王亞輝

（鄭州師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，鄭州 450044）

引 言

可壓縮流的數(shù)值求解是計(jì)算流體力學(xué)的主要研究?jī)?nèi)容之一.求解可壓縮流Euler方程往往就是求解非線性雙曲守恒律方程，其解往往會(huì)伴隨一些比較復(fù)雜的流動(dòng)，比如包含間斷和光滑小尺度結(jié)構(gòu).在不產(chǎn)生虛假振蕩的情況下捕捉間斷，并盡可能多地求解小尺度結(jié)構(gòu)，是數(shù)值格式的必要條件.在模擬復(fù)雜流動(dòng)問(wèn)題時(shí)，高精度階方法往往比低精度階方法的計(jì)算效率和效果要優(yōu)越得多.在眾多求解雙曲守恒律的高精度數(shù)值格式中，加權(quán)本質(zhì)無(wú)振蕩(WENO)格式已成為最受歡迎的方法之一.WENO格式通過(guò)一組動(dòng)態(tài)候選模板的低階多項(xiàng)式的非線性組合來(lái)達(dá)到抑制虛假數(shù)值振蕩的目的.其中加權(quán)過(guò)程是根據(jù)每個(gè)候選模板的光滑度評(píng)估其局部通量的貢獻(xiàn)來(lái)執(zhí)行的，具體地說(shuō)，WENO格式中的光滑度指示子可以使格式向最優(yōu)方向發(fā)展，并通過(guò)分配間斷模板的基本零權(quán)重來(lái)避免跨間斷的插值.

Liu等首先提出了WENO格式[1]，其主要構(gòu)造思想是給出所有候選子模板的非線性權(quán)來(lái)凸組合ENO格式[2-5]來(lái)提高解在光滑區(qū)域的精度，而且在間斷附近不會(huì)發(fā)生明顯的振蕩，即保持ENO格式的特性.該過(guò)程根據(jù)候選模板上解的光滑性指示子對(duì)局部數(shù)值通量的貢獻(xiàn)進(jìn)行加權(quán)來(lái)執(zhí)行，使得包含間斷的局部數(shù)值通量的模板權(quán)重基本上為零.然而，Liu等所提出的WENO格式有明顯的缺點(diǎn)，即數(shù)值格式無(wú)法得到最優(yōu)收斂精度階.Jiang和Shu[6]解決了這一問(wèn)題，并設(shè)計(jì)了一個(gè)新的光滑性指標(biāo)子的計(jì)算方法，即所有低階多項(xiàng)式的各階導(dǎo)數(shù)的L2范數(shù)的歸一化平方和，從而提出了經(jīng)典的有限差分WENO(WENO-JS)格式.Henrick等[7]通過(guò)數(shù)值分析WENO-JS格式的各候選模板光滑性指示子發(fā)現(xiàn)，WENO-JS格式在具有一階臨界點(diǎn)的光滑區(qū)域無(wú)法保持最優(yōu)的收斂精度階，進(jìn)而提出了WENO-M格式，用映射函數(shù)修改了非線性權(quán)，給出了使之滿足格式最優(yōu)收斂精度階的充要條件.Borges等[8]發(fā)展了WENO-Z格式，該方法將全局模板高階光滑性指示子納入非線性權(quán)重的構(gòu)造中.WENO-Z格式可以達(dá)到與WENO-M格式相同的收斂精度.由于該格式賦予間斷模板較大的權(quán)重，所以該格式具有高分辨率與低耗散特性.文獻(xiàn)[9]將WENO-Z格式推廣到十一階WENO格式，發(fā)展了七階到十一階WENO-Z格式.近幾年來(lái)，許多學(xué)者又發(fā)展了具有高分辨率高精度的改進(jìn)的WENO格式[10-11].

