冉春蓮

【摘要】數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的落地離不開(kāi)教學(xué)實(shí)踐.解析幾何是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)的重要載體，而雙曲線在其中具有承上啟下的作用：作為雙焦點(diǎn)圓錐曲線，在學(xué)習(xí)中可將它與橢圓進(jìn)行類比;而圓和橢圓都是封閉二次曲線，雙曲線作為開(kāi)口的二次曲線，與拋物線也有一定相似之處.雙曲線的重要性由此可見(jiàn)一斑.而2021年課改地區(qū)高考試卷的數(shù)學(xué)試題第21題在某種程度上也體現(xiàn)了這一點(diǎn).因此，立足解析幾何學(xué)習(xí)，在核心素養(yǎng)視角下進(jìn)行雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程教學(xué)設(shè)計(jì)可以說(shuō)非常有必要，而結(jié)合教學(xué)實(shí)踐對(duì)教學(xué)效果進(jìn)行反思，真正讓學(xué)生在核心素養(yǎng)上有所收獲則更加關(guān)鍵.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)抽象;數(shù)學(xué)運(yùn)算;數(shù)學(xué)建模;邏輯推理;類比推理

根據(jù)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是一個(gè)比較大的詞，涵蓋的方面很多，而且學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培育也絕非朝夕之功.但從另一個(gè)角度來(lái)說(shuō)，九尺高臺(tái)起于壘土，學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升來(lái)自學(xué)生在整個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程中的日積月累，這離不開(kāi)每一節(jié)課中教師的精心設(shè)計(jì)和潤(rùn)物于無(wú)聲的滲透.下面以筆者在開(kāi)設(shè)公開(kāi)課“雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程”（教材版本為人教A版選擇性必修第一冊(cè)）的磨課過(guò)程中的兩節(jié)課（課例1為磨課，課例2為公開(kāi)課，下面案例分析的部分均按此表達(dá)），談一點(diǎn)筆者的做法和不成熟的想法，以就正于方家.

教學(xué)案例分析

一、定義生成

[教學(xué)設(shè)計(jì)]課例1 這一環(huán)節(jié)分為兩個(gè)部分：復(fù)習(xí)回顧和定義生成.

復(fù)習(xí)回顧：復(fù)習(xí)橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程，已知F1，F(xiàn)2為平面內(nèi)兩個(gè)定點(diǎn)，則平面內(nèi)滿足|PF1|+|PF2|=2a（2a>|F1F2|）的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為橢圓，強(qiáng)調(diào)定義中2a>|F1F2|這一條件;橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2+y2b2=1（焦點(diǎn)為（±c，0））或y2a2+x2b2=1（焦點(diǎn)為（0，±c）），其中a，b，c之間的關(guān)系滿足方程a2=b2+c2.

[設(shè)計(jì)意圖]由橢圓到雙曲線，筆者試圖在降低思維難度的同時(shí)，使學(xué)生經(jīng)歷通過(guò)類比發(fā)現(xiàn)并提出新問(wèn)題、學(xué)習(xí)新的數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程，積累數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)類比推理的數(shù)學(xué)思想和相應(yīng)能力.

[課堂效果及反思改進(jìn)]課堂反饋：很多學(xué)生對(duì)用PPT展示、教師板書(shū)的復(fù)習(xí)橢圓的環(huán)節(jié)感到無(wú)趣.首先是沒(méi)有實(shí)際背景的復(fù)習(xí)，很容易陷入字母和數(shù)學(xué)符號(hào)的抽象怪圈，令學(xué)生心生抵觸，再加上學(xué)生的預(yù)期是一節(jié)新課，心理落差之下，大多數(shù)學(xué)生雖然基本都會(huì)（后續(xù)教學(xué)中體現(xiàn)出來(lái)的），但對(duì)回答問(wèn)題的興趣不高.

根據(jù)學(xué)生的課堂反饋，筆者認(rèn)識(shí)到，這種復(fù)習(xí)屬于無(wú)效復(fù)習(xí)，在教學(xué)中需要慎重應(yīng)用.為了讓學(xué)生保持思維的活躍和知識(shí)聯(lián)結(jié)的方便，在講解雙曲線定義討論參數(shù)a的環(huán)節(jié)，教師調(diào)整了節(jié)奏，并改變提問(wèn)的方式，讓學(xué)生之間互問(wèn)互答，以學(xué)優(yōu)生帶動(dòng)學(xué)困生，在本環(huán)節(jié)有效達(dá)成了讓不同學(xué)生都有收獲的小目標(biāo).

