吳雨程， 殷 紅， 彭珍瑞

（蘭州交通大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，蘭州 730070）

引 言

近年來，模型修正方法的研究已經(jīng)取得重大發(fā)展，在機(jī)械、土木和航天等領(lǐng)域逐步成為研究熱點(diǎn).但是當(dāng)前大多數(shù)的模型修正方法屬于確定性方法，沒有考慮到結(jié)構(gòu)參數(shù)和響應(yīng)的不確定性，導(dǎo)致其工程應(yīng)用價(jià)值發(fā)揮不充分.工程問題中的不確定性主要為結(jié)構(gòu)裝配帶來的不確定性、材料參數(shù)與幾何參數(shù)的不確定性、測量數(shù)據(jù)的不確定性和環(huán)境噪聲，因此不確定性模型修正方法的研究是非常必要的[1].隨機(jī)模型修正方法屬于不確定模型修正方法，可以減小實(shí)測數(shù)據(jù)與預(yù)測的隨機(jī)響應(yīng)之間的誤差，因此隨機(jī)模型修正具有重要的意義[2-3].

多年來，國內(nèi)外學(xué)者對隨機(jī)模型修正方法進(jìn)行了深入的研究.方圣恩等[4]將隨機(jī)模型修正過程分解為確定性修正過程，構(gòu)造優(yōu)化反演過程來求得各個樣本所對應(yīng)的參數(shù)值.Deng等[5]通過構(gòu)建代理模型，將距離函數(shù)作為標(biāo)準(zhǔn)來衡量參數(shù)的相關(guān)性，從而進(jìn)行隨機(jī)模型修正.萬華平等[6]提出了采用引入DRAM算法的MCMC方法進(jìn)行隨機(jī)模型修正.Zhai等[7]將改進(jìn)的響應(yīng)面模型與Monte-Carlo方法相結(jié)合進(jìn)行隨機(jī)模型修正.陳喆等[8]研究了考慮試驗(yàn)?zāi)B(tài)參數(shù)不確定性的有限元模型修正方法.Jalali等[9]利用Bayes識別方法對連接模型參數(shù)中的不確定性進(jìn)行識別.Zhao等[10]提出了歐氏距離和巴氏距離的平均距離不確定性度量標(biāo)準(zhǔn)，用來進(jìn)行不確定性模型修正.鄧振鴻等[11]提出了基于近似Bayes計(jì)算的近似似然函數(shù)，并將其作為目標(biāo)函數(shù)應(yīng)用于H型非對稱梁的有限元模型修正.由上述文獻(xiàn)可知，將模態(tài)參數(shù)或頻響函數(shù)作為響應(yīng)是目前隨機(jī)模型修正的常用方法，而多階模態(tài)的測量、頻響函數(shù)頻率點(diǎn)的選取會影響模型修正的效率.

在上述背景下，本文提出了一種基于Kriging模型和提升小波變換的隨機(jī)模型修正方法.首先，對加速度頻響函數(shù)(acceleration frequency response function, AFRF)進(jìn)行提升小波變換，提取近似系數(shù)表征原AFRF.其次，抽取訓(xùn)練樣本作為Kriging模型的輸入，對應(yīng)的近似系數(shù)作為輸出，構(gòu)建Kriging模型.對蝴蝶算法進(jìn)行改進(jìn)，將其應(yīng)用于Kriging模型相關(guān)參數(shù)的尋優(yōu)中.最后，利用Wasserstein距離來構(gòu)造一個優(yōu)化反問題，通過鯨魚優(yōu)化算法對待修正參數(shù)的均值進(jìn)行求解.通過二維桁架和三維桁架驗(yàn)證了所提方法的可行性.

