電力線不能用顯式表示,用MATLAB 的ode 函數(shù)特別有效.當(dāng)電勢(shì)的變化規(guī)律比較復(fù)雜時(shí),用等高線函數(shù)畫等勢(shì)線最簡單.當(dāng)兩個(gè)線電荷等量時(shí),用切線法和等高線法都能畫出如圖 4 和圖6 所示的電力線和等勢(shì)線.

        用MATLAB 畫電力線和等勢(shì)線有很多優(yōu)點(diǎn),圖形標(biāo)準(zhǔn)、精確、易于調(diào)整.將電力線和等勢(shì)線的圖片應(yīng)用于數(shù)學(xué)物理方法[8]以及其它物理課程教學(xué)中,很能說明問題,對(duì)學(xué)生理解電力線和等勢(shì)線的物理意義起到很重要的作用,能夠更好地幫助學(xué)生學(xué)習(xí)抽象的數(shù)學(xué)物理方程.

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