林瑞靜

【摘要】初中數(shù)學(xué)有多種方法、路徑的解題方式，而其中的化歸法能夠引導(dǎo)學(xué)生將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題簡單化，且能夠有效鍛煉學(xué)生的合理轉(zhuǎn)化思維，對培養(yǎng)學(xué)生的化歸解題思維具有一定的意義.本文將結(jié)合初中數(shù)學(xué)有關(guān)內(nèi)容對學(xué)生的化歸解題思維培養(yǎng)展開研究，以引導(dǎo)學(xué)生掌握化歸法的解題方式，進而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)解題效率.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué);化歸法;運用;分析

學(xué)生要高效、快速地解答數(shù)學(xué)問題，就必須掌握合理有效的數(shù)學(xué)解題方法，而化歸法就是諸多數(shù)學(xué)解題方法中的有效方法.但是，并不是所有數(shù)學(xué)題目都能運用化歸法進行解答，學(xué)生要懂得綜合數(shù)學(xué)問題的難易程度，并且學(xué)會將題目中的條件進行有效轉(zhuǎn)化，提升自身的數(shù)學(xué)解題效率，而這些都需要學(xué)生長期有效的練習(xí)才能最終形成解題的習(xí)慣.

一、化歸法的實踐運用原則

（一）熟悉化

學(xué)生運用化歸法解答數(shù)學(xué)問題，可將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題化歸為自己較為熟悉和容易的數(shù)學(xué)問題，以更好地運用數(shù)學(xué)知識進行問題的解答.因此，在運用化歸法時，學(xué)生應(yīng)該懂得遵循解答的熟悉化，將遇到的數(shù)學(xué)難題化歸為自己熟悉的問題，以使得自己能夠明白、知道可以運用哪些數(shù)學(xué)知識進行解答，從而快速、高效地解答數(shù)學(xué)問題.

（二）直觀化

對于一道數(shù)學(xué)問題，學(xué)生想要解出答案，就必須懂得挖掘其中的數(shù)學(xué)信息條件，并利用自己大腦中的數(shù)學(xué)知識進行解答，這樣才能有效解出正確的數(shù)學(xué)答案.但是，不是每一道數(shù)學(xué)問題中的信息條件都是直接給出的，往往存在許多的隱含條件，而這些都需要學(xué)生懂得運用良好的數(shù)學(xué)解題思維進行挖掘.其中，運用化歸解題思維就可以將數(shù)學(xué)題目中的信息條件直觀化，從而為解答問題做好準(zhǔn)備.

（三）合理化

在教學(xué)中，教師既要要求學(xué)生分析題目中是否可以運用化歸思維，也要引導(dǎo)學(xué)生將題目中的信息進行及時歸納，以促使學(xué)生做到化歸解題的合理化，從而引導(dǎo)學(xué)生樹立良好的數(shù)學(xué)解題習(xí)慣，幫助學(xué)生構(gòu)建良好的化歸解題思維.

二、初中數(shù)學(xué)解題中運用化歸法的策略

（一）方程解答中的運用

與其他解題方法不同，運用化歸法的一個重要特點就是學(xué)生不能直接去分析和解答數(shù)學(xué)問題，而是先將信息復(fù)雜且具有一定隱含條件的數(shù)學(xué)問題進行適當(dāng)轉(zhuǎn)化，化歸為自己容易解決的數(shù)學(xué)問題，然后根據(jù)分析后的數(shù)學(xué)問題選擇自己所學(xué)的數(shù)學(xué)概念、定理，從而解答出數(shù)學(xué)問題的答案.但是，不是所用的數(shù)學(xué)問題都能運用化歸法解答.在解答初中數(shù)學(xué)解方程組問題中，學(xué)生就可以運用化歸法進行數(shù)學(xué)問題的解答，但要懂得分析方程組是屬于二元一次方程組還是三元一次、二元二次方程組，從而運用化歸解題思維，對方程組進行降次或者消元，以使得方程組能夠化歸為易于解決的問題.