1 Kriging模型的構(gòu)造

1.1 Kriging模型

Kriging模型是一個基于隨機(jī)過程的代理模型，對非線性函數(shù)具有較好的近似和誤差估計(jì)功能.模型包含線性回歸部分和非參數(shù)部分[12]：

式中， β=[β1β2···βp]T為 回歸模型系數(shù)；f(τ)=[f1(τ)f2(τ)···fp(τ)]T為回歸函數(shù)；z(τ)為服從正態(tài)分布N(0,σ2)的隨機(jī)分布，其協(xié)方差為

其中，E(τi,τj)是對角元素任意兩個觀察點(diǎn)之間的相關(guān)函數(shù).其表達(dá)式如下：

建立Kriging模型時(shí)需要訓(xùn)練模型參數(shù)，一般采用最大似然估計(jì).似然函數(shù)如下：

式中，|E|為相關(guān)矩陣的行列式；J為樣本點(diǎn)響應(yīng)組成的列向量；F為樣本點(diǎn)向量組成的矩陣.β和 σ2的最優(yōu)值可解析為

由式(5)可看出， σ2和 β均 為 θk的 函數(shù)，那么相關(guān)參數(shù) θk即為Kriging模型中的唯一未知數(shù)，決定著Kriging模型的精度.本文采用上述性能較優(yōu)的LBOA對相關(guān)參數(shù) θk進(jìn)行尋優(yōu)，保證構(gòu)建的Kriging模型具有較高的精度.

1.2 Lévy flight蝴蝶優(yōu)化算法

1.2.1 蝴蝶優(yōu)化算法

蝴蝶優(yōu)化算法(butterfly optimization algorithm，BOA)是Arora模擬蝴蝶覓食過程提出的自然啟發(fā)式算法[13].該算法中，假設(shè)每只蝴蝶散發(fā)一定強(qiáng)度的香味，區(qū)域內(nèi)的其他蝴蝶感知到香味并互相靠近.每只蝴蝶釋放出的香味Ffit計(jì)算公式如下：

式中，c為感覺因子；I為刺激強(qiáng)度，與蝴蝶的適應(yīng)度相關(guān)；α為冪指數(shù).

當(dāng)蝴蝶感覺到另一只蝴蝶g*在這個區(qū)域散發(fā)出更多的香味時(shí)，就會去靠近，這個階段被稱為全局搜索.當(dāng)蝴蝶不能感知大于它自己的香味時(shí)，它會隨機(jī)移動，這個階段稱為局部搜索.設(shè)定一個概率開關(guān)b來轉(zhuǎn)換全局搜索和局部搜索，公式為

式中，為第i只 蝴蝶在第t次 迭代中的空間位置；g*為 當(dāng)前最優(yōu)解；Ffiti為 第i只 蝴蝶的香味；和為空間中隨機(jī)選擇的第i只和第j只蝴蝶的位置；r和p為0到1的隨機(jī)數(shù).

1.2.2 引入Lévy flight的蝴蝶優(yōu)化算法

針對蝴蝶優(yōu)化算法存在容易陷入局部最優(yōu)、收斂速度慢的問題，將Lévy flight引入算法.

Lévy flight由法國數(shù)學(xué)家Paul Pierre Lévy提出，是一種隨機(jī)搜索策略.本文提出一種引入Lévy flight的蝴蝶優(yōu)化算法(butterfly optimization algorithm with Lévy flight, LBOA)，可以跳出局部最優(yōu)位置，增加找到全局最優(yōu)解的可能性.引入Lévy flight的搜索策略可用以下公式表示：

式中，L(ξ)表示由Lévy flight生成的隨機(jī)向量；δ 為 步長因子；⊕為點(diǎn)對點(diǎn)乘法.LBOA具體步驟如下：

1）種群初始化 定義目標(biāo)環(huán)境為N×D的一個空間，其中N代表種群的數(shù)量，D表示空間維度.將每個蝴蝶的位置定義為Xi=[xi1xi2xi3···xiD],i=1,2,···,N，最優(yōu)位置定義為Xbest=[x1x2x3···xD].各維度搜索的上下界分別表示為BU=[bu1bu2···buD]，BL=[bl1bl2···blD].通過以下公式獲取初始種群位置：

2）計(jì)算適應(yīng)度 定義感覺因子c，冪指數(shù)α.根據(jù)式(6)計(jì)算第i只蝴蝶的香味.

