◎婁 瑋 （浙江省杭州市余杭區(qū)徑山鎮(zhèn)雙溪中心小學，浙江 杭州 310000）

一、前 言

圖形與幾何是小學數(shù)學課程內(nèi)容中的一個重要領(lǐng)域，這一領(lǐng)域主要研究的是圖形，而圖形也是空間形式的主要表現(xiàn)，所以圖形與幾何的教學旨在培養(yǎng)學生的空間觀念、幾何直觀以及推理能力.幾何畫板非常適用于圖形與幾何的教學，使用現(xiàn)代信息技術(shù)教學圖形與幾何可以大大提高教學效率.接下來筆者談談如何使用幾何畫板來改變傳統(tǒng)教學手段和方法.

二、幾何畫板在小學數(shù)學圖形與幾何教學中的實際應用

（一）幾何圖形的認識

小學階段的學生思維形式以具體形象為主，不論是平面圖形、還是立體圖形都是從實物中抽象而來的.幾何圖形的概念都具有一定的抽象性，而幾何畫板能夠使抽象的知識變得形象具體.

“直線、射線、線段”是人教版小學數(shù)學三年級上冊的教學內(nèi)容，這一課的教學目標之一是讓學生理解這三種線的區(qū)別與聯(lián)系.教師在準備這一節(jié)課的時候會遇到一個教學難點：如何幫助學生理解無限延長的概念.

無限延長是一個抽象的概念，現(xiàn)實生活中學生能觀察到的實物都是有長度的，因此教師就很難聯(lián)系現(xiàn)實來說明這個概念.但通過幾何畫板，教師可以讓學生明白什么是無限延長.利用幾何畫板的直線工具任意畫一條直線、一條射線和一條線段，此時在白板上出現(xiàn)了三種線（如圖1 所示）.教師可以讓學生先觀察這三種線，引導學生總結(jié)出這三種線的相同之處和不同之處，讓學生體會三種線的特征.隨后從無限延長入手，讓學生知道為什么這三種線會呈現(xiàn)不同的特征，這是教學的關(guān)鍵點.教師可以讓若干名學生上講臺操作課件：拖動線段，它會消失不見.從一個方向拖動射線，它會消失；從另一個方向拖動射線，它依舊存在.從兩個方向拖動直線，學生會發(fā)現(xiàn)無論怎么拖動，直線依舊存在于白板上.通過這樣的操作與觀察，學生明白了無限延長的概念，也體會到了這三種線的特征.

圖1

（二）圖形的運動與變化

小學階段要求學生掌握的“圖形的運動”的知識包括軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)以及圖形的放大與縮小.打開幾何畫板軟件，軟件界面的菜單欄中有一個“變換”菜單，點開“變換”菜單，在下拉欄中可以依次看到“平移”“旋轉(zhuǎn)”“縮放”“反射”這幾個選項，這些功能可以用來輔助教學“圖形的運動”的相關(guān)知識.

例如，我們可以借助幾何畫板來探究軸對稱圖形.軸對稱是人教版小學數(shù)學四年級下冊的內(nèi)容.學生在二年級的時候已經(jīng)能夠辨認對稱圖形了，而這節(jié)課的教學目標是使學生進一步認識軸對稱圖形以及其對稱軸，掌握軸對稱圖形的特征和性質(zhì).

用幾何畫板構(gòu)造軸對稱圖形是非常簡便的.在畫板上任意畫一個三角形以及一條線，雙擊這條線標記為鏡面，然后選中三角形，下拉“變換”菜單，點擊“反射”，就可以出現(xiàn)一個與原三角形關(guān)于這條線對稱的三角形.

課堂教學中，教師首先通過展示諸如蝴蝶、門窗、五角星等軸對稱圖形喚起學生已有的關(guān)于軸對稱圖形的學習經(jīng)驗，對折這些軸對稱圖形會出現(xiàn)一條折痕，這條折痕就是對稱軸.激活學生的學習經(jīng)驗以后，就要進入課堂的探究環(huán)節(jié)，而本節(jié)課的重點就在于讓學生了解軸對稱圖形的性質(zhì).如圖2 所示，△與△′′關(guān)于直線對稱.點擊“演示”按鈕以后，△′′逐漸與△重合.動態(tài)演示讓學生明白軸對稱圖形是可以完全重合的.分別連接′，′，′，發(fā)現(xiàn)連線與對稱軸交于三個點，，，并且連線與對稱軸也是相互垂直的.此時，可以利用幾何畫板的測量功能.教師可以請學生操作幾何畫板，讓學生點擊這條線段，點擊“測量”菜單中的“長度”，線段的數(shù)值就會顯示在畫板上，這個數(shù)值即為點到對稱軸的距離.再按照剛才的步驟測量出′到對稱軸的距離.通過對比可以發(fā)現(xiàn)對稱點到對稱軸的距離是相等的.用電腦測量出來的數(shù)值精確度比用紙、筆和尺子測量出來的高得多，教師通過較為精確的演示讓學生對對稱軸以及軸對稱圖形有了一個清晰的認識和理解.借助幾何畫板進行演示是為了更好地讓學生理解軸對稱圖形的特征，但是教師也需要讓學生動手在紙上畫對稱點以及對稱軸，畢竟幾何畫板只是輔助教學的工具，給學生提供了感性材料，只有讓學生親手操作，他們才會對知識概念有更深的理解.