例1 解方程組

ab+a+b=-13，

a2+b2=29.

解題分析：觀察上述方程組，我們可以發(fā)現(xiàn)方程組為二元二次方程組，學(xué)生運用目前的知識無法解決，但運用化歸思維可以將看似復(fù)雜的方程組問題簡單化，從而運用所學(xué)的數(shù)學(xué)方程解答方法進行問題的求解.學(xué)生可以同時進行降次和消元，并結(jié)合代入思維進行數(shù)學(xué)問題的解答.

解題過程：令x=a+b，y=ab，

則x+y=-13，x=-13-y…①，

那么a2+b2=29，x2=a2+b2+2ab=29+2y.

將①代入，得169+26y+y2=29+2y，

即y2+24y+140=0，得y=-10，x=-3 或y=-14，x=1，

由a+b=-3，ab=-10，解得a=-5，b=2或a=2，b=-5.

由a+b=1，ab=-14，解得a=1-572，b=1+572 或a=1+572，b=1-572.

解題反思：在解題的過程中，學(xué)生既要保持清醒的頭腦，也要主動利用化歸思維去解答數(shù)學(xué)問題，以將復(fù)雜的方程組進行化簡，從而化為簡單的方程進行解答，再將解答出來的結(jié)果代入原方程組中，最終解出原方程組中未知數(shù)的值.這些都需要學(xué)生有序、有規(guī)則地利用化歸思維，如學(xué)生只是貪快，而忽略了方程組的關(guān)系，就會導(dǎo)致解答的錯誤.

（二）幾何解答中的運用

初中數(shù)學(xué)幾何問題也是一個學(xué)習(xí)和解答的難點，它考驗學(xué)生的空間和邏輯思維能力.學(xué)生需要懂得自我構(gòu)建幾何抽象圖形，并學(xué)會從自己的思維習(xí)慣來解答問題，這樣的數(shù)學(xué)解題才具有效率.但是，很多學(xué)生一拿到數(shù)學(xué)問題就習(xí)慣性地盲目解答，很少去尋找更為便捷的解題路徑.比如，在解答一些較為復(fù)雜的數(shù)學(xué)平面幾何問題時，有些學(xué)生只是記住了幾何定理，但只要教師稍微對幾何問題進行變式，他們就不會解答了，其主要原因還是學(xué)生不會尋找?guī)缀螁栴}的有效解題路徑，同時缺乏對幾何定律的有效理解和認(rèn)知.因此，在解答初中數(shù)學(xué)幾何問題中，學(xué)生仍然需要鍛煉自身的數(shù)學(xué)解題思維，學(xué)會運用化歸的思維進行問題的解答，從而將復(fù)雜的幾何問題簡單化.

例2 如圖1，A，B兩點在直線l的兩側(cè)，點A到直線l的距離AM=4，點B到直線l的距離BN=1，且MN=4，P為直線l上的動點，則|PA-PB|的最大值為多少？

解題分析：從幾何圖形中，我們可以知道這是一道關(guān)于三角形的幾何最值求值問題，但題目中給出的數(shù)據(jù)信息并不多，且難以發(fā)掘其中存在的聯(lián)系，這就需要學(xué)生利用化歸思維，對這道題進行適當(dāng)?shù)幕瘹w，以化成自己熟悉的幾何問題.其中，學(xué)生可以從作圖和軸對稱變換角度運用自己所學(xué)的勾股定理進行問題的解答.比如，作點B關(guān)于直線l的對稱點B′，則可以得到PB=PB′，從而促使|PA-PB|=|PA-PB′|，進而學(xué)生可用平行線及勾股定理等知識點求出最值.

解題過程：作點B關(guān)于直線l的對稱點B′，連接AB′并延長交直線l于P，B′N=BN=1，過B′點作B′D⊥AM于點D，利用勾股定理求出AB′=5，

∴|PA-PB|的最大值為5.

