福建省德化第一中學吳志鵬(362500) 吳志鵬

討論函數的單調性?等價于分析其導函數的正負性,通過解不等式獲得原函數的增、減區(qū)間,確定其單調性,但是在解不等式的過程中經常會與“參數”狹路相逢,面對“參數”,很多學生表現出無能為力,討論起來很困難,究其原因是找不著分類的標準,稀里糊涂的,找不著北.那么如何能做到準確分類?①熟悉模型,確定分類的標準,做到有根有據; ②在定義域內進行分類討論,做到“不重復也不遺漏”.下面就分類標準的確定作進一步的闡述:

類型一:導函數含有確定值域的函數式

若導函數含有如x2,ex等確定值域的式子,對于此類含參式子的討論,我們可根據多個非負實數式子的和為非負實數或多個非正實數式子的和為非正實數,確定分類標準,如:

例1 (2020 高考全國卷文科節(jié)選)已知函數f(x)=x3?kx+k2,討論f(x)的單調性.

評析由于f′(x)=3x2?k,導函數中3x2≥0,根據兩個非負實數式子的和仍為非負實數,只需讓?k≥0 即k≤0,此時f′(x)≥0,所以f(x)在(?∞,+∞)上單調遞增;而當k >0 時,則通過解不等式f′(x)=3x2?k >0 或f′(x)=3x2?k <0 得函數的增區(qū)間或減區(qū)間,確定函數的單調性.即本題中參數k可按k≤0 和k >0 進行分類.

解析當k≤0 時,f′(x)≥0 恒成立,所以f(x)在(?∞,+∞)上單調遞增; 當k >0 時,令f′(x)=0,得x=,令f′(x)<0,得?< x <令f′(x)>0,得x ,所以當k≤0 時,f(x)在(?∞,+∞)上單調遞增; 當k >0 時,f(x)在上單調遞減,在,上單調遞增.

同型題(2021年高考全國卷節(jié)選)已知函數f(x)=alnx+x2(a∈R,且a≠0),討論函數f(x)的單調性.

例2 (2017年高考全國卷理科節(jié)選)已知函數f(x)=ae2x+(a?2)ex?x,討論f(x)的單調性.

評析f(x)的定義域為(?∞,+∞),f′(x)=2ae2x+(a?2)ex?1=(aex?1)(2ex+1),因導函數中2ex+1>0,所以我們只需討論aex?1 的符號即可,由ex >0,利用兩個非正數的和為非正數,則當aex非正時,其與?1 的和為負數,此時選取a≤0,從而確定參數a的討論標準,分為a≤0和a>0 兩類進行.

解析(ⅰ)若a≤0,則f′(x)<0,所以f(x)在(?∞,+∞)單調遞減.

(ⅱ)若a >0,由f′(x)=0 得x=?lna.當x∈(?∞,?lna)時,f′(x)<0; 當x∈(?lna,+∞)時,f′(x)>0.所以,當a≤0,f(x)在(?∞,+∞)單調遞減; 當a >0 時f(x)在(?∞,?lna)單調遞減,在x∈(?lna,+∞)單調遞增.

例3 (2017年高考全國卷文科節(jié)選)已知函數f(x)=ex(ex?a)?a2x,討論f(x)的單調性.

評析函數f(x)的定義域為(?∞,+∞),f′(x)=2e2x?aex?a2=(2ex+a)(ex?a),此時導函數中ex >0,而兩個式中的a與?a的符號恰好相反,若a >0 則2ex+a >0,我們只需討論ex?a的符號即可,從而確定參數a的分類標準,分為a<0,a=0 和a>0 三類情況.

解析函數f(x)的定義域為(?∞,+∞),f′(x)=2e2x?aex?a2=(2ex+a)(ex?a),

①若a=0,則f′(x)=2e2x >0,在(?∞,+∞)單調遞增;

②若a >0,則由f′(x)=0 得x=lna,當x∈(?∞,lna)時,f′(x)<0; 當x∈(lna,+∞)時,f′(x)>0,所以f(x)在(?∞,lna)單調遞減,在(lna,+∞)單調遞增.

③若a <0,則由f′(x)=0 得x=ln(?a/2),當x∈(?∞,ln(?a/2))時,f′(x)<0;當x∈(ln(?a/2),+∞)時,f′(x)>0,故f(x)在(?∞,ln(?a/2))單調遞減,在(ln(?a/2),+∞)單調遞增.所以當a=0 時,f(x)在(?∞,+∞)在單調遞增; 當a >0 時,所以f(x)在(?∞,lna)單調遞減,在(lna,+∞)單調遞增.當a <0時,f(x)在(?∞,ln(?a/2))單調遞減,在單調遞增.

類型二:導函數中存在含有參數的“二次三項式”

對于此類含參導函數,討論起來稍微有點復雜,甚至有可能出現兩次確定分類標準,很多學生甚感“無能為力”,對于此類含參的多項式,若二次項系數含有參數,首先我們得明確其為二次式還是一次式?確定首輪分類標準,即將二次式的系數以0 為標準進行分類,而對于二次式系數為常數的則只需解二次不等式f′(x)>0 或f′(x)<0,此時即把判斷二次不等式是否有解作為依據,計算?≤0,得到參數的分類標準,此過程需結合二次項的系數的正負來確定,即根據函數圖象與x軸的交點情況進行討論.