對(duì)于三階WENO格式來(lái)說(shuō)，雖然沒(méi)有高階WENO格式那么好的分辨率，但其仍然具有許多優(yōu)點(diǎn).比如，求解帶有激波問(wèn)題時(shí)具有很好的魯棒性，并且使用網(wǎng)格點(diǎn)的規(guī)模較小，從而降低了邊界處理和求解的難度，易于推廣到非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格上.盡管三階WENO格式具有以上的優(yōu)點(diǎn)，但是很多學(xué)者仍不會(huì)采用它，主要的原因是經(jīng)典的三階WENO格式在光滑區(qū)域的精度在二到三階之間，而在有臨界點(diǎn)的區(qū)域退化為一階精度.另外，由于三階WENO格式計(jì)算成本較低，是比較理想的數(shù)值格式.恢復(fù)經(jīng)典的三階WENO格式的最優(yōu)收斂精度階和提高其分辨率成為了許多學(xué)者研究的方向，大多情況下利用WENO-Z格式的加權(quán)過(guò)程，可以解決提高分辨率和恢復(fù)最優(yōu)收斂階的問(wèn)題.采用這種途徑，Wu和Zhao[12]給出了一個(gè)改進(jìn)的三階WENO格式(WENO-N3).通過(guò)對(duì)候選模板的光滑度指示子與全局模板的光滑度指示子進(jìn)行線性組合，設(shè)計(jì)了一個(gè)具有四階精度的參考性光滑度指示子 τ4N.然而 τ4N不能使格式在臨界點(diǎn)附近達(dá)到最優(yōu)三階收斂精度.為彌補(bǔ)這個(gè)缺陷，Wu等[13]用τ4Np的p冪形式改進(jìn)了參考光滑度指示子，得到了WENO-Np3格式.最近，Xu和Wu[14]提出了另一個(gè)四階參考光滑度指示子τ4P，這樣得到的WENO-P3格式的耗散性更小.然而，該算法也只能在沒(méi)有臨界點(diǎn)的光滑區(qū)域?qū)崿F(xiàn)三階精度，在有臨界點(diǎn)的光滑區(qū)域降到一階準(zhǔn)確度.在文獻(xiàn)[15]中，筆者給出了三階WENO格式的參考光滑度指示子 τ4Rp，理論分析表明，所得到的WENO-Rp3格式(p=1．5)在光滑區(qū)域(包括臨界點(diǎn))能達(dá)到三階精度，并且WENO-R3格式(p=1)保持了ENO性質(zhì).在文獻(xiàn)[16]中，筆者提出了一種修正模板的三階WENO格式，通過(guò)改進(jìn)經(jīng)典WENO-JS3格式中各候選模板上數(shù)值通量的一階多項(xiàng)式逼近，并加入二次項(xiàng)使模板逼近達(dá)到三階精度，并且計(jì)算了新的數(shù)值通量，使新發(fā)展的格式(WENO-MS)在光滑區(qū)域(包括一階臨界點(diǎn))具有三階收斂精度，并且還通過(guò)引入一個(gè)可調(diào)函數(shù) φ0使WENO-MS格式具有ENO特性.關(guān)于三階WENO格式的其他改進(jìn)格式可參考文獻(xiàn)[17-18].

為了提高經(jīng)典三階WENO格式的計(jì)算分辨率和數(shù)值收斂精度，本文提出了一種新的全局參考光滑度指示子的計(jì)算方法.這里所采取的主要策略與文獻(xiàn)[8]不同，它是通過(guò)候選子模板上重構(gòu)多項(xiàng)式的導(dǎo)數(shù)的線性組合與整個(gè)全局模板上重構(gòu)多項(xiàng)式的導(dǎo)數(shù)的L2范數(shù)逼近來(lái)計(jì)算得到的.其中會(huì)引入一個(gè)介于0和1之間的自由參數(shù)φ，通過(guò)調(diào)節(jié)該自由參數(shù)的值，可以獲得不同的參考光滑性指示子，并且所獲得的參考光滑性指示子的階數(shù)比WENO-Z格式的更高.當(dāng)自由參數(shù)取某些特定的值時(shí)，我們可以得到之前發(fā)展的三階WENO格式[12-13].最后本文給出了一系列一維和二維數(shù)值算例驗(yàn)證新格式(WENO-Re3) 的性能.數(shù)值結(jié)果表明，與WENO-JS3、WENO-Z3和WENO-P3格式相比，WENO-Re3格式對(duì)精細(xì)光滑結(jié)構(gòu)具有相當(dāng)或更高的分辨率.