定義生成：接下來(lái)筆者利用圖釘將拉鏈固定在硬紙板上，讓同桌之間合作進(jìn)行拉鏈實(shí)驗(yàn)，畫(huà)出雙曲線，并總結(jié)雙曲線的定義，引導(dǎo)學(xué)生注意雙曲線定義的條件、絕對(duì)值，注意對(duì)0<2a<|F1F2|，2a=|F1F2|，2a>|F1F2|及2a=0等情況的討論.

①在條件0<2a<|F1F2|下：

|PF1|-|PF2|=2a時(shí)為雙曲線的一支（更靠近F2的一支）;

|PF1|-|PF2|=-2a時(shí)為雙曲線的另一支（更靠近F1的一支）.此時(shí)，結(jié)合橢圓定義，確定兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2叫作雙曲線的焦點(diǎn)，|F1F2|叫作焦距.

②當(dāng)2a=|F1F2|時(shí)，||PF1|-|PF2||=2a表示兩條射線;

③當(dāng)2a>|F1F2|時(shí)，||PF1|-|PF2||=2a不表示任何圖形;

④當(dāng)2a=0時(shí)，||PF1|-|PF2||=2a表示線段F1F2的垂直平分線.

[設(shè)計(jì)意圖]由于雙曲線有兩支，同桌操作時(shí)則兩人都有動(dòng)手的機(jī)會(huì)，也都有觀察的機(jī)會(huì).由拉鏈實(shí)驗(yàn)到雙曲線定義，有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模思想、數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，對(duì)參數(shù)a的細(xì)致討論，能使學(xué)生思維嚴(yán)密，提升學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng).

[課堂效果及反思改進(jìn)]按照預(yù)計(jì)，學(xué)生在復(fù)習(xí)了橢圓相關(guān)知識(shí)的基礎(chǔ)上，能比較順利地動(dòng)手畫(huà)出雙曲線，并確定其定義，但事實(shí)并不如此.

問(wèn)題主要在于作圖的過(guò)程極其不順利.大多數(shù)學(xué)生想當(dāng)然地認(rèn)為拉鏈實(shí)驗(yàn)會(huì)和畫(huà)橢圓一樣很容易進(jìn)行.對(duì)做了充分準(zhǔn)備的教師而言，硬紙板加上圖釘固定焦點(diǎn)兩端非常容易，馬克筆的粗細(xì)也足以掩蓋誤差.于部分學(xué)生而言，薄薄的白紙上固定拉鏈兩端有困難，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中很容易移位;隨著拉鏈的滑動(dòng)，筆尖的運(yùn)動(dòng)也不是很容易控制，因?yàn)橐话憷満苌倌茉诰o繃的狀態(tài)下進(jìn)行拉開(kāi)或是閉合;兩點(diǎn)固定的太遠(yuǎn)且拉鏈不夠長(zhǎng)，畫(huà)出的圖形弧度不足……也有部分小組提前嘗試時(shí)發(fā)現(xiàn)了這個(gè)問(wèn)題，決定用將繩子打活結(jié)作圖，但受限于摩擦力太大等問(wèn)題仍不成功.

不問(wèn)而知，師生雙方都對(duì)這個(gè)環(huán)節(jié)印象深刻.教師在課后反思本環(huán)節(jié)要不要取消，因?yàn)樵摥h(huán)節(jié)似乎對(duì)學(xué)生理解并抽象出雙曲線的定義幫助不大，同時(shí)耗費(fèi)的時(shí)間很多，并且有作秀的嫌疑.

而后續(xù)定義生成的過(guò)程不涉及數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，只能說(shuō)是對(duì)照橢圓而進(jìn)行的類比，并沒(méi)有很深層次的思維過(guò)程.

課例2 這一環(huán)節(jié)分為兩個(gè)部分：實(shí)例引入和定義生成.

