薛江紅， 何贊航， 夏 飛， 李澤嶸， 金福松， 楊 鵬

（暨南大學(xué) 力學(xué)與建筑工程學(xué)院 “重大工程災(zāi)害與控制”教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣州 510632）

引 言

隨著微小型機(jī)械構(gòu)件的發(fā)展，微電子機(jī)械系統(tǒng)MEMS、微型傳感器、原子力顯微鏡、微型機(jī)器人等逐漸得到廣泛應(yīng)用.在微觀尺度下，經(jīng)典連續(xù)介質(zhì)力學(xué)已不再適用，對于微納米結(jié)構(gòu)的力學(xué)分析需要新的理論方法去描述微結(jié)構(gòu)力學(xué)性能與微觀尺寸參數(shù)之間的關(guān)系.許多實(shí)驗(yàn)表明，當(dāng)材料尺寸進(jìn)入微米量級時，材料的剛度和柔度都有所增強(qiáng)，這種現(xiàn)象被稱為尺度效應(yīng).早期研究中，F(xiàn)leck等[1]進(jìn)行了細(xì)銅絲的拉伸及扭轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)，在拉伸實(shí)驗(yàn)中材料沒有出現(xiàn)明顯的尺度效應(yīng)，但在扭轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)無量綱扭矩增加至3倍.為了解釋尺度效應(yīng)，國內(nèi)外學(xué)者相繼發(fā)展了偶應(yīng)力理論和應(yīng)變梯度理論.Toupin[2]在連續(xù)力學(xué)的基礎(chǔ)上引入高階梯度的基本理論，并假定應(yīng)變能密度函數(shù)依賴于應(yīng)變梯度和旋轉(zhuǎn)梯度，發(fā)展了線彈性偶應(yīng)力理論； Mindlin[3]提出了依賴于應(yīng)變張量、變形張量及微觀變形梯度的應(yīng)變能密度函數(shù)，討論了偶應(yīng)力的典型效應(yīng).Fleck和Hutchinson[4]根據(jù)Toupin-Mindlin理論框架，發(fā)展了偶應(yīng)力彈塑性理論，并提供了增量形式和全量形式，保證了偶應(yīng)力和曲率的功的共軛，便于有限元的實(shí)現(xiàn).

2002年，Yang等[5]重新定義曲率，引入偶應(yīng)力力矩平衡方程，使應(yīng)變張量和應(yīng)力張量對稱，提出了僅適用于各向同性材料的修正偶應(yīng)力理論.在修正偶應(yīng)力的基礎(chǔ)上，Simsek[6]和Wang等[7]研究了各向同性梁的非線性彎曲和振動問題，解釋了梁和彈性介質(zhì)之間的相互作用，后者還分析了各向同性梁的后屈曲尺度效應(yīng)[8].Tsiatas[9]建立了修正偶應(yīng)力的Kirchhoff板模型.Ma等[10]建立了修正偶應(yīng)力的Mindlin板模型.Reddy等[11-12]研究并發(fā)展了圓板的軸對稱問題，并考慮了溫度場等多因素下的影響.Gao等[13]建立了基于修正偶應(yīng)力的三階剪切板模型.Chen等[14]定義了新的曲率，使得曲率在非對稱情況下，偶應(yīng)力矩對稱，成功將修正偶應(yīng)力理論推廣到各向異性材料，并建立了一系列復(fù)合材料偶應(yīng)力微觀梁和板模型[15-19].近期，周博等[20]建立了修正偶應(yīng)力的Bernoulli-Euler微梁模型，能有效描述任意截面形狀的振動特性.張大千等[21]建立了微尺度下修正偶應(yīng)力的Mindlin層合板的熱穩(wěn)定理論模型和有限元模型，研究其在溫度載荷與機(jī)械載荷共同作用下的尺度效應(yīng)問題.

上述研究中，考慮尺度效應(yīng)的梁、板、殼結(jié)構(gòu)的控制方程大多基于能量法得到，從力與變形機(jī)制角度分析考慮尺度效應(yīng)的結(jié)構(gòu)力學(xué)性能的研究還較少.本文建立考慮偶應(yīng)力理論的Mindlin板理論，研究微納米中厚板在不同邊界下的屈曲和振動問題.首先給出包含非對稱曲率的微納米Mindlin板的位移場，引入材料尺寸參數(shù)，將應(yīng)力分為對稱和非對稱部分，建立了各向同性板的本構(gòu)關(guān)系式.通過外力平衡關(guān)系，推導(dǎo)用位移函數(shù)和轉(zhuǎn)角函數(shù)表示的微納米Mindlin板的屈曲和振動控制方程.應(yīng)用分離變量法，求解在四邊簡支（SSSS）和對邊簡支、對邊固支（SCSC）下微納米板的屈曲和自由振動的理論解.開發(fā)MATLAB編程進(jìn)行算例分析，將所得的解析解與已有文獻(xiàn)的結(jié)果、考慮尺度效應(yīng)的ABAQUS有限元結(jié)果進(jìn)行對比驗(yàn)證，并討論尺度效應(yīng)對微納米板屈曲和自由振動特性的影響.

