李遠(yuǎn)飛

（廣州華商學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計研究所，廣州 511300）

引 言

在本文中，我們研究以下非線性Keller-Segel趨化模型[1]：

其中Ω 是RN(N≥2)上 的一個有界凸區(qū)域，并具有光滑的邊界? Ω， ? /?n是? Ω上的外單位法向?qū)?shù)，D(u)是非線性擴(kuò)散項(xiàng)，S(u)是 聚集項(xiàng)，u0和v0是 非負(fù)的連續(xù)函數(shù)，t*是可能的爆破時間.更多的限制將在下文給出.

當(dāng)人們研究一個數(shù)學(xué)模型時，首先考慮的是該模型在數(shù)學(xué)上的合理性，即解的適定性研究.然而在某些特定的條件下，解具有爆破性.眾所周知，拋物方程的解當(dāng)t→t*時變得無界，就稱解在t*處發(fā)生爆破.通常情況下，確定解的爆破時間是困難的.所以人們開始估計爆破時間的上界，積累了大量的方法.事實(shí)上，爆破時間的下界同樣重要.自從Weissler[2-3]在20世紀(jì)80年代開始考慮爆破時間的下界以來，近幾十年來，在研究偏微分方程的下界方面出現(xiàn)了大量的成果（見文獻(xiàn)[4-12]）.首先假設(shè)解在某個有限時刻t*處爆破，然后推導(dǎo)爆破時間的下界.不管爆破最后有沒有發(fā)生，這種類型的下界都是有意義的.例如文獻(xiàn)[13]提到的2003年哥倫比亞號航天飛機(jī)的災(zāi)難.由于航天飛機(jī)發(fā)射時被一塊脫落的泡沫擊中飛機(jī)左翼，導(dǎo)致那塊隔熱材料局部受損.結(jié)果，在重返大氣層時，航天飛機(jī)由于在受損部分附近產(chǎn)生巨大熱量而解體.事實(shí)上，以前的幾架航天飛機(jī)也有類似的問題，但它們都能安全著陸.一些工程師懷疑這些損傷太小，以至于航天飛機(jī)能夠在溫度變得足夠大之前著陸.

事實(shí)上，方程(1)的幾種特殊形式已經(jīng)得到了研究.Payne和Song[14]研究了趨化模型

在齊次Neumman邊界條件下的爆破現(xiàn)象.通過利用微分不等式技術(shù)，得到了爆破時間的下界.當(dāng)初始條件滿足一定約束條件時，證明了解的全局存在性.文獻(xiàn)[15]把文獻(xiàn)[14]的研究進(jìn)一步推廣到了非線性邊界條件上，通過對已知數(shù)據(jù)項(xiàng)進(jìn)行一定的約束，當(dāng)爆破發(fā)生時推導(dǎo)了爆破時間的下界.

Payne和Song在文獻(xiàn)[16]里研究了以下Keller-Segel方程：

其中ki(i=1,2,3,4)是 大于零的常數(shù).當(dāng)N=2時，文獻(xiàn)[16]獲得了爆破時間的下界.Li和Zheng[17]進(jìn)一步推廣到一個完整的Keller-Segel方程：

本文研究一個更加復(fù)雜的系統(tǒng)(1)的爆破時間的下界，為了簡化起見，我們假設(shè)

1 全局解

本節(jié)假設(shè)Ω ?R3，我們尋找全局解存在的條件.為此，我們首先給出以下引理.

引理1[19]設(shè)Ω 是R3上 的有界星型凸區(qū)域.若w∈C1(Ω)，則有

其中

的第一正特征值.

我們的主要結(jié)果可以表述為如下定理.

定理1設(shè)u(x,t)和v(x,t) 是 問題(1)在星型有界區(qū)域 Ω ?R3上 的非負(fù)經(jīng)典解，其中D(u)和S(u)滿足式(2).參數(shù)s,r滿足

如果方程(1)的解在任何有限時刻不會爆破，則解是全局存在的.