3）全局搜索 設(shè)定概率開關(guān)b，生成0到1間的隨機(jī)數(shù)p.若p＜b，根據(jù)式(10)進(jìn)行全局搜索，否則進(jìn)行第4）步局部搜索.

4）局部搜索 根據(jù)式(8)進(jìn)行局部搜索.

5）更新最優(yōu)位置 根據(jù)式(6)計(jì)算蝴蝶移動后的新適應(yīng)度值，更新全局最優(yōu)解位置Xbest.

1.2.3 數(shù)值試驗(yàn)與結(jié)果分析

選用6個典型基準(zhǔn)測試函數(shù)對LBOA進(jìn)行測試，分別為sphere(f1)、Schwefel 2.22(f2)、noisy quadric(f3)、Griewank(f4)、Rastrigin(f5)和Ackley(f6)函數(shù).所有測試函數(shù)均為最小化問題，理論最優(yōu)值fmin=0，維度為30.其中函數(shù)f3加入了噪聲.函數(shù)的搜索范圍見文獻(xiàn)[13].

算法性能的評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)有以下三個準(zhǔn)則：① 平均值，反映算法的尋優(yōu)能力和收斂精度；② 標(biāo)準(zhǔn)差，反映算法的穩(wěn)定性；③ 成功率，算法在達(dá)到給定迭代次數(shù)情況下，進(jìn)行多次獨(dú)立運(yùn)行后，求解成功的次數(shù)占總運(yùn)行次數(shù)的百分比.

測試算法初始參數(shù)統(tǒng)一設(shè)置為：種群大小N為30，最大迭代次數(shù)Tmax為 1 000，維度D為30，算法測試均獨(dú)立運(yùn)行30次.試驗(yàn)測試環(huán)境為：Intel(R) Core(M) i5-4260U處理器，4 GB內(nèi)存，MATLAB R2016b.表1為算法改進(jìn)前后的尋優(yōu)結(jié)果.

表1 BOA改進(jìn)算法尋優(yōu)結(jié)果Table 1 Optimization results of the improved BOA algorithm

觀察表1中6個測試函數(shù)的結(jié)果，LBOA的三個評價(jià)指標(biāo)均優(yōu)于BOA.其中，函數(shù)f3和f5的三個指標(biāo)均有改善，其他函數(shù)在均值和標(biāo)準(zhǔn)差指標(biāo)上均有明顯提升.可以看出LBOA在尋優(yōu)能力和穩(wěn)定性方面均有很大提高.同時(shí)，本文采用收斂曲線來反映算法在收斂速度方面的表現(xiàn).圖1為測試函數(shù)f6的收斂曲線，可以看出，LBOA具有更快的收斂速度.

圖1 f6收斂曲線Fig.1 Convergence curves off6

由于Kriging模型的相關(guān)參數(shù)決定了其精度，將LBOA應(yīng)用于Kriging模型的優(yōu)化中，可快速且準(zhǔn)確地尋找到最優(yōu)的相關(guān)參數(shù)，提高Kriging模型的精度，從而提高模型修正的效率和精度.

2 模型修正方法

2.1 提升小波變換

傳統(tǒng)的小波變換得到的數(shù)值為浮點(diǎn)數(shù)，對它們進(jìn)行壓縮時(shí)，需要通過量化才能得出對應(yīng)的整數(shù)，此過程會產(chǎn)生誤差[14].Sweldens提出了提升小波變換算法，該算法使用數(shù)乘運(yùn)算替代了傳統(tǒng)小波變換中的卷積運(yùn)算，包含分裂、預(yù)測和更新三個過程[15]，如圖2所示.

圖2 提升小波變換過程Fig.2 The process of the lifting wavelet transform

原始信號sj經(jīng)過提升小波變換后分解為高頻分量dj-1和 低頻分量sj-1；對低頻分量再進(jìn)行分裂、預(yù)測和更新，sj-1進(jìn) 一步分解成第二層高頻dj-2和 第二層低頻sj-2；經(jīng)過n層提升小波分解后，原始信號可表示為{sj-n,dj-n,···,dj-1}.