圖2

幾何畫板的“變換”菜單可讓學生體驗圖形的不同運動，教師可要求學生在課后利用這些功能進行自主設計，達到學以致用的效果，并提升學生的審美能力.

（三）平面圖形的面積計算

小學階段，平面圖形的面積推導公式是以長方形面積公式為基礎(chǔ)的，例如，平行四邊形的面積公式以及圓的面積公式的推導都是需要讓學生將圖形轉(zhuǎn)化為長方形去探索的.教師在教學過程中要善于讓新知識與舊知識之間發(fā)生相互作用，以轉(zhuǎn)化思想為指導，在原有知識結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，讓學生去接受新知識，這樣能大大提高教學的效率，學生也會學得開心.面積的推導是以圖形的轉(zhuǎn)化為前提的，幾何畫板在圖形的轉(zhuǎn)化上能發(fā)揮比較大的作用.

筆者以平行四邊形的面積公式的教學為例.

探索環(huán)節(jié)先讓學生通過數(shù)格子的方式來計算出平行四邊形的面積，給學生后面的學習做鋪墊，再引導學生思考是否有更簡單的方法計算平行四邊形的面積.

圖3（1）為一個平行四邊形，其中線段為它的高.教師將這個課件展示出來，讓學生猜想平行四邊形與圖3（2）的長方形是否有關(guān)系.當學生提出猜想，認為平行四邊形可以轉(zhuǎn)化為長方形時，教師就用幾何畫板來驗證學生的想法.

圖3

點擊“拼補”按鈕，一個三角形沿著平行四邊形的底邊緩緩從左邊平移到右邊，最終呈現(xiàn)的效果圖為一個長方形.通過幾何畫板的動態(tài)演示，學生完整地見證了平行四邊形轉(zhuǎn)化為長方形的神奇過程，也給學生的猜想提供了有力的證據(jù).了解了圖形的轉(zhuǎn)化過程后，下一步就是進行面積公式的探索.學生通過討論發(fā)現(xiàn)，長方形的長就是平行四邊形的底邊，而長方形的寬就是平行四邊形的高，根據(jù)“長方形的面積＝長×寬”這個數(shù)學公式推導出“平行四邊形的面積＝底×高”，用字母表示即為＝.

在對面積公式探索的過程中，教師巧妙運用幾何畫板，將書本上的知識用動態(tài)演示展現(xiàn)在學生面前，讓他們對整個過程有一個清晰的認識，同時也滲透了“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學思想.學生運用原有的知識結(jié)構(gòu)，積極主動地去掌握新知識，使教學更具效率，也體現(xiàn)了“以生為本”的教育理念.

（四）立體圖形的表面積和體積計算

立體圖形表面積和體積教學中的一個重點就是讓學生體會三維空間與二維平面之間的關(guān)系，能進行幾何體與其三視圖、展開圖之間的轉(zhuǎn)化.這是學生學習表面積的基礎(chǔ)，卻是教師教學設計中容易忽視的環(huán)節(jié)、學生學習的薄弱之處.

教師在教學如何計算立體圖形的表面積的時候，要讓學生明白需要計算哪些面.但是立體圖形存在于三維空間，它不像平面圖形那么直觀，當一個立體圖形呈現(xiàn)在紙上，其特征是很難被學生觀察到的.而一些教師也會因為自己專業(yè)素養(yǎng)的缺失，使表面積和體積公式的教學僅僅停留在會用公式計算對應的立體圖形，忽視了概念之間的聯(lián)系.這樣的教學導致學生僅僅知道了立體圖形的定義，卻不知道平面圖形和立體圖形之間有著怎樣的聯(lián)系，無法形成一張知識網(wǎng)絡，因此教師需要培養(yǎng)學生的空間想象能力，使他們學會在平面圖形與立體圖形之間進行轉(zhuǎn)化.通過理解立體圖形是如何形成的，學生能自主地探索立體圖形的表面積和體積計算公式，而不是教師將公式硬塞給學生，使他們單純地通過解題的方式機械地記憶公式.