證明我們首先定義

對式(3)求導(dǎo)，利用方程(1)、散度定理和式(2)，可得

利用H?lder不等式和Young不等式，可得

再利用引理1，可得

利用不等式

可得

利用Young不等式，由式(8)可得

其中ε1是大于零的常數(shù)以及

由于s＞r，所以

把式(9)和(10)代入到式(5)再結(jié)合式(4)，可得

利用散度定理和方程(1)，可得

記

并在式(9)中取ε1滿足

由式(9)和(10)，可得

其中

利用引理2和H?lder不等式，可得

由于s＞r，所以由式(14)和(15)，可得

式(16)說明方程(1)的解在A(t)的 測度下不會在任何有限時刻爆破.否則，若存在某有限時刻t*使得limt→t*A(t)=∞， 則由式(16)可知存在區(qū)間 [t0,t*)使 得A′(t)＜0,t∈[t0,t*).這就表明A(t)在 [t0,t*)上是單調(diào)遞減函數(shù)，所以A(t*)＜A(t0).這與A(t)在t*處爆破矛盾.證畢.

注1當(dāng)r≥2/3時 ，定理1就不再成立了，即解可能在某有限時刻t*處爆破.在此種情形下，我們在下一節(jié)推導(dǎo)爆破時間t*的下界.

2 N =3時爆破時間的下界

本節(jié)假設(shè)Ω ?R3，當(dāng)爆破發(fā)生時，我們推導(dǎo)爆破時間的下界.我們的主要結(jié)果可以表述為如下定理.

定理2設(shè)u(x,t)和v(x,t) 是 問題(1)在星型有界區(qū)域 Ω ?R3上 的非負(fù)經(jīng)典解，其中D(u)和S(u)滿足式(2).參數(shù)s,r滿足

如果方程(1)的解在某有限時刻t*爆破，則爆破時間t*一定具有下界，即

其中bi(i=1,2,3,4)是大于零的常數(shù)，以及

證明我們?nèi)匀皇褂檬?3)所定義的輔助函數(shù).重新計算式(6)，利用方程(1)、H?lder不等式、Young不等式、散度定理、式(2) 和引理1，可得

利用不等式(7)，可得

其中ε2是大于零的常數(shù),

接下來，我們控制式(6)中的第二項(xiàng).利用引理1，可得

其中ε3是大于零的常數(shù),

把式(17)和式(18)代入到式(5)再聯(lián)合式(4)，可得

利用散度定理和方程(1)，可得

取

并聯(lián)合式(19)、(20)和式(13)，可得

其中

由式(21)可得

若方程的解在A(t)測度下在某有限時刻t*爆破，則 limt→t*A(t)=∞.對式(22)從0到t*積分即可完成定理2的證明.

3 N =2時的爆破時間的下界

本節(jié)推導(dǎo)Ω ?R2時方程(1)解的爆破時間的下界.我們先給出以下引理.

引理3[4，17，21]設(shè)Ω ?R2是一個有界的凸區(qū)域，則

其中

利用引理3，我們可得以下定理.

定理3設(shè)u(x,t)和v(x,t) 是 問題(1)在星型有界區(qū)域 Ω ?R2上 的非負(fù)經(jīng)典解，其中D(u)和S(u)滿足式(2).參數(shù)s,r滿足

如果方程(1)的解在某有限時刻t*爆 破，則爆破時間t*一定具有下界，即

其中bi(i=5,6,7,8)是大于零的常數(shù)以及

證明我們利用引理3重新計算式(6)，可得

其中ε3是 大于零的常數(shù)

再重新計算式(18)，可得

其中ε4是大于零的常數(shù)，

把式(23)和式(24)代入式(5)，再結(jié)合式(3)、(4)、(9)和式(10)，可得

其中

與式(21)類似，對式(25)從0到t*積分即可完成定理3的證明.證畢.

注2如果設(shè)D(u)≤us，定理1～3仍然是成立的.

注3當(dāng)Ω ?R2時，引理1和引理2就不再成立了，此時我們應(yīng)用了引理3.

4 總 結(jié)

本文首先假設(shè)方程的解在某有限時刻爆破，然后推導(dǎo)了爆破時間的下界，說明了解在該下界之前是保持有界的.其次，本文的問題還可以向更深層次推廣.第一，我們注意到文獻(xiàn)[1]研究了模型(1)在Ω ?RN,N＞3上解的爆破現(xiàn)象，在初始數(shù)據(jù)滿足一定的條件時，得到了解的爆破時間的上界.可以進(jìn)一步考慮N＞3 的情形，在此種情況下引理2和引理3就不再成立了.此時可利用高維空間的微分不等式，以證明解的存在性和爆破時間的下界.第二，本文的研究可以向更加一般化的模型推進(jìn)，例如[22]

其中g(shù)(u)是連續(xù)非負(fù)函數(shù).

致謝本文作者衷心感謝廣州華商學(xué)院科研團(tuán)隊(duì)項(xiàng)目(2021HSKT01)對本文的資助.

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