解題反思：學(xué)生若直接求解，會浪費大量的時間，而只要學(xué)生懂得將上述幾何圖形進行轉(zhuǎn)化和歸納，就可以求解出幾何問題的答案.比如，學(xué)生可以利用作線段的方法，構(gòu)建題目中幾何線段之間的關(guān)系，從而利用其中的關(guān)系求解出問題的答案.

（三）函數(shù)解答中的運用

在大多數(shù)初中數(shù)學(xué)考試當(dāng)中，函數(shù)問題屬于比較普遍和基本的數(shù)學(xué)知識考核點，但仍有很多學(xué)生不能有效解答函數(shù)問題，這與學(xué)生缺乏良好的數(shù)學(xué)解題思維有關(guān).其實，學(xué)生依然可以用化歸法對函數(shù)問題進行解答，將復(fù)雜的函數(shù)問題簡單化，從而促使數(shù)學(xué)解題變得更高效.首先，教師可以引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用化歸法將初中數(shù)學(xué)函數(shù)問題簡單化，然后，促使學(xué)生利用已經(jīng)學(xué)習(xí)過的函數(shù)知識去研究新函數(shù)問題的規(guī)律，從而降低函數(shù)問題的難度，幫助學(xué)生樹立數(shù)學(xué)解題的信心.

例3 在下圖中，反比例函數(shù)y=-8x與y=-x+2的圖像交于點A和點B，請求出兩點的坐標(biāo).

解題分析：在解答函數(shù)坐標(biāo)問題時，學(xué)生應(yīng)該懂得利用化歸思維將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為自己熟悉的解方程組問題，從而實現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的有效轉(zhuǎn)化，歸納出有效的數(shù)學(xué)解題路徑.比如，構(gòu)建方程組，即y=-8x與y=-x+2所組成的方程組，從而求解出二者交點的坐標(biāo).

解題過程：列解方程組y=-8x，

y=-x+2，即x1=4，

y1=-2，x2=-2，y2=4.

則A（-2，4），B（4，-2）.

解題反思：無論函數(shù)圖像怎樣復(fù)雜和多變，只要我們懂得有效分析函數(shù)題目所求的內(nèi)容，就可以構(gòu)建知識點間的聯(lián)系，即在題目中尋找兩個函數(shù)的重疊之處，就可以獲知交點的坐標(biāo).教師引導(dǎo)學(xué)生將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程組的簡單解析問題，就可以讓學(xué)生的解題更簡便，最終促使學(xué)生不再因為解題的煩瑣而放棄作答.

三、化歸法在初中數(shù)學(xué)解題中的重要性

（一）推陳出新，拓展解題思路

初中學(xué)生往往對于未見過或者未熟練掌握的題型產(chǎn)生恐慌和困惑，無法找到解題切入點.教師應(yīng)該針對這種情況，結(jié)合學(xué)生已經(jīng)掌握的題型解答方法，將舊題型的解題思路和化歸法解題進行對比，讓學(xué)生更直觀、更高效地產(chǎn)生深度理解，促進學(xué)生對化歸法的運用和掌握，從而在之后的解題當(dāng)中做到游刃有余.

例4 已知x2+y2+2x-4y+5=0，求解x和y.

在這道題中，一個方程式出現(xiàn)了兩個未知的變量，學(xué)生的困惑也隨之而來，對于解題無從下手.所以，為了學(xué)生更好地理解和使用化歸思想，教師就會先給學(xué)生展示兩個題目，一是：x2+2x+1=0，求解x的值;另一個是：y2-4y+4=0，求解y的值.當(dāng)學(xué)生看到這些數(shù)學(xué)問題時，能夠通過以前的知識順利解答出來.緊接著，教師向?qū)W生展示（x+1）2+（y-2）2=0，這樣一來，學(xué)生很容易就得出了正確的答案.