1 基本理論

考慮一個長為a、寬為b、高為h的微納米板，如圖1所示，用u，v，w來表示板內(nèi)任意點(diǎn)在x，y，z方向的位移.

圖1 微納米板的位移示意圖Fig.1 Schematic diagram of micro-nano plate displacements

根據(jù)Mindlin板理論，變形后微納米板橫截面仍為一個平面，用兩個轉(zhuǎn)角變量φx，φy來表示板內(nèi)任一點(diǎn)處法線相對于板中面繞x，y方向的轉(zhuǎn)角.基于此，微納米板的位移場可以表示為

其中，u0，v0，w0為板的中面位移.不同于宏觀尺寸板，微納米結(jié)構(gòu)中轉(zhuǎn)動分量所引起的應(yīng)力狀態(tài)的改變不能忽略，分別用ωx，ωy，ωz來表示三個方向的轉(zhuǎn)動分量為

對于微納米結(jié)構(gòu)，轉(zhuǎn)動分量描述的是原子之間的相對轉(zhuǎn)動，這種相對轉(zhuǎn)動導(dǎo)致了原子之間曲率的改變.在板殼理論中，垂直于中面方向的正應(yīng)變和曲率可以忽略不計，即εz= 0，χzz= 0.結(jié)合偶應(yīng)力理論，微納米板內(nèi)的應(yīng)變ε 和曲率χ分別為

其中χxz=ωx,z=0，χyz=ωy,z=0.由式(4)可以看出，χxy≠χyx，χxz≠χzx，χyz≠χzy，因此曲率χ是非對稱的.

在一微納米彈性體中取任一微元體，將應(yīng)力和偶應(yīng)力表示如圖2所示.為了獲得非對稱應(yīng)力-偶應(yīng)力的關(guān)系，在不計體力情況下，建立微元體的應(yīng)力平衡微分方程：互等定理不再成立.為此，將應(yīng)力分量τij分解為對稱部分和 非對稱部分

圖2 微元體各面上的應(yīng)力和偶應(yīng)力分布狀態(tài)Fig.2 The distributions of the stress and the couple stress on the surfaces of a cubic micro element

其中，τst，mij分別為應(yīng)力和偶應(yīng)力，ejst為符合張量運(yùn)算規(guī)則的置換符號.式(5)表明，當(dāng)考慮了偶應(yīng)力，切應(yīng)力

其中，ekij為符合張量運(yùn)算規(guī)則的置換符號.式(7)表明，非對稱應(yīng)力可以用偶應(yīng)力mij表示，展開得

由彈性理論，對稱應(yīng)力和應(yīng)變的關(guān)系可以表示為

其中，G，ν分別為剪切模量和Poisson比， δij為 符合張量運(yùn)算規(guī)則的Kronecker符號.將式(1)和(3)代入式(9)可得如下關(guān)系式：

其中，E為材料的彈性模量.根據(jù)Fleck-Hutchinson[4]的應(yīng)變梯度理論，偶應(yīng)力mij和曲率χij遵循如下關(guān)系：

其中，le是材料的長度尺寸參數(shù).將式(2)和(4)代入式(11)即可得到

將式(12)代入式(8)，即得如下關(guān)系式：

2 微納米板的控制方程

考慮薄板任一微元體的平衡.為簡明起見，只畫出該微分塊的中面，并將橫向荷載和橫截面上的內(nèi)力表示在中面上，其受力情況如圖3所示.定義各向同性板的薄膜力N、彎矩M、剪力Q、高階薄膜力Υ 分別為

圖3 各向同性微納米板微元體的受力平衡狀態(tài)Fig.3 The force and moment equilibrium of a micro element of the isotropic micro-nano plate

其中，Ks為橫向剪切修正系數(shù).引入偶應(yīng)力后的應(yīng)力分解為對稱應(yīng)力和非對稱應(yīng)力，內(nèi)力也分解為對稱內(nèi)力和非對稱內(nèi)力：

考慮所取微分面在x，y，z三個方向上力的平衡和力矩的平衡，并根據(jù)w=w0的假設(shè)，建立各向同性微納米板的外力平衡方程：

將式(6)、(10)、(12) ～ (15)、(21)代入式(16) ～ (20)，得到用各向同性微納米板的控制方程：

其中，ρ1=ρh，ρ2=ρh3/12，ρ代表板的密度，t代表時間.式(22)、(23)僅與u，v有關(guān)，屬于平面應(yīng)力問題，屈曲問題和自由振動問題主要求解式(24) ～ (26).