本文主要安排如下：第1節(jié)通過(guò)一維標(biāo)量守恒律方程簡(jiǎn)要的回顧了三階WENO格式；第2節(jié)提出了新的參考光滑度指示子的計(jì)算方法，并給出了WENO-Re3格式；第3節(jié)通過(guò)一系列一維和二維數(shù)值算例來(lái)說(shuō)明了新格式的性能；第4節(jié)對(duì)全文進(jìn)行了總結(jié).

1 三階WENO格式綜述

在本節(jié)中，首先通過(guò)一維標(biāo)量守恒律簡(jiǎn)要介紹一下三階WENO有限差分格式：

1.1 三階WENO格式

它們結(jié)合起來(lái)定義了格式的數(shù)值通量

這里的非線性權(quán)重ωk定義為

其中，常系數(shù)dk被稱(chēng)為理想權(quán)重，因?yàn)樗鼈兣c的 線性組合保持最優(yōu)三階收斂到h(xj+1/2)，即

dk的具體值如下所示：

式(9)中的 0 ＜?≤1是 為防止被零除而引入的小正參數(shù)， βk是第k個(gè)模板的光滑度指示子.Jiang和Shu[6]提出的光滑度指示子為

其具體形式為

Borges等[8]提出了一個(gè)WENO-Z權(quán)：

其中 ? =10-40，τ3=|β1-β0|是 一個(gè)三階參考光滑探測(cè)子，它驅(qū)使非線性權(quán)重ωk(13)向最優(yōu)權(quán)重dk靠近，并且比JS權(quán)重(9)快.當(dāng)冪q=2時(shí)，WENO-Z格式在一階臨界點(diǎn)處可以達(dá)到最優(yōu)的三階，但在間斷附近具有更多的耗散，一個(gè)不那么耗散的方法是設(shè)計(jì)一個(gè)足夠的高階參考光滑探測(cè)子，并且總是使用冪q=1.

為了為WENO-Z權(quán)設(shè)計(jì)一個(gè)合適的參考光滑探測(cè)子(13)，需要一個(gè)充分條件來(lái)恢復(fù)三階WENO格式的最優(yōu)階精度.在文獻(xiàn)[14]中，給出了三階WENO格式達(dá)到三階精度的一個(gè)充分條件：

方程(14)僅僅是一個(gè)充分條件，但不是必要條件.然而，這一條件為設(shè)計(jì)高階參考光滑性指示子提供了有用的信息.

2 新的全局參考光滑性指示子

在本節(jié)中，我們?yōu)槿AWENO格式提出了一個(gè)新的參考光滑性度指標(biāo)子 τ4Re.此參考光滑度指標(biāo)子的構(gòu)造策略是每個(gè)候選模板的重構(gòu)多項(xiàng)式的一階導(dǎo)數(shù)的線性凸組合與全局模板的重構(gòu)多項(xiàng)式的一階導(dǎo)數(shù)的L2范數(shù)逼近的平方和，與參考光滑性指標(biāo)子 τ4P[14-15]相比，在數(shù)量上具有較少值，并且在光滑區(qū)域同樣具有四階精度.

首先，我們給出圖1中候選子模板和全局模板的重構(gòu)多項(xiàng)式，其重構(gòu)多項(xiàng)式具體形式如下：

圖1 三階WENO數(shù)值通量的模板Fig.1 The stencils for the 3rd-order WENO numerical flux

注1對(duì)式(16)進(jìn)行簡(jiǎn)單地積分消參運(yùn)算，可以得到全局參考光滑性指示子的表達(dá)式為

根據(jù)和的取值不同，可以分為如下兩種形式：

通過(guò)式(19)與充分條件(14)相比，當(dāng)p=1時(shí)，能夠得出WENO-Re3在沒(méi)有一階臨界點(diǎn)的光滑區(qū)域能實(shí)現(xiàn)最優(yōu)精度階，卻在一階臨界點(diǎn)處只有一階精度.然而當(dāng)p=1．5時(shí)，WENO-Re3格式在一階臨界點(diǎn)的光滑區(qū)域也能實(shí)現(xiàn)最優(yōu)精度階.