[實(shí)例引入]你知道什么是勞蘭海圖嗎？岸上兩發(fā)射臺(tái)A，B同時(shí)發(fā)射時(shí)間很短促的脈沖波，船上則有一臺(tái)定位儀接收信號(hào).當(dāng)船與兩發(fā)射臺(tái)距離相等時(shí)，則兩發(fā)射臺(tái)的脈沖波會(huì)同時(shí)到達(dá);如果船與兩發(fā)射臺(tái)的距離不相等，則脈沖波到達(dá)船上所需要的時(shí)間就不一樣，就會(huì)出現(xiàn)一個(gè)時(shí)差，這時(shí)，就可以在專門(mén)的雙曲線海圖（又叫勞蘭海圖）上畫(huà)出船位線確定船的位置.

問(wèn)題1：勞蘭海圖為什么又叫雙曲線海圖？

問(wèn)題2：將A，B，C視為三個(gè)點(diǎn)的話，它們滿足什么樣的關(guān)系？

[設(shè)計(jì)意圖]吸取課例1的教訓(xùn)，結(jié)合教材例2的背景，選取了雙曲線定位系統(tǒng)的一個(gè)案例進(jìn)行引入，再通過(guò)兩個(gè)問(wèn)題培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，同時(shí)，開(kāi)門(mén)見(jiàn)山的引入有助于學(xué)生更好地進(jìn)入新課.

[課堂效果及反思改進(jìn)]學(xué)生很好地進(jìn)入了學(xué)習(xí)狀態(tài)，部分學(xué)生描述A，B，C三點(diǎn)間關(guān)系時(shí)選用的物理量是時(shí)間，經(jīng)過(guò)討論后統(tǒng)一為距離.這給了教師一個(gè)啟發(fā)：此處教師沒(méi)有必要設(shè)置問(wèn)題，完全可以問(wèn)學(xué)生對(duì)這段材料有什么疑問(wèn)，這樣能更好地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀能力，讓學(xué)生主動(dòng)提出問(wèn)題并進(jìn)行探索，從知識(shí)的接受者變成知識(shí)的發(fā)現(xiàn)者，從被老師考變成考官考查和提問(wèn)老師與其他同學(xué)，這無(wú)論在心理上還是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上都更有利于學(xué)生的發(fā)展.

定義生成：教師采用多媒體演示拉鏈實(shí)驗(yàn)的過(guò)程，考慮到學(xué)生水平差異，這里仍然采取小組合作的方式.與課例1相同的環(huán)節(jié)不再贅述.

[設(shè)計(jì)意圖]引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合引例和橢圓的定義抽象出雙曲線的定義.

[課堂效果及反思改進(jìn)]課堂上這一環(huán)節(jié)進(jìn)行得很順利.雖然沒(méi)有復(fù)習(xí)橢圓，但是在相關(guān)環(huán)節(jié)教師采用簡(jiǎn)明扼要提問(wèn)、學(xué)生口頭回答的方式，使學(xué)生理解起來(lái)并不困難，教學(xué)效果較好.

但課后部分學(xué)生提出了自己在課堂上這一時(shí)刻的困惑：引例中船的位置應(yīng)該是固定的，但這里變成了動(dòng)點(diǎn)，一時(shí)之間難以理解.教師意識(shí)到這部分學(xué)生欠缺的剛好是數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)：從具體的情境問(wèn)題中抽象出一般規(guī)律，并用數(shù)學(xué)語(yǔ)言予以表征.經(jīng)此一問(wèn)，教師意識(shí)到，引例中應(yīng)該有這樣一個(gè)問(wèn)題：兩發(fā)射臺(tái)A，B固定時(shí)，船C可能會(huì)在什么位置？C的所有可能的位置構(gòu)成什么圖形？這樣能更好地銜接引例和定義.

二、方程推導(dǎo)（課例1，2過(guò)程大致相同）

[教學(xué)設(shè)計(jì)]設(shè)|F1F2|=2c，讓學(xué)生自由建立坐標(biāo)系，化簡(jiǎn)并求出方程.F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0），∴P={P||PF1|-|PF2}={±2a}，代入兩點(diǎn)間距離公式即可得到方程：

（x+c）2+y2-（x-c）2+y2=±2a，化簡(jiǎn)，得x2a2-y2b2=1，此即為焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.同理可得焦點(diǎn)在y軸上，即焦點(diǎn)是F1（0，-c），F(xiàn)2（0，c）的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2a2-x2b2=1，方程中均有c2=a2+b2.