結(jié)合案例我們不難看出，即便一些題型是學(xué)生沒有熟練掌握或者根本沒有見過的，但是萬變不離其宗，只要學(xué)生具備一定的數(shù)學(xué)解題基礎(chǔ)，在掌握化歸法之后，也可以做到高效解題.教師在教學(xué)實際當(dāng)中應(yīng)該注重舊知識和新知識的聯(lián)動性，做到模塊化，再結(jié)合數(shù)學(xué)解題方法，銜接各模塊，構(gòu)建初中數(shù)學(xué)知識網(wǎng)絡(luò)和解題框架，讓學(xué)生形成系統(tǒng)化、框架化的知識體系，促進數(shù)學(xué)知識的前后銜接、融會貫通，促進對學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)的培育，提高其數(shù)學(xué)解題能力.

（二）去復(fù)雜化，解題更簡捷

將化歸思想用到復(fù)雜的問題中去，能夠?qū)?fù)雜的問題簡單化.教師在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)當(dāng)中，一定要注意培養(yǎng)學(xué)生對于題目的宏觀化理解，只有立足于宏觀角度，才能深度剖析題目，簡化解題的路徑.教師可以通過有效地引導(dǎo)式教學(xué)幫助學(xué)生建立這種解題習(xí)慣，再輔以反復(fù)的練習(xí)與強調(diào)，培養(yǎng)學(xué)生高效的解題習(xí)慣，從而讓學(xué)生充分意識和理解解題的根本思路，即將問題簡單化，有效降低解題難度，在這種潛移默化中提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，培育學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng).

如在“一元一次方程”的講解中，教師可以要求學(xué)生按從簡單到復(fù)雜的原則進行學(xué)習(xí)，當(dāng)學(xué)生了解方程變形的目的的時候，就會很容易地解答方程問題.如果遇到非常復(fù)雜的一元一次方程，學(xué)生也會通過自己獨特的解答方式將方程轉(zhuǎn)變?yōu)閤=a的形式，即方程的解，使復(fù)雜的一元一次方程求解變得簡單.

（三）已知條件利用最大化，解題更高效

初中學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)當(dāng)中往往會碰到不會解的題型.一方面，這種難題可以鍛煉學(xué)生的解題能力，更可以提高學(xué)生的計算水準(zhǔn)，促進數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的培育;另一方面，可以篩選出數(shù)學(xué)天賦強的學(xué)生加以培養(yǎng).一般這種難題具備復(fù)雜性，學(xué)生只有有效結(jié)合題目已知條件去挖掘隱藏條件，才能通過復(fù)雜的運算得出結(jié)果.所以，初中學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)首先要能對已知條件進行挖掘和歸納，如此才能將問題簡單化、直觀化，這也是化歸法在初中數(shù)學(xué)解題當(dāng)中的重要作用.

四、結(jié) 語

綜上所述，初中數(shù)學(xué)解題方法有多種，而化歸法是提升學(xué)生解題能力的有效方法.因此，在解答初中數(shù)學(xué)問題時，教師應(yīng)該結(jié)合函數(shù)問題、方程問題及幾何問題等，教會學(xué)生如何運用化歸思維解答數(shù)學(xué)問題，從而促使學(xué)生能夠利用化歸思維高效解題.

【參考文獻】

[1]蘇流春.初中數(shù)學(xué)解題化歸方法教學(xué)探討[J].贏未來，2018（17）：171.

[2]歐陽忠秀.化歸法在初中數(shù)學(xué)解題中的運用[J].數(shù)學(xué)大世界（中旬），2018（6）：85.

[3]艾玲.化歸法在解數(shù)學(xué)題中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2020（11）：14-15.

[4]查賢鈺.初中數(shù)學(xué)運用化歸思想解題初探[J].數(shù)理化解題研究，2016（2X）：41.