注2若SC和SD分 別是包含在圖1中全局模板S3的一個(gè)光滑子模板和一個(gè)間斷子模板，則相應(yīng)的光滑性指示子和非線性權(quán)重為

注意到τ4Re=Θ(1)，所以

那么

容易得到如下結(jié)論：當(dāng)網(wǎng)格細(xì)化時(shí)，分配給間斷模板SD的權(quán)重時(shí)，其權(quán)重ωD趨于零，因此WENO-Re3格式定義的非線性權(quán)重滿足ENO性質(zhì).由于當(dāng)p=1．5時(shí)的WENO-Re3格式在間斷附近會(huì)產(chǎn)生明顯的數(shù)值振蕩[15]，所以在接下來(lái)的所有數(shù)值計(jì)算中取p=1， 自由參數(shù)

3 數(shù)值測(cè)試

在本節(jié)中，我們將通過(guò)一些經(jīng)典數(shù)值例子來(lái)驗(yàn)證WENO-Re3格式的性能，并與其他WENO格式的分辨率進(jìn)行比較.數(shù)值算例從簡(jiǎn)單的一維標(biāo)量對(duì)流方程求解開(kāi)始，然后是一維和二維Euler方程的數(shù)值求解.本文所有的格式和算例均采用局部Lax-Friedrichs通量分裂.時(shí)間推進(jìn)采用三階TVD-Runge-Kutta方法[5]：

其中L(u)是對(duì)的近似.

除非另有規(guī)定，否則對(duì)于一維情形和二維情形的時(shí)間步長(zhǎng)Δt分別為

其中σ 是CFL(Courant-Friedrichs-Lewy)條件數(shù).在接下來(lái)的計(jì)算中取CFL數(shù)為0.6.

3.1 標(biāo)量測(cè)試問(wèn)題

在這一小節(jié)中，我們用具有周期邊界條件的標(biāo)量對(duì)流方程在不同初始值下的數(shù)值例子來(lái)驗(yàn)證新的WENO-Re3格式的良好性能.

例1（線性方程）考慮以下線性對(duì)流方程：

初值條件為

u(x,0)=u0(x).

首先在兩組初始數(shù)據(jù)的線性方程(20)上檢驗(yàn)WENO-Re3格式的數(shù)值收斂率：

時(shí)間步長(zhǎng)設(shè)置為Δt=CCFL×Δx， 確保與空間精度兼容.誤差的L1,L∞范 數(shù)是通過(guò)與t=2的精確解比較得出的，根據(jù)以下式子計(jì)算：

這里uexact,j表示精確值.表1和表2分別顯示t=2時(shí) 初值(21a)的L1,L∞誤差和收斂階，表3和表4顯示初值(21b)的結(jié)果.我們發(fā)現(xiàn)誤差隨著WENO-JS3、WENO-Z3、WENO-P3和WENO-Re3的順序而減小，新的WENO-Re3格式能實(shí)現(xiàn)較好的收斂精度.相比之下，新的WENO-Re3格式的性能優(yōu)于其他WENO格式.

表1 線性對(duì)流方程(20)在初值(21a)下，不同格式在t =2的L1誤差和收斂階Table 1 L1 errors and convergence rates at t =2 of different schemes for linear advection eq.(20) with initial data (21a)

表2 線性對(duì)流方程(20)在初值(21a)下，不同格式在t =2的L∞誤差和收斂階Table 2 L∞ errors and convergence rates at t =2 of different schemes for linear advection eq.(20) with initial data (21a)

表3 線性對(duì)流方程(20)在初值(21b)下，不同格式在t =2的L1誤差和收斂階Table 3 L1 errors and convergence rates at t =2 of different schemes for linear advection eq.(20) with initial data (21b)