提升小波變換后的近似系數(shù)(低頻分量)保留了與原始信號相同的特征和全局特性.因此，對AFRF進(jìn)行提升小波變換后的近似系數(shù)中包含豐富的時(shí)域信息和精確的頻域局部化信息[14]，能夠以響應(yīng)特征量的形式替代AFRF進(jìn)行模型修正.由于對AFRF進(jìn)行變換屬于離散變換，且考慮到小波基的正交性、支撐長度和消失距對變換的影響，經(jīng)過多次對比試驗(yàn)，選取特性適中的db5小波基作為提升方案.在提升變換的過程中，若分解層數(shù)過少會使單層系數(shù)過多，導(dǎo)致計(jì)算量過高；反之分解層數(shù)過多會使近似系數(shù)保留的原始信息過少.兩者均會影響模型修正的效果.為平衡模型修正計(jì)算速度與修正精度，使用db5小波提升方案對AFRF做5層提升小波變換，提取第5層近似系數(shù)作為AFRF的特征量構(gòu)建Kriging模型，進(jìn)行模型修正.提取過程如圖3所示.

圖3 近似系數(shù)提取流程Fig.3 The flow chart of extracting approximate coefficients

2.2 Wasserstein距離

Wasserstein距離在生成對抗網(wǎng)絡(luò)、線性規(guī)劃和拓?fù)浞治龅确矫嬷鸩降玫綉?yīng)用，成為近年來的熱門[16].在統(tǒng)計(jì)學(xué)方面，Wasserstein距離可應(yīng)用于三個方面：① 由于其具有可以誘導(dǎo)拓?fù)淝乙子趦?yōu)化的優(yōu)點(diǎn)，通常用于漸近理論研究；② 用于結(jié)構(gòu)模型參數(shù)的統(tǒng)計(jì)推斷和擬合優(yōu)度檢驗(yàn)；③ Wasserstein距離的概率空間可以代替樣本或參數(shù)空間進(jìn)行數(shù)據(jù)分析.

擬合優(yōu)度檢驗(yàn)可以對系統(tǒng)數(shù)據(jù)建模的擬合狀態(tài)進(jìn)行相似性評估[17].本文利用Wasserstein距離進(jìn)行擬合優(yōu)度檢驗(yàn)，對兩個概率分布之間的相似程度進(jìn)行度量.Wasserstein距離的形式為

式中， Π (P,Q)為 兩個概率分布P和Q組合起來的所有可能的聯(lián)合分布的集合，記作γ ；E(x,y)～γ[‖x-y‖]為關(guān)于‖x-y‖的 期望，可寫作∫ ‖x-y‖dγ(x,y)；inf代表最大下界.

對于每一個可能的聯(lián)合分布γ ，可以從 (x,y)～γ 中 抽取一對樣本x和y，并計(jì)算出這對樣本的距離‖x-y‖，因此可以計(jì)算在該聯(lián)合分布 γ下，樣本對距離的期望值.在所有可能的聯(lián)合分布中，這個期望的下界即為Wasserstein距離[18].

2.3 修正流程

對待修正參數(shù)的真實(shí)數(shù)值進(jìn)行偏移，模擬由不確定因素導(dǎo)致的模型偏差.抽取一定量待修正參數(shù)樣本作為Kriging模型的輸入，計(jì)算其對應(yīng)的AFRF并做提升小波變換，選取第5層近似系數(shù)作為Kriging模型的響應(yīng)輸出，使用LBOA優(yōu)化Kriging模型的相關(guān)參數(shù)，構(gòu)造并檢驗(yàn)代理模型精度.Kriging模型構(gòu)造完成后，即可代替有限元模型進(jìn)行響應(yīng)計(jì)算.