[設(shè)計(jì)意圖]學(xué)生類比橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過(guò)程來(lái)完成雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)，通過(guò)運(yùn)算的相似性降低運(yùn)算難度，提高成功率，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

[課堂效果及反思改進(jìn)]在課例1中，由于前一環(huán)節(jié)占用的時(shí)間較長(zhǎng)，教師在本環(huán)節(jié)進(jìn)行了調(diào)整，將原本的個(gè)人完全獨(dú)立推導(dǎo)轉(zhuǎn)化為個(gè)人獨(dú)立建系設(shè)點(diǎn)列方程組，小組內(nèi)先完成的同學(xué)幫助其他同學(xué)檢查、協(xié)助學(xué)困生進(jìn)行推導(dǎo)，由學(xué)生之間互相幫助、檢查來(lái)攻克學(xué)生在運(yùn)算上的弱點(diǎn)，同時(shí)讓學(xué)生體會(huì)到解析幾何中運(yùn)算的魅力——由復(fù)雜到簡(jiǎn)單的過(guò)程，結(jié)果具有對(duì)稱美.實(shí)踐證明這個(gè)改動(dòng)非常好，最大限度地減少了學(xué)困生迷茫和彷徨的時(shí)間——教師不可能對(duì)所有學(xué)困生進(jìn)行單獨(dú)指導(dǎo)，而集中講解針對(duì)性又不強(qiáng)——解放了教師的同時(shí)，讓一部分原本在數(shù)學(xué)運(yùn)算上只能說(shuō)水平一般的學(xué)生通過(guò)指導(dǎo)他人運(yùn)算在數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)上有了提升，同時(shí)增強(qiáng)了他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心.

教師意料之中的難點(diǎn)是：學(xué)生對(duì)于絕對(duì)值的處理.班級(jí)學(xué)生的計(jì)算大體分為三種：第一類學(xué)生左右直接平方，這在一定程度上增加了運(yùn)算難度，但由于選擇這種做法的幾個(gè)學(xué)生都是數(shù)學(xué)素養(yǎng)較高的，只是為了回避可能復(fù)雜的分類討論，而且他們對(duì)左右兩側(cè)代數(shù)式的結(jié)構(gòu)把握比較到位，反而完成得比較順利;第二類學(xué)生沒(méi)有分類討論，含糊略過(guò)，這一類大多是基礎(chǔ)較差的學(xué)生，他們的主要目光集中在多項(xiàng)式的運(yùn)算化簡(jiǎn)上，對(duì)運(yùn)算的等價(jià)性關(guān)注不夠;第三類學(xué)生是大多數(shù)，他們仿照橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的化簡(jiǎn)過(guò)程，先去掉絕對(duì)值符號(hào)，將一個(gè)根式移項(xiàng)到等號(hào)另一側(cè)，然后進(jìn)行分類討論，但是有超過(guò)一半的學(xué)生在第二次左右同時(shí)平方時(shí)沒(méi)能顧及等價(jià)性確定x的取值范圍——因?yàn)闄E圓中沒(méi)有這一環(huán)節(jié)——反而是在應(yīng)用題中才認(rèn)識(shí)到這一問(wèn)題的重要性.兩個(gè)課例中均是如此.

教師意料之外的問(wèn)題：學(xué)生對(duì)于引入新變量很猶豫，即要不要令c2-a2=b2.學(xué)生認(rèn)為，為了更好地和橢圓區(qū)分，應(yīng)該引入新的變量，由此引發(fā)了新一輪的討論：橢圓和雙曲線是否應(yīng)該用同一組字母a，b，c？事實(shí)上，這也是學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)過(guò)程中的易錯(cuò)點(diǎn)之一.對(duì)于該過(guò)程，學(xué)生進(jìn)行了討論，最后學(xué)習(xí)程度較高、預(yù)習(xí)較充分的學(xué)生說(shuō)服了其他學(xué)生：同為雙焦點(diǎn)曲線，用同一組字母a，b，c更有助于學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中進(jìn)行方法上的類比與區(qū)分.但對(duì)此結(jié)果仍有不少學(xué)生心存疑慮.教師適時(shí)拋出問(wèn)題：在后續(xù)學(xué)習(xí)中請(qǐng)大家關(guān)注，橢圓和雙曲線是否有共同的性質(zhì)，是否可以使用同一組字母a，b，c來(lái)表示呢？事實(shí)上是有的，比如通徑和第三定義表達(dá)式等，橢圓和雙曲線可以在各自不同的定義下用同樣的式子來(lái)表示，這對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)很有意義.通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生從橢圓和雙曲線兩類曲線中抽象出一般性表達(dá)，培養(yǎng)學(xué)生思考問(wèn)題一般性的習(xí)慣，抓住數(shù)學(xué)本質(zhì)，以簡(jiǎn)馭繁.