表4 線性對(duì)流方程(20)在初值(21b)下，不同格式在t =2的L∞誤差和收斂階Table 4 L∞ errors and convergence rates at t =2 of different schemes for linear advection eq.(20) with initial data (21b)

然后我們討論WENO-Re3格式在長(zhǎng)時(shí)間計(jì)算中的性能.具體來(lái)說(shuō)，在式(20)上考慮如下初始條件：

在計(jì)算域 - 1≤x≤1中 ，求解到時(shí)間為t=41， 其中 Δx=0．005.數(shù)值結(jié)果如圖2所示，通過(guò)與其他WENO格式比較，可以清晰地知道在間斷附近WENO-Re3的分辨率最好，并且耗散性最小.圖3分別比較了WENO-Re3格式在不同參數(shù) φ的數(shù)值結(jié)果，并且與WENO-R3格式[15]的數(shù)值結(jié)果相比較，可以清楚地知道，當(dāng)參數(shù)時(shí)，WENO-Re3格式的分辨率最好，并且與WENO-R3格式[15]的分辨率大致相當(dāng).

圖2 線性對(duì)流方程(20)在初值(22)下，不同格式的數(shù)值解與解析解的比較，t =41，N=400Fig.2 Comparison of the analytical solution with the numerical solutions to linear advection eq.(20) with an initial value (22) at t=41, N =400

圖3 線性對(duì)流方程(20)在初值(22)下，WENO-Re3格式在不同參數(shù)φ下的數(shù)值解比較，t =41，N=400Fig.3 Comparison of the numerical solutions of the WENO-Re3 scheme with different parameter φ values of linear advection eq.(20) with an initial value (22) at t =41,N=400

最后，我們求解線性對(duì)流方程(20)，初始條件包括Gauss波、方波、三角波和半橢圓波，如下所示：

其中G(x,β,z)=e-β(x-z)2，F(xiàn)(x,α,a)=a=0．5,z=-0．7， δ =0．005， α =10， β =ln2/(36δ2).這種情況的解包括接觸間斷、角點(diǎn)奇異和光滑區(qū)域.我們用時(shí)間步長(zhǎng) Δt=CCFL×Δx， 計(jì)算到最終時(shí)間為t=8.數(shù)值結(jié)果如圖4和圖5所示.數(shù)值結(jié)果表明，WENO-Re3格式的性能優(yōu)于WENO-JS3、WENO-Z3和WENO-P3格式，并且與精確值之間的誤差最小.所以基于新的光滑性指示子的三階WENO-Re3格式比其他WENO格式具有更好的分辨率，并且WENO-Re3格式的耗散最小.

圖4 線性對(duì)流方程(20)在初值(23)下，不同格式的數(shù)值解與解析解的比較，t =6，N=400Fig.4 Comparison of the analytical solution with the numerical solutions of linear advection eq.(20) with an initial value (23) at t=6, N=400

圖5 線性對(duì)流方程(20)在初值(23)下，不同格式的數(shù)值解與解析解的比較，t =6，N =400（局部放大圖）Fig.5 Comparison of the analytical solution with the numerical solutions to linear advection eq.(20) with initial value (23) at t=6, N=400(local encargement)

3.2 一維Euler系統(tǒng)

在這一節(jié)中，我們考慮一維Euler方程組：

其中

U=(ρ,ρu,E)T,F(U)=(ρu,ρu2+p,u(E+p))T.

狀態(tài)方程為

ρ,u,p和E分別是密度、速度、壓強(qiáng)和總能，γ 是比容比.相應(yīng)的Jacobi矩陣A(U)=?F/?U的特征值為

λ1=u-c,λ2=u,λ3=u+c,

這里c=(γp/ρ)1/2為聲速.

