佛山市南海區(qū)第一中學(xué)(528200) 徐守軍

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》將數(shù)學(xué)建模作為高中數(shù)學(xué)課程的一個組成部分,明確將數(shù)學(xué)建模列為六大數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)之一,并指出:數(shù)學(xué)建模是對現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象,用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題的素養(yǎng).數(shù)學(xué)建模是高中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種新嘗試,為學(xué)生提供了自主學(xué)習(xí)的空間,有助于學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)與日常生活的聯(lián)系,有助于學(xué)會運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決生活中的問題,更有助于體會數(shù)學(xué)在生活和其他學(xué)科中的價值.

1 數(shù)學(xué)建模的內(nèi)涵

在高中階段,很多學(xué)生僅僅把數(shù)學(xué)當(dāng)成是為了升學(xué)學(xué)科,對其在現(xiàn)實(shí)世界中的應(yīng)用不甚了解,其中很多人高考之后便不再關(guān)注數(shù)學(xué).這對學(xué)生未來發(fā)展不利.為了破除這樣的觀念,教師需要在高中教學(xué)乃至整個基礎(chǔ)教育階段中常常滲透數(shù)學(xué)建模思想,讓學(xué)生從心里認(rèn)同數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)世界的作用.

數(shù)學(xué)建模過程主要包括以下4個步驟:①在實(shí)際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題(章建躍對這一步驟表述為“對現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象”); ②提出問題、分析問題、建立模型;③確定參數(shù)、計(jì)算求解; ④檢驗(yàn)結(jié)果、改進(jìn)模型,最終解決實(shí)際問題.學(xué)生在實(shí)際問題的解決過程中怎么建模是關(guān)鍵,下面以一個“停車距離問題”為例來研究數(shù)學(xué)建模過程.

2 數(shù)學(xué)建模的過程

2.1 問題的提出

道路安全關(guān)系到千家萬戶,隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展,家用小汽車越來越普及,然而車輛在行駛過程中經(jīng)常會遇到一些突發(fā)狀況,如果駕駛員及時采取緊急制動,需要多遠(yuǎn)才能停下來呢?另外,在我國道路交通安全條例第80 條中明確規(guī)定,高速公路上,車速超過100 公里每小時,應(yīng)與同車道前車保持100 米以上的車距.規(guī)定100 米以上車距的依據(jù)是什么呢?

2.2 問題的分析

汽車安全距離一般要大于停車距離,影響停車距離的因素通常包括許多方面,如駕駛員反應(yīng)時間、汽車行駛速度、天氣狀況、道路情況、汽車輪胎紋路、剎車效果等.總結(jié)起來,大致分為兩大類:反應(yīng)時間(反應(yīng)距離)、剎車效果(制動距離).汽車緊急制動大概要經(jīng)歷以下過程,首先是發(fā)現(xiàn)危險,做出剎車決定,并踩下剎車.其次是駕駛員踩下剎車,直至汽車完全停止.我們將汽車在反應(yīng)時間行駛的距離稱為“反應(yīng)距離”,在制動過程中滑行的距離稱為“制動距離”.

圖1

2.3 模型的建立

由以上分析可知,停車距離包括反應(yīng)距離和制動距離,設(shè)停車距離為d,反應(yīng)距離為d1,制動距離為d2,得到停車距離為d=d1+d2.

(1)假設(shè)反應(yīng)時間內(nèi)車輛勻速行駛,速度為v,駕駛員反應(yīng)時間為t,根據(jù)物理知識得到反應(yīng)距離d1=atv,其中a為(大于0)待定系數(shù).由于t很難確定具體的數(shù)值,因此,最終只能確定d1與v成正比,把這個關(guān)系表示為d1=av.

(2)假設(shè)剎車受力大小近似等于汽車輪胎與路面的摩擦力,制動距離是剎車受力與汽車速度的函數(shù).根據(jù)物理知識,例如能量守恒、牛頓第二定律,得d2=,其中a1為加速度,得到制動距離與汽車速度平方成正比,不妨表示為d2=bv2,其中b為待定系數(shù),b=.

綜上,可以建立數(shù)學(xué)模型d=d1+d2=av+bv2.

2.4 模型的求解

通過問題的分析、模型的建立,把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,首先思考:

(1)是不是行駛速度越快,停車距離越大?

(2)是不是反應(yīng)時間越長,停車距離越大?

接下來,就是運(yùn)用數(shù)學(xué)模型來解決問題.模型的系數(shù)是由模型的假設(shè)和獲取數(shù)據(jù)的方法確定的,一個好的模型,當(dāng)采集的數(shù)據(jù)發(fā)生變化時,模型系數(shù)也會跟著變化.收集數(shù)據(jù)方法很多,可通過實(shí)驗(yàn)獲得數(shù)據(jù),也可根據(jù)網(wǎng)絡(luò)獲取數(shù)據(jù).注根據(jù)表中所給數(shù)據(jù),可計(jì)算相應(yīng)參數(shù)(a,b)取值.