抽取200組真實(shí)分布下的樣本，分別計(jì)算AFRF并進(jìn)行算術(shù)平均，模擬實(shí)測數(shù)據(jù).對平均后的AFRF進(jìn)行相同的提升小波變換，選取第5層近似系數(shù)作為實(shí)測響應(yīng).以模擬實(shí)測的AFRF提升小波變換得到的近似系數(shù)與Kriging模型預(yù)測的近似系數(shù)之間的Wasserstein距離最小作為目標(biāo)函數(shù)，使用鯨魚優(yōu)化算法迭代求解即可得到修正后參數(shù).

鯨魚優(yōu)化算法是一種新型群體智能優(yōu)化算法，模擬了螺旋氣泡網(wǎng)進(jìn)食策略達(dá)到優(yōu)化的目的，具有良好的全局和局部搜索機(jī)制、收斂速度快和穩(wěn)定性好等優(yōu)點(diǎn)[19].本文使用鯨魚優(yōu)化算法求解待修正參數(shù)均值，模型修正流程圖如圖4所示.

圖4 模型修正流程圖Fig.4 The flowchart of model updating

3 數(shù)值算例

3.1 二維桁架

二維桁架結(jié)構(gòu)如圖5所示，該桁架模型由36個桿單元組成，共有16個節(jié)點(diǎn)和29個自由度.桿件的彈性模量E=190GPa ，密度 ρ =7800kg/m3，單元橫截面積為1 cm2.激勵位置和測點(diǎn)位置分別取在節(jié)點(diǎn)5、13的Y方向自由度.結(jié)構(gòu)在服役時(shí)剛度會降低，由于彈性模量和截面尺寸決定了剛度值，而截面尺寸一般保持不變，本算例選取靈敏度較高的桿件，對其彈性模量進(jìn)行偏移作為初始有限元模型的均值.首先，對桿件的彈性模量擾動2%進(jìn)行靈敏度測試，得到參數(shù)對結(jié)構(gòu)AFRF的靈敏度如圖6所示.

圖5 二維桁架結(jié)構(gòu)Fig.5 The 2D truss structure

圖6 參數(shù)對結(jié)構(gòu)AFRF的靈敏度Fig.6 Sensitivity of structure AFRF to parameters

選取靈敏度較高的四個桿件的彈性模量E?，E?，E?，E?作為待修正參數(shù)，將E?和E?的有限元均值降低10%、E?和E?的有限元均值增加10%作為初始值.

其次，采用拉丁超立方抽樣抽取200組樣本，選取前150組作為訓(xùn)練集，后50組作為測試集，計(jì)算AFRF并做提升小波變換，選取第5層近似系數(shù)構(gòu)建Kriging模型.為提高Kriging模型的精度，使用LBOA優(yōu)化Kriging模型的相關(guān)參數(shù).表2為LBOA與BOA尋優(yōu)結(jié)果對比，可以看出，兩種算法消耗的時(shí)間幾乎一樣，而LBOA的尋優(yōu)結(jié)果更加接近最優(yōu)值，表明LBOA具有更強(qiáng)的尋優(yōu)能力.本文選取組數(shù)為奇數(shù)的測試樣本來檢驗(yàn)Kriging模型對第10個近似系數(shù)的預(yù)測效果，如圖7所示.

表2 尋優(yōu)結(jié)果對比Table 2 Comparison of optimization results

圖7 Kriging模型精度評估Fig.7 Accuracy evaluation of the Kriging model

可以看出，構(gòu)造的Kriging模型預(yù)測值和真實(shí)值幾乎重合，RMSE值均低于3×10-9，說明構(gòu)造的Kriging模型的預(yù)測精度很高，可以代替有限元模型進(jìn)行模型修正.

最后，在服從以試驗(yàn)?zāi)Ｐ蛥?shù)為均值的Gauss分布中隨機(jī)抽取200個樣本，計(jì)算AFRF并進(jìn)行算術(shù)平均.對平均后的AFRF進(jìn)行相同的提升小波變換，提取第5層近似系數(shù)作為仿真試驗(yàn)響應(yīng)，以最小化Wasserstein距離作為目標(biāo)函數(shù)，通過鯨魚優(yōu)化算法迭代求解待修正參數(shù)的均值.修正后的均值及誤差如表3所示.