例2 (一維Riemann問(wèn)題)我們考慮具有如下形式的三個(gè)經(jīng)典初值問(wèn)題：

(ⅰ) Lax激波管[19-20]

其中 γ =1．4 ， 網(wǎng)格尺度為 Δx=0．005， 計(jì)算時(shí)間為t=0．13.密度場(chǎng)的數(shù)值結(jié)果與精確的Riemann解進(jìn)行了比較，如圖6所示.明顯地，WENO-Re3格式更高效，能更好地捕捉激波，并且耗散最小.

圖6 Lax激波管問(wèn)題[20]的數(shù)值結(jié)果，t =0．13，N=200Fig.6 Numerical results of the Lax problem[20], t =0．13,N=200

(ⅱ) 沖擊波相互作用[19-20]

其中γ =1．4 .我們用網(wǎng)格尺度為Δx=0．0025 計(jì) 算到t=0．038.密度場(chǎng)的數(shù)值結(jié)果如圖7所示.由于精確解是未知的，參考解是通過(guò)使用五階WENO-JS格式[6]在3 201個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)上獲得的.明顯可以得到，WENO-Re3格式更高效，并且在接觸間斷處的耗散的順序是WENO-Re3 ＜ WENO-P3 ＜ WENO-Z3 ＜ WENO-JS3.圖8分別比較了WENO-Re3在不同參數(shù)φ 的數(shù)值結(jié)果，可以清楚得到，當(dāng)參數(shù)φ =1/2時(shí)，WENO-Re3格式的分辨率最好.

圖7 沖擊波相互作用的數(shù)值結(jié)果，t =0．038，N=400Fig.7 Numerical results of interacting blast waves, t =0．038,N=400

圖8 不同參數(shù)φ 下，沖擊波相互作用的數(shù)值結(jié)果，t =0．038，N=400Fig.8 Numerical results of interacting blast waves with different parameter φ values, t =0．038,N=400

(ⅲ) 一維激波等熵波作用(Titarev-Toro問(wèn)題)[21]

我們計(jì)算[ -5,5]區(qū)域上的近似解，這里采用周期邊界條件.初始條件為

其中γ =1．4.對(duì)于Titarev-Toro的沖擊熵波測(cè)試問(wèn)題，該流動(dòng)包含明顯的物理振蕩，精確解無(wú)法得到，必須用數(shù)值方法來(lái)求解，參考解是用新的WENO-Re3格式在20 000個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)下獲得的.如圖9所示，采用不同的WENO格式計(jì)算密度場(chǎng)的數(shù)值結(jié)果.通過(guò)與WENO-Z3和WENO-P3格式相比，WENO-Re3格式效率較好，分辨率高，并且耗散更少，特別是在捕捉高頻波方面.

圖9 激波等熵波相互作用(Titarev-Toro)[21]的密度分布，t=5，N=4001Fig.9 Density profiles of the shock entropy interaction (Titarev-Toro)[21],t=5, N=4 001

3.3 二維Euler系統(tǒng)

在本小節(jié)中，考慮二維可壓縮Euler系統(tǒng)：

其中

這里 ρ，u，v，p和E分別是密度，x和y坐標(biāo)方向上的速度分量，壓力和總能量.另外，U是守恒變量的向量，F(xiàn)(U)是x方向的通量分量，G(U)是y方向的通量分量.對(duì)二維可壓縮Euler方程進(jìn)行了逐維求解.

例3 (二維Riemann問(wèn)題)[22]計(jì)算域?yàn)閇 0,1]×[0,1]，初始條件設(shè)置為

這里邊界條件為Dirichlet邊界條件，比熱比γ =1．4 .計(jì)算的最終時(shí)間為t=0．8.圖10顯示不同格式的數(shù)值結(jié)果，易得WENO-Re3格式比WENO-JS3、WENO-Z3和WENO-P3格式結(jié)構(gòu)更為豐富，分辨率更高，并且耗散更小.