但此處筆者仍有一個(gè)教學(xué)上的疑惑：有學(xué)生提出，可以在此處先設(shè)一個(gè)字母d，后面學(xué)習(xí)幾何性質(zhì)之后再將d替換為b，這樣邏輯上會(huì)更加自然，學(xué)生還提出這個(gè)做法類似于證明三線共點(diǎn)問(wèn)題中先尋找兩兩之間的交點(diǎn)、再證明交點(diǎn)重合的想法.筆者接納學(xué)生，準(zhǔn)備在下一屆教學(xué)中進(jìn)行實(shí)踐.但無(wú)論如何，學(xué)生的獨(dú)立思維能力在此處得到了鍛煉.

三、鞏固練習(xí)（此處課例1，2過(guò)程大致相同）

[教學(xué)設(shè)計(jì)]

例1 已知兩定點(diǎn)為F1（-5，0），F(xiàn)2（5，0），曲線C上一點(diǎn)P到F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對(duì)值等于6，求曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

練習(xí)1 判斷下列方程是否表示雙曲線，若是，求出其焦點(diǎn)的坐標(biāo).

（1）x24-y22=-1;（2）4y2-9x2=36.

[設(shè)計(jì)意圖]學(xué)生通過(guò)例1和練習(xí)1，從正、反兩個(gè)方面認(rèn)識(shí)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，從而加深理解.

[課堂效果及反思改進(jìn)]課例1考慮時(shí)間因素，由學(xué)優(yōu)生作答，確實(shí)非常流暢，但這類題作為基礎(chǔ)過(guò)關(guān)題，是檢驗(yàn)班級(jí)解析幾何學(xué)習(xí)較弱者的試金石，是學(xué)生課堂學(xué)習(xí)效果落地程度的標(biāo)尺，教師必須保證全班學(xué)生都要過(guò)關(guān)，因此，筆者在課例2中調(diào)整為讓學(xué)困生作答.

四、實(shí)際應(yīng)用

課例1：例2 一炮彈在某處爆炸，在 A處聽(tīng)到爆炸聲的時(shí)間比在 B處晚2 s.

（1）爆炸點(diǎn)應(yīng)在什么樣的曲線上？

（2）已知 A， B兩地相距800 m，并且聲速為340 m/s，求曲線的方程.

[設(shè)計(jì)意圖] 本例即教材的例2，通過(guò)雙曲線在解決實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

[課堂效果及反思改進(jìn)]這個(gè)例題在不同時(shí)間和空間的各個(gè)版本的高中數(shù)學(xué)教材中都出現(xiàn)過(guò)，教師事先預(yù)想不會(huì)有問(wèn)題，但在比較活躍的課堂氣氛中，學(xué)生提出了很多問(wèn)題，有一些是無(wú)關(guān)緊要的，比如“人們?cè)趺粗朗桥趶棻ǘ皇瞧渌曇簟保灿幸恍┦侵档锰骄康?，比如“如何最終確定爆炸點(diǎn)的位置”，這一問(wèn)題，教師交給學(xué)生課后查閱資料或者自己設(shè)計(jì)方案來(lái)解決.又比如“A，B兩地相距恰好800 m？即使這兩個(gè)是觀測(cè)站，建立之初就規(guī)劃好距離為800 m，兩地聽(tīng)到爆炸聲的時(shí)間差會(huì)剛好是2 s嗎？如此短的時(shí)間差是如何確定其精確度的”，這充分體現(xiàn)了學(xué)生嚴(yán)肅認(rèn)真的科學(xué)研究態(tài)度，教師應(yīng)當(dāng)予以重視.針對(duì)學(xué)生提出的問(wèn)題，事實(shí)上也是絕大部分?jǐn)?shù)學(xué)模型應(yīng)用于實(shí)際時(shí)的常見(jiàn)問(wèn)題：數(shù)據(jù)并不一定非常適合學(xué)生筆算，教師應(yīng)該提出并指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用相應(yīng)的信息技術(shù)手段來(lái)解決，使學(xué)生能運(yùn)用數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理建立一般化的數(shù)學(xué)模型，并將模型應(yīng)用于具體問(wèn)題，從而得到比較可靠的結(jié)果，并用來(lái)解釋或解決實(shí)際問(wèn)題.