3 求解方法

本文考慮兩種邊界條件下的微納米矩形板：

SSSS矩形板的邊界條件如下：

在x= 0和x=a處，

在y= 0和y=b處，

SCSC矩形板的邊界條件如下：

在x= 0和x=a處，

在y= 0和y=b處，

采用分離變量法，將位移函數(shù)w和轉(zhuǎn)角函數(shù)φx，φy在x和y方向以及時間域上進(jìn)行分離，分析在兩種邊界條件和不同參數(shù)下的矩形板（圖4）的屈曲問題和自由振動問題.

圖4 矩形板的邊界條件Fig.4 Boundary conditions for the rectangular plate

設(shè)位移表達(dá)式為一個單重三角函數(shù)：

3.1 屈曲求解

將式(31)代入式(24) ～ (26)并聯(lián)立，可得

將式(33)回代入式(31)，結(jié)合控制方程式(24)和(25)，可以得出振幅系數(shù)之間的關(guān)系式，最后利用邊界條件(27)、(28)或者條件(29)、(30)建立待定未知數(shù)系數(shù)矩陣，并令其等于0，通過編寫MATLAB程序可求出不同邊界條件下的臨界屈曲荷載Nx.

3.2 振動求解

將式(31)代入式(24) ～ (26)并聯(lián)立，可得

其中，RV是與板的幾何參數(shù)、材料參數(shù)有關(guān)的3 × 3的矩陣；M為板的ω2的系數(shù)的矩陣，主要與ρ1有關(guān).與屈曲求解不同的是，控制方程中不考慮面內(nèi)荷載的作用，建立的是包含ω2的系數(shù)矩陣，也即|RV-ω2M| = 0，同樣根據(jù)得到的模態(tài)根以及結(jié)合邊界條件(27)、(28)或者條件(29)、(30)，通過編寫MATLAB程序得到不同邊界條件下的固有頻率ω.

4 算例分析和討論

本文采用解析法計算不同邊界、不同參數(shù)下微納米中厚板的屈曲問題和自由振動問題.板的幾何參數(shù)：a=200 μm，b= 200 μm，h= 5 μm，le= 0 ～h；材料參數(shù)：E= 6.98 GPa，ν = 0.25，ρ = 1 578 kg/m3[22]，且Ks= 1.

為了驗(yàn)證理論的準(zhǔn)確性，將本文理論解分別與Tsiatas解[9]、ABAQUS有限元解進(jìn)行了對比.基于偶應(yīng)力理論，Tsiatas[9]建立的是未考慮剪切效應(yīng)的Kirchhoff板模型，由Tsiatas理論可推導(dǎo)出SSSS邊界條件下，微納米薄板的屈曲臨界荷載和自由振動固有頻率的求解表達(dá)式：

對于SSSS的板，將本文理論解與由式(35)、(36)所得Tsiatas解進(jìn)行對比，以驗(yàn)證本文理論的正確性.

在ABAQUS中建模時，建立微米量級板的殼模型，采用四節(jié)點(diǎn)曲殼單元S4R將實(shí)體模型劃分為有限元模型，如圖5所示.在板的四周分別施加SSSS或SCSC的邊界條件，在屈曲分析步中，在板兩端施加1 N/m的線壓縮荷載，故輸出的特征值即為屈曲荷載.對于不考慮剪切效應(yīng)的各向同性材料，考慮尺度效應(yīng)相當(dāng)于增強(qiáng)材料的剛度，在ABAQUS有限元模型中需要對材料的彈性模量進(jìn)行修正，修正后的彈性模量為(詳見附錄)

圖5 微納米板的有限元網(wǎng)格示意圖Fig.5 Meshing of the micro-nano plate

將修正后的彈性模量輸入ABAQUS的材料參數(shù)中，即可得到不同尺度效應(yīng)下的微納米板的屈曲荷載和固有頻率的有限元解.