以圓柱的表面積與體積教學為例.

《圓柱的表面積》這節(jié)課滲透了空間觀念與數(shù)學建模思想，學生要經(jīng)過動手操作發(fā)現(xiàn)圓柱的表面積與已經(jīng)學過的圖形的面積之間的聯(lián)系.圓柱的表面積的教學難點在于圓柱側(cè)面積的計算.學生看到圓柱的側(cè)面第一反應是認為它是一個曲面，曲面的面積非常難計算，因此教師需要引導學生將曲面轉(zhuǎn)化為平面.通常學生通過對一個圓柱形紙筒動手操作并進行猜測.而幾何畫板可以幫助學生驗證其猜測是否準確，如圖4 清晰地演示了圓柱側(cè)面展開的過程，進一步加深了學生對圓柱側(cè)面圖形的認識：如果沿著圓柱的高剪開側(cè)面的話，曲面展開圖就是一個長方形.教師還可以改變圓柱的底面圓的半徑大小，底面圓的半徑越小，展開的長方形的寬就越短，讓學生意識到側(cè)面展開圖與底面圓的大小是有關(guān)系的.掌握了這一點，圓柱的表面積的計算方法就可以放手讓學生自己思考推導了.

圖4

等分圓能夠拼接成一個長方形，圓柱的體積公式的推導就可以從圓的面積公式的推導出發(fā).通過點擊“增高”按鈕，平面圓逐漸增加厚度，變成了圓柱，對應的用圓割補而成的長方形也逐漸增加了厚度，變成了長方體.這個動畫演示十分有趣，它讓學生體驗了平面圖形變換到立體圖形的過程，使學生將平面圖形與立體圖形的概念串聯(lián)起來.教學過程運用了順向正遷移，使學生的知識結(jié)構(gòu)更加完整.

圖5

三、幾何畫板在小學數(shù)學圖形與幾何教學中的應用價值

（一）動態(tài)演示為突破數(shù)學概念的教學難點提供了解決方法

一般來說，數(shù)學概念比較抽象，小學階段的兒童思維以具體形象為主.數(shù)學概念若不通過具體形象的圖畫進行演示，那么光憑文字解釋只會讓學生感到晦澀難懂.幾何畫板有“21 世紀的動態(tài)幾何”的美稱，當我們用動態(tài)圖來理解數(shù)學概念的時候，會有一種豁然開朗的感覺.幾何畫板可以創(chuàng)設動態(tài)的情境，運用數(shù)形結(jié)合，把抽象的數(shù)學概念以具體形象的方式呈現(xiàn)出來，揭示出事物的本質(zhì)，幫助學生明確概念的內(nèi)涵.

（二）幾何畫板的使用有助于培養(yǎng)學生的空間觀念

有人指出：“空間觀念是一個人對周圍環(huán)境和實物的直接感知.對于二、三維圖形及其性質(zhì)的領(lǐng)會和感知、圖形之間的相互關(guān)系和變換圖形的效果是空間觀念的重要方面.”幾何畫板有非常強大的功能，教科書上所列出的幾何知識幾乎都可以利用幾何畫板來完美呈現(xiàn).通過幾何畫板進行演示能豐富學生的幾何表象，而空間想象能力則是通過對表象的加工逐漸建立起來的.對于義務教育階段的學生來說，幾何畫板的使用能夠豐富他們的幾何表象，為將來的進一步發(fā)展打下良好的基礎(chǔ).

（三）幾何畫板為學生創(chuàng)設良好的數(shù)學實驗環(huán)境

幾何畫板能為學生創(chuàng)設良好的數(shù)學實驗環(huán)境.使用幾何畫板以后，學生可以脫離煩瑣的作圖和計算過程，甚至可以隨意改變數(shù)據(jù)，在這一過程中，學生還可能會有其他的發(fā)現(xiàn).學生在幾何畫板制作的圓割補的課件中輸入“＝6”的時候，圓就被平均分成了24 份，通過拉動圓心，就可展示出如圖6（2）所示的近似平行四邊形的圖形.學生可以嘗試改變數(shù)據(jù)，當輸入的數(shù)據(jù)越來越大的時候，他們會發(fā)現(xiàn)拼成的圖形越來越接近一個長方形.那么此時學生就會猜想，圓的面積公式是否可以與長方形的面積公式聯(lián)系起來.教師可以引導學生相互交流，分享經(jīng)驗，讓學生在原有的知識經(jīng)驗的基礎(chǔ)上自主探索創(chuàng)造出圓的面積公式.這樣的教學方式極大地培養(yǎng)了學生對學習的熱愛.

圖6