課例2：例2 在本題的引例中，A，B兩處發(fā)射的電磁波在空氣中傳播的速度為每一微秒300 m，船上的定位儀C接收到 A信號(hào)比B處信號(hào)晚2 μs.

（1）定位儀C所在的海船應(yīng)在什么樣的曲線上？

（2）已知 A，B兩地相距800 m，求（1）中曲線的方程.

[設(shè)計(jì)意圖]仿照教材的例2設(shè)置例題，一方面，說(shuō)明船位線的由來(lái)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，另一方面，是對(duì)本節(jié)課前面內(nèi)容的進(jìn)一步學(xué)習(xí)，形成了前后呼應(yīng).

[課堂效果及反思改進(jìn)]對(duì)于這個(gè)例題，學(xué)生仍然提出了問(wèn)題，比如“船的體積較大，能否視為質(zhì)點(diǎn)C”，由班級(jí)學(xué)生結(jié)合物理相關(guān)知識(shí)進(jìn)行討論，確定可以，這種有理有據(jù)的討論有利于學(xué)科融合和學(xué)生建模素養(yǎng)的提升，課后可以更進(jìn)一步完善問(wèn)題.

五、結(jié) 語(yǔ)

曾經(jīng)筆者一直以為教學(xué)的高效在于為學(xué)生鋪平大路，引導(dǎo)他們最快地跑向終點(diǎn)，但遺憾的是，很多時(shí)候重來(lái)一次，學(xué)生甚至找不到起點(diǎn).

相信學(xué)生自己能找到合適的路徑，相信學(xué)生能在群體學(xué)習(xí)中汲取營(yíng)養(yǎng)，是筆者進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)的主要指導(dǎo)思想.“要相信學(xué)生”，對(duì)教師而言，這也是一句知易行難的話.但在后續(xù)的學(xué)習(xí)中，學(xué)生的反應(yīng)更加確定了筆者的想法.課后，根據(jù)范希爾理論（該理論可以用來(lái)確定不同推理能力的學(xué)生所處的演繹幾何思維水平）進(jìn)行的測(cè)試中，學(xué)生的幾何認(rèn)知水平差異有比較明顯的改善.課例1中，有學(xué)生告訴筆者他機(jī)械復(fù)習(xí)消減的學(xué)習(xí)興趣在手動(dòng)畫(huà)圖時(shí)爆發(fā)，在應(yīng)用題部分又有一個(gè)小爆發(fā)，而且經(jīng)過(guò)教訓(xùn)，學(xué)生在后續(xù)學(xué)習(xí)的預(yù)習(xí)環(huán)節(jié)認(rèn)真了很多，動(dòng)手操作的熱情在拋物線的教學(xué)中明顯加強(qiáng)，作圖能力也有了明顯提升.而課例2中由于沒(méi)有學(xué)生自己畫(huà)圖的過(guò)程，他們作圖并不順利.這節(jié)課雖然出現(xiàn)了很多問(wèn)題，但其中有很大一部分是學(xué)生自己深刻的體驗(yàn)和感受，無(wú)論是成功或是失敗，都給學(xué)生留下了明確的指路標(biāo).這正是核心素養(yǎng)或者說(shuō)教學(xué)的本質(zhì)所在：培養(yǎng)學(xué)生扎根于大腦深處的、可復(fù)制、更可創(chuàng)新的思維習(xí)慣.

【參考文獻(xiàn)】

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[2]曹莉，王宇曉.基于范希爾理論的“橢圓及標(biāo)準(zhǔn)方程”教學(xué)設(shè)計(jì)[J].學(xué)習(xí)方法報(bào)·理綜教學(xué)研究，2021（8）：6.