4.1 屈曲分析

4.1.1 厚長比的影響

圖6給出了當(dāng)板長度和寬度(a=b= 200 μm)、尺寸參數(shù)(le/h= 0.5)一定時，在SSSS和SCSC兩種邊界條件下微納米板的臨界屈曲荷載的理論解和有限元解隨厚長比的變化情況.從圖6可以看出，理論解與Tsiatas解和有限元解比較吻合，相對誤差控制在10%以內(nèi)，驗(yàn)證了本文模型的準(zhǔn)確性.同時，隨著板的厚長比的增加，兩種邊界條件下板的臨界屈曲荷載均不斷增加；SCSC微納米板的臨界屈曲荷載始終大于SSSS微納米板的臨界屈曲荷載，這是由于SCSC邊界有一對邊是固支，限制了轉(zhuǎn)動自由度，因此可以承受更高的屈曲荷載.

圖6 SSSS和SCSC邊界下微納米板的臨界屈曲荷載隨厚長比的變化Fig.6 Effects of the relative depth on the buckling load of the micro-nano plate under SSSS and SCSC

4.1.2 尺寸參數(shù)的影響

圖7給出了當(dāng)板的長度和寬度一定(a=b= 200 μm)時，在SSSS和SCSC兩種邊界條件下，微納米板的臨界屈曲荷載隨相對尺寸參數(shù)的變化情況.從圖7可以看出，對厚長比h/a一定的板，隨著尺寸參數(shù)的增加，臨界屈曲荷載也同樣增大.其中，le/h=1的臨界荷載約是le/h=0的10倍，也即當(dāng)尺寸參數(shù)與板厚的量級相同時，得到的臨界荷載比未考慮尺度效應(yīng)的板的結(jié)果大10倍，這說明尺度效應(yīng)對板承載力的增強(qiáng)十分明顯，此時尺度效應(yīng)不能被忽略.同時，對比兩個不同邊界，對于任一給定的尺寸參數(shù)le/h，SCSC微納米板的臨界屈曲荷載均約為SSSS微納米板的1.6倍，這表明尺度效應(yīng)對板承載能力的增強(qiáng)作用基本不受邊界改變影響.

圖7 不同厚長比下，微納米板臨界屈曲荷載隨尺寸參數(shù)的變化：（a）SSSS；（b）SCSCFig.7 Effects of the dimensional parameters on the buckling load of the micro-nano plate for different thickness-to-length ratios: (a) SSSS; (b) SCSC

4.2 振動分析

4.2.1 剪切效應(yīng)的影響

圖8給出了當(dāng)板的長度和寬度一定(a=b= 200 μm)時，在不同的尺寸參數(shù)下，SSSS微納米板的固有頻率隨厚長比變化的曲線.其中，ωP表示本文求得的自由振動固有頻率，ωT表示對應(yīng)參數(shù)下的Tsiatas解，理論解和Tsiatas解之間的差值比為η = (ωT-ωP)/ωP.為了便于分析，在圖的左半部分給出了相同情況下剪切解與經(jīng)典解差值比η隨著厚長比的變化曲線.

圖8 不同尺寸參數(shù)下，SSSS微納米板固有頻率隨厚長比的變化Fig.8 Effects of the thickness-to-length ratio on the natural frequency of the SSSS micro-nano plate for different values of dimensional parameters

從圖8可以看出，無論是否考慮尺度效應(yīng)，固有頻率均隨著厚長比的增加而增大；隨著尺寸參數(shù)的增加，固有頻率也不斷增大.圖8表明，當(dāng)微納米板的相對厚度較小時(h/a≤0.1)，理論解和Tsiatas解之間的相對差值η非常小，驗(yàn)證了本文理論的正確性.隨著微納米板的厚長比的增加，差值比η不斷增加，由于經(jīng)典理論忽略了橫向剪切變形，板的厚度越大，這種忽略帶來的兩種理論間的差值越大.同時看出，兩種理論間的差值隨著尺寸參數(shù)le/h增加而增大，這是由于在剪切效應(yīng)中引入了轉(zhuǎn)角函數(shù)，同時本文又考慮了用轉(zhuǎn)動分量來描述原子之間的相對轉(zhuǎn)動，引入了非對稱曲率的概念.材料的尺寸參數(shù)一般都是微納米量級的，從曲率和偶應(yīng)力之間的本構(gòu)關(guān)系（式（12））可以看出，曲率對于微觀結(jié)構(gòu)的影響很大，曲率連同面外剪切應(yīng)變，共同產(chǎn)生了剪切效應(yīng)這一宏觀現(xiàn)象.因此，相對于宏觀板，考慮了尺度效應(yīng)的微納米板的剪切效應(yīng)更明顯.