圖10 不同格式關(guān)于二維Riemann問(wèn)題[22]的密度等值線，Δ x=Δy=1/800，t=0．8Fig.10 Density contours of the 2D Riemann problem[22], Δx =Δy=1/800,t=0．8

例4 (雙Mach反射問(wèn)題)[23]激波在斜面上的二維雙Mach反射描述了平面Mach激波在空氣中撞擊楔形物的反射現(xiàn)象.這種試驗(yàn)被廣泛用于驗(yàn)證數(shù)值方法的性能.我們?cè)?[ 0,4]×[0,1]上計(jì)算這個(gè)測(cè)試問(wèn)題，輸出在[0,3]×[0,1]上 的數(shù)值結(jié)果.起始在x=1/6處 施加一個(gè)右移Mach數(shù)為10的激波，激波前緣與x軸成 6 0°角.在沿底部邊界x=0至x=1/6的區(qū)域內(nèi)，為初始激波后流動(dòng)賦值，其余區(qū)域采用反射邊界條件.左邊界為初始激波后流動(dòng)賦值.對(duì)于x=4處的右側(cè)邊界都設(shè)置為零.上邊界是用來(lái)描述Mach數(shù)為10的激波的精確運(yùn)動(dòng).網(wǎng)格尺度Δx=Δy=1/480， 比熱比 γ=1．4 ， 計(jì)算時(shí)間t=0．2.圖11比較了WENO-Re3格式與WENO-JS3、WENO-Z3和WENO-P3格式的數(shù)值結(jié)果.可見(jiàn)WENO-Re3格式的分辨率比其他WENO格式要高，WENO-Re3較好地解決了Mach桿附近的不穩(wěn)定性問(wèn)題.

圖11 雙Mach反射問(wèn)題在t =0．2 時(shí) 的密度等值線，網(wǎng)格點(diǎn)為1920×480Fig.11 Density contours of the double Mach reflection problem for t =0．2 on the 1 920×480 grid points

4 結(jié) 論

本文針對(duì)計(jì)算流體力學(xué)對(duì)高精度高分辨率的需求，基于降低經(jīng)典的三階WENO格式的數(shù)值耗散特性，提出了一種新的參考光滑性指示子的構(gòu)造方法.其構(gòu)造方法與經(jīng)典的WENO-Z格式略有不同，具體實(shí)現(xiàn)途徑是通過(guò)候選子模板的重構(gòu)多項(xiàng)式導(dǎo)數(shù)的線性組合與整個(gè)全局模板上的重構(gòu)多項(xiàng)式導(dǎo)數(shù)的L2范數(shù)逼近來(lái)獲得的.其中引入一個(gè)介于0和1之間自由參數(shù)φ，并且通過(guò)調(diào)節(jié)該自由參數(shù)可以獲得不同的參考光滑性指示子，并且獲得的參考光滑性指示子的階數(shù)比WENO-Z格式更高.本文通過(guò)一系列一維和二維數(shù)值算例驗(yàn)證了新格式的有效性.數(shù)值結(jié)果表明，與WENO-JS3、WENO-Z3和WENO-P3格式相比，WENO-Re3格式對(duì)精細(xì)光滑結(jié)構(gòu)具有相當(dāng)或更高的分辨率.

參考文獻(xiàn)（ References ）：

［1］LIU X D, OSHER S, CHAN T.Weighted essentially non-oscillatory schemes[J].Journal of Computational Physics, 1994, 115（1）: 200-212.

［2］HARTEN A, OSHER S.Uniformly high-order accurate non-oscillatory schemes Ⅰ[J].SIAM Journal on Numerical Analysis, 1987, 24（2）: 279-309.

［3］HARTEN A, ENGQUIST B, OSHER S, et al.Uniformly high-order accurate essentially non-oscillatory schemesⅢ[J].Journal of Computational Physics, 1987, 71: 231-303.

［4］SHU C W, OSHER S.Efficient implementation of essentially non-oscillatory shock-capturing schemes[J].Journal of Computational Physics, 1988, 77（2）: 439-471.

［5］SHU C W, OSHER S.Efficient implementation of essentially non-oscillatory shock-capturing schemes Ⅱ[J].Journal of Computational Physics, 1989, 83（1）: 32-78.

［6］JIANG G S, SHU C W.Efficient implementation of weighted ENO schemes[J].Journal of Computational Physics, 1996, 126（1）: 202-228.