結(jié)合以上數(shù)據(jù),通過不同計(jì)算方式,都可近似求解模型.

解法一由表1 計(jì)算的每一行中相應(yīng)a和b的值,我們發(fā)現(xiàn)a和b的波動都不是很大,它們的平均值分別為a ≈0.209,b ≈0.0058,這組數(shù)據(jù)可以作為對參數(shù)a和b的一種估計(jì).于是,通過試驗(yàn)數(shù)據(jù)得到了停車距離模型一:d=0.209v+0.0058v2.

表1 美國公路局公布的試驗(yàn)數(shù)據(jù)(來源網(wǎng)絡(luò))

解法二由于在d1=av中d1與v線性相關(guān),由線性回歸分析知數(shù)組滿足d1=av.由表1 中的試驗(yàn)數(shù)據(jù)計(jì)算得=16.8231,=80.3846,因此a=≈0.209.同理,d2與v2線性相關(guān),可求得b=≈0.0062.通過試驗(yàn)數(shù)據(jù)得到了停車距離模型二:d=0.209v+0.0062v2.

2.5 模型的評價

對兩種模型進(jìn)行比較,根據(jù)表1 數(shù)據(jù),不妨設(shè)兩種模型分別d3=0.209v+0.0058v2,d4=0.209v+0.0062v2,則經(jīng)過誤差計(jì)算得表2:

表2 模擬誤差計(jì)算

對表2,我們分別求最后兩列值之和得:

D1=0.299+···+143.8368=214.6818,

D2=0.0561+···+37.6603=121.6274.

顯然,D2< D1,所以模型二d=0.209v+0.0062v2誤差和更小,模型效果更好.

說明(1)模型中參數(shù)的確定方法有時是不唯一的,科學(xué)地選擇參數(shù)可以有效地減小模型的誤差; (2)在建立模型過程中,“基本假設(shè)”沒有考慮影響停車距離的非關(guān)鍵因素,但在實(shí)際生活中,由于各種客觀因素影響,有時非關(guān)鍵因素也會成為關(guān)鍵因素.

2.6 模型的應(yīng)用

回應(yīng)課前問題,法規(guī)中“100 米以上”的依據(jù)是什么?我們發(fā)現(xiàn),當(dāng)速度達(dá)到100 公里每小時時,根據(jù)模型計(jì)算,停車距離達(dá)到82.9m,實(shí)際操作過程中,可能存在一定誤差,還可能存在駕駛員違規(guī)等現(xiàn)象.法規(guī)為了盡可能保證行駛安全,才規(guī)定了100 米以上的要求.

3 數(shù)學(xué)建模的步驟

從現(xiàn)實(shí)世界中發(fā)現(xiàn)問題,提出問題、分析問題、收集數(shù)據(jù)、建模模型、求解模型、評價模型,最后又回到現(xiàn)實(shí)生活應(yīng)用模型.如圖2 所示.

圖2

4 數(shù)學(xué)建模教學(xué)思考

研究停車距離問題的過程就是數(shù)學(xué)建模的過程,在建模過程中根據(jù)實(shí)際問題進(jìn)行數(shù)據(jù)的收集與處理,從而建立相應(yīng)的模型、優(yōu)化模型并應(yīng)用于實(shí)際問題.

4.1 數(shù)學(xué)建模帶來課堂變革

本節(jié)課相比較傳統(tǒng)的“老師講學(xué)生聽”的教學(xué)模式,數(shù)學(xué)建模中的合作探究環(huán)節(jié)使學(xué)生更多的參與到課堂中來,課前需做好相應(yīng)的小組分工,在課堂上有明確的小組合作任務(wù),并給予充分的時間進(jìn)行小組合作探究,充分的思考和討論提出的問題,提升學(xué)生自主學(xué)習(xí)、自主歸納的能力.

4.2 數(shù)學(xué)建模要重視數(shù)據(jù)處理

本節(jié)課借助物理背景確定數(shù)學(xué)模型,教學(xué)重點(diǎn)從數(shù)學(xué)模型的探究,調(diào)整到數(shù)據(jù)處理與數(shù)學(xué)模型的優(yōu)化上來,將重點(diǎn)落在系數(shù)的求解與模型的優(yōu)化,這樣的設(shè)計(jì)更貼合學(xué)生學(xué)情,讓學(xué)生充分進(jìn)行探究,分享各種方法在實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)建模過程中的優(yōu)與劣,符合學(xué)生的最近發(fā)展區(qū).同時,培養(yǎng)了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),從而提升學(xué)生的綜合能力.