4.2.2 長寬比和尺寸參數(shù)的影響

圖9給出了當(dāng)板的長度和厚度一定(a= 200 μm,h= 5 μm)時，不同的尺寸參數(shù)下，SSSS和SCSC微納米板的固有頻率隨長寬比變化的曲線.從圖9(a)中可以看出，對于尺寸參數(shù)le/h給定的SSSS板，隨著長寬比的增加，固有頻率持續(xù)增大；對于尺寸參數(shù)le/h給定的SCSC板，隨著長寬比的增加，固有頻率則不斷增大.對于長寬比a/b給定的SSSS和SCSC兩種邊界條件下的板，隨著尺寸參數(shù)的增加，固有頻率均不斷增大；當(dāng)尺寸參數(shù)le從0增大至h，板的固有頻率約為前者的3倍，說明當(dāng)板尺寸為微納米量級時，尺度效應(yīng)對于微納米板自由振動特性的影響很大.同時，對比兩種邊界下的數(shù)值，可以得出和4.2.1小節(jié)相似的結(jié)論，即尺度效應(yīng)對板的振動特性的影響基本與邊界條件無關(guān).

圖9 不同尺寸參數(shù)下，微納米板固有頻率隨長寬比的變化：（a）SSSS; （b）SCSCFig.9 Effects of the aspect ratio on the natural frequency of the micro-nano plate for different dimensional parameters: (a) SSSS; (b) SCSC

5 結(jié) 論

本文建立了考慮偶應(yīng)力的各向同性微納米結(jié)構(gòu)的Mindlin板理論，進(jìn)行了微納米板的屈曲分析和自由振動分析.運(yùn)用偶應(yīng)力理論和Mindlin板理論建立了各向同性微納米板的本構(gòu)方程，利用力和變形的協(xié)調(diào)機(jī)制推導(dǎo)出外力共同作用下各向同性微納米板的控制方程.開發(fā)MATLAB程序求解在SSSS和SCSC邊界條件下，各向同性板的臨界屈曲荷載和固有頻率，為驗(yàn)證所建立理論的準(zhǔn)確性，將本文理論解和已有解、考慮了尺度效應(yīng)的有限元解進(jìn)行對比驗(yàn)證，結(jié)果非常吻合.研究表明：

1）對于各向同性微納米板，不考慮尺度效應(yīng)會導(dǎo)致對板臨界屈曲荷載和固有頻率的低估.對于屈曲問題，當(dāng)尺寸參數(shù)le從0增大至h，板的臨界屈曲荷載約為前者的10倍；對于自由振動問題，當(dāng)尺寸參數(shù)le從0增大至h，板的固有頻率約為前者的3倍.

2）隨著厚長比和長寬比(一定范圍內(nèi))的增加，板的臨界屈曲荷載和固有頻率不斷增大，剪切理論解與經(jīng)典解之間的差值也越來越大.相對于宏觀板，考慮了尺度效應(yīng)的微納米板的剪切效應(yīng)更明顯.

3）微納米板的屈曲解和自由振動解隨著邊界條件的改變而改變，一般來說，邊界約束越強(qiáng)，得到的數(shù)值結(jié)果越大；尺度效應(yīng)對板的屈曲和自由振動特性的影響基本與邊界條件無關(guān).

附 錄

以下給出式(37)的推導(dǎo)過程.根據(jù)經(jīng)典板殼理論，板的撓度w僅為x，y的函數(shù)，因此不計中面的薄膜變形與橫向剪切變形的板的三個方向上的位移可以表示為

經(jīng)典理論中，轉(zhuǎn)動位移ωx，ωy，ωz與式(2)一樣.將式(A1)、式(2)代入式(3)、(4)，應(yīng)變和曲率可以表示為

將式(A2)、(A3)分別代入式(9)、(11)，可得應(yīng)力-位移、偶應(yīng)力-曲率的關(guān)系：

將式(A4)、(A5)、(19)、(20)代入式(18)，得到各向同性微納米板的控制方程：

式中

經(jīng)典板殼理論中各向同性微納米板的控制方程為

結(jié)合式(A6)、(A7)，尺度效應(yīng)對剛度的增強(qiáng)效應(yīng)為

即對于各向同性材料，考慮尺度效應(yīng)相當(dāng)于修正了彈性模量：

需要注意的是，考慮尺度效應(yīng)實(shí)際上是考慮偶應(yīng)力的影響.由式(16) ～ (20)可以看出，偶應(yīng)力的影響主要存在于力矩的平衡和z方向力的平衡中，對x，y方向力的平衡，即薄膜力的平衡是不產(chǎn)生影響的.因此，偶應(yīng)力的影響主要是反映在彎曲問題的折算模量上，對薄膜部分折算模量的影響可以忽略不計.在此彎曲問題中同時考慮薄膜力，本文附錄所推導(dǎo)的折算模量依然適用.

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