表3 桁架結(jié)構(gòu)修正前后參數(shù)均值及誤差Table 3 Parameter mean values and errors of the truss structure before and after updating

可以看出，四個參數(shù)修正后的均值的相對誤差較小，均低于0.07%，達(dá)到了較高的修正精度.AFRF修正前后曲線的比較如圖8所示，可以看出模型修正后的頻響函數(shù)與模擬實(shí)測的頻響函數(shù)的重合度較高，驗(yàn)證了本文方法的有效性.

圖8 修正前后加速度頻響函數(shù)曲線Fig.8 AFRF curves before and after updating

為進(jìn)一步檢驗(yàn)所提方法的修正效果和效率，分別使用AFRF和變換后的近似系數(shù)作為響應(yīng)特征量進(jìn)行模型修正，比較其在Kriging模型的構(gòu)建和修正效果方面的優(yōu)劣.由表4可以看出，將AFRF進(jìn)行提升小波變換取近似系數(shù)作為響應(yīng)指標(biāo)進(jìn)行模型修正，不僅提高了各個參數(shù)的修正精度，且縮短了Kriging模型構(gòu)建消耗的時(shí)間，進(jìn)而提高了模型修正效率.

表4 不同響應(yīng)指標(biāo)下的結(jié)果對比Table 4 Comparison of results under different response indicators

3.2 三維桁架

3.2.1 試驗(yàn)設(shè)計(jì)

三維桁架結(jié)構(gòu)包括66個單元、28個節(jié)點(diǎn)和48個自由度，總長2.80 m、寬0.39 m、高0.27 m.桁架由4個支座固定約束（節(jié)點(diǎn)編號為1、8、9、16），所有節(jié)點(diǎn)均為鉸接連接.結(jié)構(gòu)的激勵位置和響應(yīng)位置如圖9所示.

圖9 三維桁架結(jié)構(gòu)Fig.9 The 3D truss structure

選擇結(jié)構(gòu)的材料參數(shù)密度(ρ)、彈性模量(E)和尺寸參數(shù)上弦桿橫截面積(A)共三個參數(shù)的均值作為待修正參數(shù).試驗(yàn)有限元模型的ρ，E和A的均值分別為7 800 kg/m3、190 GPa和85.5 mm2，分別將 ρ減少10%，E增加10%，A增加10%，得到初始有限元模型的參數(shù)均值分別為7 020 kg/m3、209 GPa和95 mm2.

3.2.2 提升小波變換及系數(shù)選取

采用拉丁超立方抽樣選取初始樣本點(diǎn)，計(jì)算有限元模型AFRF，對AFRF進(jìn)行提升小波變換，選取第5層近似系數(shù).由于提升小波變換得到的近似系數(shù)既可以剔除噪聲的干擾，又可提高計(jì)算速度，且保留了原始信號中的大量信息，因此可以簡化并代替由大量頻率點(diǎn)組成的頻響函數(shù).圖10為提升小波變換得到的第1、3、5層近似系數(shù).

圖10 第1、3、5層近似系數(shù)Fig.10 Approximate coefficients for the 1st, 3rd and 5th levels

3.2.3 Kriging模型的構(gòu)建及評估

在初始有限元值的±20%區(qū)間內(nèi)，用拉丁超立方抽樣得到的200個樣本構(gòu)造Kriging模型，其中前150個樣本作為訓(xùn)練集輸入Kriging模型，對應(yīng)AFRF變換后得到的近似系數(shù)作為Kriging模型的輸出，構(gòu)建初始的代理模型；后50個樣本作為測試集，以測試集Kriging模型的均方誤差(MSE)的均值最小作為LBOA的目標(biāo)函數(shù)，尋找相關(guān)參數(shù)θk的最優(yōu)值.算法參數(shù)設(shè)置：種群數(shù)量N為30，維度D為1，最大迭代次數(shù)Tmax為100，參數(shù)上下界BU和BL分別為0.001和100，感覺因子c為0.3，冪指數(shù)α 為0.01.尋優(yōu)得到的最優(yōu)相關(guān)參數(shù)θk為0.780 6.為進(jìn)一步驗(yàn)證LBOA的優(yōu)越性，將LBOA與BOA進(jìn)行對比(圖11).由迭代曲線可以看出，使用LBOA時(shí)，尋優(yōu)曲線更加平滑，且在10次迭代內(nèi)收斂，具有較好的尋優(yōu)速度.