例4 若函數f(x)=ax++lnx,討論函數的單調性.

評析f(x)的定義域(0,+∞),f′(x)=a?=,由于導函數是一個含參的分式,分母x2>0,即可設分子h(x)=ax2+x?2 為一個二次項含參的多項式,則此處的分類標準為式子是否是二次式?分為a=0 和a≠0 兩類;當a=0 解f′(x)>0 和f′(x)<0 得單調增(減)區(qū)間; 當a≠0 時,則需根據?≤0 和?>0 以及二次項系數的正負來確定參數的討論標準,當?=1+8a≤0即a≤?,結合二次項系數的正負可分為a≤?,0 三類情形進行討論.

解析(1)當a=0 時,h(x)=x?2,所以當x∈(0,2),h(x)<0,即f′(x)<0,所以f(x)在(0,2)單調遞減; 當x∈(2,+∞),h(x)>0,即f′(x)>0,所以f(x)在(2,+∞)單調遞增;

(2)當a≠0,由于?=1+8a.

①若?=1+8a≤0,即a≤?時,在x∈(0,+∞)上,即h(x)≤0 即,f′(x)≤0,所以f(x)在(0,+∞)單調遞減;

由于導函數是一個含參的分式,分母x2>0.設h(x)=x2?ax+1,則分子h(x)為一個含參的二次多項式且二次項系數為常數,此時可根據x2?ax+1=0 是否有解及解的情況來確定參數的分類標準,即按?≤0 及?>0 分類,可確定參數按a2 進行分類.

解析當?2≤a≤2 則f′(x)≤0,所以f(x)在(0,+∞)單調遞減.

當a >2,令f′(x)=0 得,x1=或x2=>0.且x1< x2; 當x∈(0,x1)和(x2,+∞)時,f′(x)<0; 當x∈(x1,x2)時,f′(x)>0.所以f(x)在(0,x1),(x2,+∞)單調遞減,在(x1,x2)單調遞增.當a

類型三:導函數中存在不確定大小的含參零點

對于此類導函數,在分析不等關系時,首先要弄清零點是否在定義域內?若零點均在定義域內,就是要判斷零點的大小,并以此為依據確定參數的分類標準.

例7 (2019年高考全國卷理科節(jié)選)已知函數f(x)=2x3?ax2+b,討論f(x)的單調性.

評析由于函數的定義域為(?∞,+∞),對函數求導得:f′(x)=6x2?2ax=6x(x?),此時的導函數在定義域內存在兩個零點,即0 和,為了求解不等式f′(x)>0 或f′(x)<0,我們需要判斷兩根的大小,即0 和的大小,找到參數a的分類標準,即a <0,a=0 和a >0 三種情況進行討論.

解析(1)由

得到:當a <0 時,f(x)在上單調遞增,在上單調遞減,在(0,+∞)上單調遞增;當a=0 時,f(x)在R上單調遞增;當a>0 時,f(x)在(?∞,0)區(qū)間上單調遞增,在區(qū)間上單調遞減,在區(qū)間上單調遞增.

例8 求函數f(x)=(x?2)ex+(x?1)2+e(其中a∈R)的單調性.

評析易見,

f′(x)=(x?1)ex+a(x?1)=(x?1)(ex+a),

觀察導函數可知式子ex+a中的ex >0,依據兩個非負實數的和為非負實數可確定分類標準為a≥0 和a<0,當a≥0時,ex+a >0 恒成立; 而當a <0 時,ex+a=0 有根為x=ln(?a),此時需通過比較兩根的大小確定分類標準.

解析易見,

f′(x)=(x?1)ex+a(x?1)=(x?1)(ex+a).

(1)若a≥0 時,ex+a >0 恒成立,所以當x <1 時,f′(x)<0,f(x)單調遞減;當x>1 時,f′(x)>0,f(x)單調遞增.

(2)若a<0 時,令f′(x)=0 得x1=1 或x2=ln(?a);比較兩根可知:當a=?e 時,x1=x2; 當?e< a <0 時,x1>x2;當a

①當a=?e 時,x2=ln(?a)=1=x1,f′(x)≥0,f(x)在R 上單調遞增,如圖1.

圖1

②若?e< a <0 時,x2=ln(?a)<1=x1,當ln(?a)< x <1 時,f′(x)<0,f(x)單調遞減;當x >1 或x0,f(x)單調遞增,如圖2.

圖2

③若a 1=x1,當1< x ln(?a)或x <1 時,f′(x)>0,f(x)單調遞增,如圖3.

圖3

綜上所述,當a≥0 時,f(x)在(?∞,1)單調遞減,在(1,+∞)單調遞增; 當a=?e 時,f(x)在R 上單調遞增; 當?e< a <0 時,f(x)在(ln(?a),1)單調遞減,在(?∞,ln(?a)),(1,+∞)單調遞增; 當a

同型題(2021 全國高二單元測試)已知函數f(x)=ln+a2x2?ax,討論函數f(x)的單調性;

解析函數f(x)的定義域為(0,+∞),

通過分析導函數的符號,討論含參函數的單調性,其關鍵點是確定參數的分類標準,只有理清參數在函數中的意義,明白為什么要這樣分類,做到分類要有依有所據,才能條理清晰,以上三類例題為我們學習函數單調性討論,參數分類標準的確定提供了有價值的示范.