［7］HENRICK A K, ASLAM T D, POWERS J M.Mapped weighted-essentially-non-oscillatory schemes: achieving optimal order near critical points[J].Journal of Computational Physics, 2005, 207（2）: 542-567.

［8］BORGES R, CARMONA M, COSTA B, et al.An improved weighted essentially non-oscillatory scheme for hyperbolic conservation laws[J].Journal of Computational Physics, 2008, 227: 3191-3211.

［9］GEROLYMOS R A, SéNéCHAL S, VALLET I.Very-high-order WENO schemes[J].Journal of Computational Physics, 2009, 228（23）: 8481-8524.

［10］WANG Y H, DU Y L, ZHAO K L, et al.Modified stencil approximations for fifth-order weighted essentially nonoscillatory schemes[J].Journal of Scientific Computing, 2019, 81（6）: 898-922.

［11］FU L, HU X Y, ADAMS N A.A new class of adaptive high-order targeted ENO schemes for hyperbolic conservation laws[J].Journal of Computational Physics, 2018, 374: 724-751.

［12］WU X S, ZHAO Y X.A high-resolution hybrid scheme for hyperbolic conservation laws[J].International Journal for Numerical Methods in Fluids, 2015, 78（3）: 162-187.

［13］WU X S, LIANG J H, ZHAO Y X.A new smoothness indicator for third-order WENO scheme[J].International Journal for Numerical Methods in Fluids, 2016, 81（7）: 451-459.

［14］XU W Z, WU W G.An improved third-order WENO-Z scheme[J].Journal of Scientific Computing, 2018, 75:1808-1841.

［15］WANG Y H, DU Y L, ZHAO K L, et al.A low-dissipation third-order weighted essentially nonoscillatory scheme with a new reference smoothness indicator[J].International Journal for Numerical Methods in Fluid, 2020,92（9）: 1212-1234.

［16］王亞輝.求解雙曲守恒律方程的三階修正模板WENO格式[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué), 2022, 43（2）: 224-236.（WANG Yahui.A 3rd-order modified stencil WENO scheme for solution of hyperbolic conservation law equations[J].Applied Mathematics and Mechanics, 2022, 43（2）: 224-236.（in Chinese））

［17］徐維錚, 孔祥韶, 吳衛(wèi)國(guó).基于映射函數(shù)的三階 WENO 改進(jìn)格式及其應(yīng)用[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué), 2017, 38（10）: 1120-1135.（XU Weizheng, KONG Xiangshao, WU Weiguo.An improved 3rd-order WENO scheme based on mapping functions and its application[J].Applied Mathematics and Mechanics, 2017, 38（10）: 1120-1135.（in Chinese））

［18］徐維錚, 吳衛(wèi)國(guó).三階WENO-Z格式精度分析及其改進(jìn)格式[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué), 2018, 39（8）: 946-960.（XU Weizheng, WU Weiguo.Precision analysis of the 3rd-order WENO-Z scheme and its improved scheme[J].Applied Mathematics and Mechanics, 2018, 39（8）: 946-960.（in Chinese））

［19］LAX P D.Weak solutions of nonlinear hyperbolic equations and their numerical computation[J].Communications on Pure and Applied Mathematics, 1954, 7（1）: 159-193.

［20］SOD G A.A survey of several finite difference methods for systems of nonlinear hyperbolic conservation laws[J].Journal of Computational Physics, 1978, 27（1）: 1-31.

［21］TITAREV V A, TORO E F.Finite-volume WENO schemes for three-dimensional conservation laws[J].Journal of Computational Physics, 2004, 201（1）: 238-260.

［22］SCHULZ-RINNE C W, COLLINS J P, GLAZ H M.Numerical solution of the Riemann problem for two-dimensional gas dynamics[J].SIAM Journal on Scientific Computing, 1993, 14（6）: 1394-1414.

［23］WOODWAED P, COLELLA P.The numerical simulation of two-dimensional fluid flow with strong shocks[J].Journal of Computational Physics, 1984, 54（1）: 447-465.