圖11 Kriging模型參數(shù)尋優(yōu)曲線Fig.11 Optimization curves of the Kriging model parameter

尋找到最優(yōu)的 θk后即可更新Kriging模型.本文采用兩種方式來評估Kriging模型的精度：測試集均方根誤差（RMSE）和系數(shù)真實(shí)值與Kriging模型預(yù)測值的擬合曲線.選取組數(shù)為奇數(shù)的測試樣本來檢驗(yàn)Kriging模型對第2個近似系數(shù)的預(yù)測效果，如圖12所示.

圖12 Kriging模型精度評估Fig.12 Accuracy evaluation of the Kriging model

可以看出，構(gòu)造的Kriging模型預(yù)測值和真實(shí)值幾乎重合，RMSE值均低于1 ×10-3，說明構(gòu)造的Kriging模型的預(yù)測精度較高，可以代替有限元模型進(jìn)行模型修正.

3.2.4 模型修正

在服從以試驗(yàn)?zāi)Ｐ蛥?shù)為均值的Gauss分布中隨機(jī)抽取200個樣本，計(jì)算AFRF并進(jìn)行算術(shù)平均.對平均后的AFRF進(jìn)行相同的提升小波變換，提取第5層近似系數(shù)作為仿真試驗(yàn)響應(yīng)，以最小化Wasserstein距離作為目標(biāo)函數(shù)，通過鯨魚優(yōu)化算法迭代求解待修正參數(shù)的均值.修正后的均值及誤差如表5所示.

表5 桁架結(jié)構(gòu)修正前后結(jié)構(gòu)參數(shù)均值及誤差Table 5 Parameter mean values and errors of the truss structure before and after updating

可以看出，三個參數(shù)的均值修正后的相對誤差很小，均低于0.4%，表明使用本文所提方法進(jìn)行隨機(jī)模型修正的效果較好.將修正后的參數(shù)均值輸入模型并計(jì)算AFRF，與初始模型和試驗(yàn)?zāi)Ｐ偷腁FRF作比較.圖13為AFRF的實(shí)部與虛部曲線，可以看出修正后模型的曲線與試驗(yàn)?zāi)Ｐ偷那€基本重合，驗(yàn)證了所提方法的有效性.

圖13 修正前后加速度頻響函數(shù)曲線：(a)實(shí)部曲線；(b)虛部曲線Fig.13 AFRF curves before and after updating: (a) real part curves; (b) imaginary part curves

4 結(jié) 論

1）本文將提升小波變換引入模型修正中，對加速度頻響函數(shù)進(jìn)行提升小波變換來選取近似系數(shù)，可以保留原始信號的特征和全局特性，將大量的結(jié)構(gòu)信息集中至少量的系數(shù)中，避開了頻響函數(shù)的頻率點(diǎn)選擇困難的問題，提高了修正效率.

2）為避免BOA陷入局部最優(yōu)，本文將Lévy flight策略引入BOA，提高蝴蝶全局位置更新的能力.結(jié)果證明，相比于原算法，LBOA具有更好的收斂精度和尋優(yōu)穩(wěn)定性，且擁有更快的尋優(yōu)速度.并將其應(yīng)用于Kriging模型的相關(guān)參數(shù)尋優(yōu)，提高了Kriging模型的精度，從而代替有限元模型進(jìn)行模型修正，提高了修正效率.

3）本文利用Wasserstein距離進(jìn)行擬合優(yōu)度檢驗(yàn)，衡量實(shí)測響應(yīng)的近似系數(shù)與Kriging模型預(yù)測的近似系數(shù)的相似度，并結(jié)合尋優(yōu)算法尋找均值，提高了隨機(jī)模型修正的效率.

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